熱物理過程的數(shù)值模擬-計(jì)算傳熱學(xué)3

1、四、非線笥問題迭代式解法的收斂性每一層次上滿足迭代法求解的收斂條件+相鄰次間代數(shù)方程的系數(shù)變化不太大（亦即未知量的變化不太大J多數(shù)情形下非線性問題迭代式解法是可以收斂的）。使相鄰兩層次間未知量變化不太大的措施：1欠松弛迭代 常用逐次欠弛線迭法（SLUR）： 一組臨時(shí)系數(shù)下逐線迭代求解+對(duì)所得的解施以欠松弛，再用欠松弛后的解去計(jì)算新的系數(shù)，常數(shù)，以進(jìn)入下一層次的迭代。實(shí)施：常把欠松弛處理納入迭代過程，而不是在一個(gè)層次迭代完成后再行欠松弛。.（n 1） . （n）/ Rnbtnbtp =tp（tp ）ap（先）tpn1） = 7anb tnb b （1一 ）屯tpn）cooaptPn，1）八 an

2、btnb bap -a , b = b - （1 - J（apJtf，用交替方向線迭代法求解這一方程，就實(shí)現(xiàn)了slur的迭代求解。為一般化起見，上式中tnb上沒有標(biāo)以迭代層次的符號(hào)（J, GS時(shí)不相同）。2、采用擬非穩(wěn)態(tài)法前面已指出，穩(wěn)態(tài)問題的迭代解法與非穩(wěn)態(tài)問題的步進(jìn)法十分相似。對(duì)于非線性穩(wěn)態(tài)問題，從代數(shù)方程的一組臨時(shí)系數(shù)進(jìn)入到另一組臨時(shí)系數(shù)亦好象非穩(wěn)態(tài)問題前進(jìn)了一個(gè)時(shí)間層，非穩(wěn)態(tài) 問題的物理特性：系數(shù)熱慣性越大（ap = PMv/也I ），溫度變化越慢，仿此，對(duì)穩(wěn)態(tài)非線性問題，可在離散方程中加入擬非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，以減小未知量托兩個(gè)層次間的變化，即由（=anb -Sp：V）tpn1）= Uanbt

3、nbb= （2anb-Sp ：Va；）tpn =anbtnbba；tpn）（n 1）Zanbtnb - b - a；tpn）t poEanb -Sp心V +ap一直進(jìn)行到tp,tnb收斂，虛擬時(shí)間步的大小通過計(jì)算實(shí)踐確定。3、采用Jacobi點(diǎn)迭代法中止迭代的判據(jù)（該層次迭代）除前述變化率判據(jù)外，還可以規(guī)定迭代的輪數(shù)，例如規(guī)定進(jìn)行4-6次ADI線迭代就結(jié)束該層次上的計(jì)算。此時(shí)，用收斂速度低的丁迭代也就起到了欠松弛的 作用。五、迭代法的收斂速度1、收斂速度對(duì)給定的代數(shù)方程組（包括是臨時(shí)系數(shù)的情形），采用不同的迭代方法求解時(shí)，使一定的初始 誤差縮小成：倍所需要的迭代輪數(shù) K是不相的 ：1e 32

4、e(0)因?yàn)镚是對(duì)稱的，所以 G 2 = . t(GTG)=匸(G2) = G) 所以|門2 斗Gk|2|e(0)|2 = P(G)k|e(0)|2a =|e忖第 蘭(P(G)k，I衛(wèi)蘭 kXP(G)即 k _ 1廿 /嶄(G) - -1八 /(-嶄 ”G):- , ?(G)均 1對(duì)于給定的：，所需迭代輪數(shù)k與一 lnT(G)成反比，規(guī)定用R = _In(G)表示迭代法的收斂速度，則k - -ln ： /R or R _ -ln： /k即所需迭代輪數(shù)與收斂速度成反比，收斂速度又與譜半徑成反比，收斂速度愈快，迭代輪數(shù) 愈少。注意：不同的迭代方法每進(jìn)行一輪迭代所需的運(yùn)算次數(shù)不同，最終所需的計(jì)算時(shí)間

5、的多少取 決于迭代輪數(shù)及每一輪迭代所需的時(shí)間。2、收斂性的定性分析為什么不同的迭代方法的收斂速度不同，亦即為達(dá)到滿足一定精度要求所需的迭代輪數(shù)不 同？以二維常物性、無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題來進(jìn)行討論。2 2yyXtRB1B、C aptp 二aEtE awtw aNt” a$ts迭代法需要假定一個(gè)初場(chǎng)，例如假定一個(gè)均場(chǎng)， 從微分方程為看，均勻是其一個(gè)解，但卻不是所研究 問題的解，為什么？因?yàn)樗m然滿足內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上的離 散方程，卻不滿足與邊界有關(guān)的節(jié)點(diǎn)的離散方程(圖 中紅點(diǎn))，即不滿足邊界條件。 所以迭代法的實(shí)質(zhì)是要 通過迭代，盡快建立起與邊界條件相適應(yīng)的變量場(chǎng),關(guān)鍵：必須使B、C的影響迅速傳入計(jì)算區(qū)

6、域內(nèi)部，以改進(jìn)節(jié)點(diǎn)變量值，盡快與B、C相應(yīng)，B、C的影響傳入愈快，逼近真解就愈快，收斂就越快！B、C的影響傳入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的快慢與哪些因素有關(guān)？(1) 與迭代方法有關(guān)J迭代：節(jié)點(diǎn)溫度的更新均用上輪迭代所得的“舊”值來計(jì)算，所以完成一輪迭代后，的影響只能傳入與邊界相鄰的一批節(jié)點(diǎn)上，即僅可傳入一個(gè)網(wǎng)格，且掃描方向與收斂快慢無關(guān)。要在以后各輪迭代中，B、C的影響才由這些節(jié)點(diǎn)逐步向內(nèi)滲透，所以收斂慢。GS迭代：假設(shè)從左向右掃描，則每做完一輪迭代，左邊界和下邊界的影響傳遍全區(qū)域，而 右邊界的影響只能傳入一個(gè)網(wǎng)格，且收斂速度受迭代掃描方向的影響。線迭代：GS線迭代。自左t右掃描，完成一輪迭代不僅左邊界的影

7、響逐步傳入，而且在每 一列的直接求解中，上、下邊界的影響全部傳入到該列的各節(jié)點(diǎn)上，即一輪迭代使左、上、下邊 界影響傳入全區(qū)域，但右邊界影響仍僅傳入一個(gè)網(wǎng)格。ADI :輪迭代包括一次逐行、一次逐列的掃描；所以在每一輪迭代后所有邊界的影響均傳 入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部，從而加快了收斂速度。收斂速度的比較，正方形區(qū)域，1B、C, Laplace方程五點(diǎn)格式，均勻網(wǎng)格步長為h。迭代方法點(diǎn)迭代線迭代Jacobih2/2h2Gouss-Seidelh22h2SOR2h22 h(2) 與邊界條件的性質(zhì)有關(guān)xXX1B、C規(guī)定了邊界節(jié)點(diǎn)的溫度，影響直接傳入計(jì)算區(qū)域內(nèi)部；t3B、C規(guī)定了環(huán)境溫度及定向點(diǎn)位置，t - t -

8、,對(duì)邊界溫度的限定程度比1B、C時(shí)l cX弱，所以對(duì)內(nèi)部的影響也較弱；或?qū)?tf視為外部溫度，其對(duì)計(jì)算區(qū)域內(nèi)部的影響被外部換熱熱阻削弱，而1B、C可視為，一-或外部熱阻一；0的極限情況，故3B、C的影響比1B、C時(shí)弱。2B、C僅規(guī)定了壁面的鈄率，壁溫完全不確定，對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)溫度值的改進(jìn)提供的信息最少， 收斂最慢?？梢?，為了提高代數(shù)方程迭代解法的收斂速度，應(yīng)力求使邊界條件的影響迅速傳入計(jì)算區(qū)域 內(nèi)部，措施： 增加迭代解法中直接解法的成分，從點(diǎn)迭代t線迭代tADI ; 適當(dāng)選擇掃描的始邊，多以1B、C或3B、C的邊界為始邊，少以 2B、C (尤其是絕熱邊界)為掃描始邊。5-4不規(guī)則區(qū)域的處理一網(wǎng)格生

9、成技術(shù)如何對(duì)不規(guī)則區(qū)域進(jìn)行有效的處理，以便于進(jìn)行傳熱與流動(dòng)過程的數(shù)值模擬，是近年來計(jì)算 傳熱研究中的一個(gè)重要課題。以上討論的傳熱過程大都發(fā)生在規(guī)則而簡單的區(qū)域中，但許多實(shí)際的熱傳遞現(xiàn)象是在不規(guī)則亍的，例如：套片管中肋片的傳熱漸擴(kuò)通道中的流動(dòng)與換熱以上四種情形中的流動(dòng)與換熱不是直角坐標(biāo)、圓柱軸對(duì)稱坐標(biāo)或極坐標(biāo)所能方便地予以描述。雖然有限元法在處理不規(guī)則邊界方面顯示了極大的優(yōu)越性，但就流動(dòng)與傳熱而言，在計(jì)算技 巧與方法方面，有限差分法都比有限元法成熟。用有限差分法處理這類問題的方法可以歸納為以下幾種。1采用階梯形邊界（網(wǎng)格）用階梯形邊界近似代替四分之一圓弧邊界。階梯形邊界（網(wǎng)格） 是采用有限差分法

10、計(jì)算不規(guī)則區(qū)域的最普通的方法。缺點(diǎn)：程序缺少通用性；曲面邊界上網(wǎng)格必須劃得比較細(xì)密（否 則會(huì)引起較大誤差）。2、采用區(qū)域擴(kuò)充法當(dāng)計(jì)算區(qū)域的邊界不規(guī)則程度不很嚴(yán)重時(shí)，可以采用區(qū)域擴(kuò)充法，把計(jì)算區(qū)域擴(kuò)充為直角坐 標(biāo)，圓柱坐標(biāo)等常規(guī)正交坐標(biāo)系中易于描述的形狀。條件：保證原計(jì)算區(qū)域的情況不變！的控制方程加以描述。如何保證原來的情況不變？孔板區(qū)視為粘性無限大的“流體”，而其余區(qū)域的流體粘性值就等于真實(shí)值，邊界上流速賦為零，計(jì)算中零邊值將迅速傳到孔板區(qū)域內(nèi)，有效地模擬了孔板的存在。傳熱：對(duì)三種不同的邊界條件，具體的處理方式不同（1）均勻壁溫邊界條件令擴(kuò)充區(qū)域中的導(dǎo)熱系數(shù)為無限大，而擴(kuò)充后的區(qū)域邊界溫度則等

11、于已知值。（2）絕熱的邊界條件令擴(kuò)充區(qū)域中的材料導(dǎo)熱系數(shù)為零即可實(shí)現(xiàn)此條件（3）均勻熱流邊界條件可應(yīng)用附加源項(xiàng)法來實(shí)現(xiàn)，真實(shí)邊界上均勻熱流可以 附加源項(xiàng)的形式置于與真實(shí)邊界相鄰的控制容積中去，而 擴(kuò)充區(qū)域則處于絕熱狀態(tài)。周期性二維漸擴(kuò)、漸縮通道中的換熱，傾斜的邊界上 作用有均勻的熱流。采用左下所示階梯形網(wǎng)格，并把計(jì)算 區(qū)域擴(kuò)充到一個(gè)長方形，以便利用直角坐標(biāo)系求解?？匆粋€(gè)網(wǎng)格單元的放大后的情形，P控制容積的附加源項(xiàng)為實(shí)際邊界Sad =qLf / : VabcdLef實(shí)際邊界與控制容積 P的兩條邊界相交部分的長度; Vabcd 控制容積P的體積擴(kuò)充區(qū)域，擴(kuò)=0,則控容P中的附加源項(xiàng)Sad不會(huì)向擴(kuò)充

12、區(qū)域傳遞， 從而實(shí)現(xiàn)了實(shí)附邊界上 的均勻熱流加熱條件。（4）外部對(duì)流換熱邊界條件，| tfSc,adtf LS p,ad1 L1/* 丄 o / V根據(jù)附加源項(xiàng)法，此時(shí) P控制容積的兩個(gè)附加源項(xiàng)為2P-1 之間的熱導(dǎo) Cp! = a / La1 / Lp1 bLb1 / Lp12P-1 之間的熱導(dǎo) Cp! = a / La1 / Lp1 bLb1 / Lp1:網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)P到實(shí)際邊界的距離擴(kuò)=0區(qū)域擴(kuò)充法的優(yōu)點(diǎn)：可以用按規(guī)則區(qū)域編制的通用程序來計(jì)算非 規(guī)則區(qū)域的問題；易于實(shí)施。缺點(diǎn)：浪費(fèi)一些計(jì)算機(jī)內(nèi)存及計(jì)算時(shí)間。3、采用三角形網(wǎng)格外節(jié)點(diǎn)法對(duì)于不規(guī)則區(qū)域中的導(dǎo)熱問題，采用三角形網(wǎng)格可以得 到比較滿意

13、的結(jié)果。從不規(guī)則區(qū)域的三角形網(wǎng)格中劃出圍繞節(jié)點(diǎn)P的多邊形來分析。確定節(jié)點(diǎn)P所代表的控制容積：三角形外心作為控容的頂點(diǎn)， 要求: 三角形為銳角三角形，以保證外心一定在三角形內(nèi)；以三角形重心作為控容的頂點(diǎn)，對(duì)三角形形狀無限制；外心為控制6容積頂點(diǎn)，P控制容積如圖所示，各部分平均導(dǎo)熱系數(shù)分別為 爲(wèi)，b, C,f，用控制容積能量平衡法建立離散方程。2P-1 之間的熱導(dǎo) Cp! = a / La1 / Lp1 bLb1 / Lp11 1La12LplCOt ：1 八刁- 2111所以 C p1a COt，1 b COt，2（：；“a ct1 丁 磯 COt，,2 ）2 2 21常物性時(shí)，Cp1 =? （

14、cot M cot -2）其它各節(jié)點(diǎn)（2-6）與P節(jié)點(diǎn)之間的熱導(dǎo)亦按上式計(jì)算，而只需把改換成相應(yīng)頂角即可,P控制容積的熱容：變物性時(shí)，圖示各部陰影部分的熱容量之和送（Pc也Vp,）i由控制容積P的熱平衡可得t _to、（b：V）piL 2二Cpi（ti 4卩） S（LVp）i常物性時(shí)，上式變?yōu)閠 -to5p -p=11iCpi（ti -tp）S（.：Vp）以上二式右端溫度值的時(shí)層未標(biāo)出，它取決于所采用的格式。 邊界條件的處理：第一類邊界條件，無需專門處理；第二、三類B、C邊界上的節(jié)點(diǎn)，需要仿上述方法建立補(bǔ)充方程 和圖第二、三類邊界上的節(jié)點(diǎn)b Cot 1 ,2=1 （ b cot - 22C p

15、1C p2P的控制容積1C p3 c Cot - 323cCot ：4）為邊界加入熱量則計(jì)入到 P控制容積的源項(xiàng)中，對(duì)第三類邊界條件, 傳入熱量:（tf -tp）Lad，其中tp的時(shí)層取決于所采用的格式。Win slow指出，當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù)為常數(shù)時(shí)，三角形網(wǎng)格所建立的離散方 程的系數(shù)矩陣具有正定性，可用SOR求解；導(dǎo)熱系數(shù)與溫度有關(guān)時(shí),求迭代收斂，不宜采用 SOR，且兩次迭代之間的 Cpi可用欠松弛。根據(jù)實(shí)際問題的需要，可以采用三角形網(wǎng)格與矩形網(wǎng)格的組合結(jié)構(gòu)，例如二維縱向肋片管。三角形網(wǎng)格的缺點(diǎn)：節(jié)點(diǎn)位置的確定、編號(hào)，節(jié)點(diǎn)間距的計(jì)算比較費(fèi)時(shí)程序比較復(fù)雜。 內(nèi)節(jié)點(diǎn)法：以每個(gè)三角形的外心為節(jié)點(diǎn)，其余同

16、上。4、組合坐標(biāo)法二維平直一彎曲段組成的通道，可采用坐標(biāo)系組合的方法，例如直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的組合， 把該計(jì)算系統(tǒng)分成三個(gè)區(qū)域，在區(qū)域I、山中采用直角坐標(biāo)系，在區(qū)域 II中采用極坐標(biāo)系。三個(gè)區(qū)域中垂直于主流方向的坐標(biāo)增量是的，dy = dr，但在主流方向上的坐標(biāo)不一致，為求得一致，在I、III區(qū)域中定義 =x/Rj，則I、III區(qū)域中的也是弧度，與II區(qū)中一致，從而可以 從入口截面開始就統(tǒng)一地連續(xù)計(jì)量x坐標(biāo)。在各區(qū)域中分別按相應(yīng)的控制方程建立其離散 方程，然后在整個(gè)區(qū)域內(nèi)統(tǒng)一地求解代數(shù)方程。三個(gè)區(qū)域的兩個(gè)分界線作為主控制容積的界面線，所以當(dāng)采用交錯(cuò)網(wǎng)格時(shí)，主流方向速度的控制容積將跨越兩個(gè)區(qū)域，如

17、圖所示。該速控制容積的aE, aw分別按級(jí)坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系計(jì)算，而 aN,aS可按并聯(lián)處理：先分別按兩區(qū)域中的半控制容積計(jì)算，后相加，源項(xiàng)亦仿此。5、采用特殊的正交坐標(biāo)系三維正交曲線坐標(biāo)系中，穩(wěn)態(tài)對(duì)流一擴(kuò)散問題的通用控制方程為速度u的控制容積(uih2h3)(山2人擊3 )(U3hih2 )hih2h3 ；:x1h1 h2h3 ：x2h1 h2h3 ；:x31： / h3 、1甘2=(-2)3 (-3) Shhzhs ：*1h2 ；x2h/zhs ；x3h3 ；x3控制方程寫成這種形式時(shí)，一切由曲線坐標(biāo)，滯流模型引起的附加項(xiàng)都包括在S中去了，因此，S的表達(dá)式一般比較復(fù)雜。曲面邊界平面通道中層流

18、充分發(fā)展對(duì)流換熱，設(shè)X3主為主流方向，且為直線坐標(biāo)，再利用充分發(fā)展條件，可得JL(遲戲)+JL(心蘭)一Shh2=Cx1 hi 一為x2 x2式中，-,C例于表中*rCU3uh1 h2dp/dx3tU/prc(h1hJ?U3t)/3P來分析，X3方向控制容積厚度為在該流道截面的二維正交曲線坐標(biāo)系中取出一個(gè)控制容積X3，將上面的控制方程在該控制容積上作積分，等式左端第一項(xiàng)為 = x3C 匹)dx1dx2s 海h| ；x1-)e-C.Xihi %)dx2利用度規(guī)系數(shù)的性質(zhì)，上式進(jìn)一步變?yōu)镮 三pg)pEnsh2dX2e類似地，左端第二項(xiàng)積分為：II5n（。燈(U)sC s2) SP等號(hào)右端的積分為

19、：C = (Sc S/ p)hih2n en eIIICdxidx2 - -(Sc Sp phih2dxidx2 - -(Sc Sp ) ：Vps ；.Ts :其中控容體積Vp為：Vp竺；(S2)e +3S2)K,(Asi)n +Qsi)s =1 2 2 3將I、II、山代入積分式，整理得到ap =aE E aw w aN as l b其中aE-e(s2)0 s1 ) PE),aw(0).,(g)wp,aNg)as-sNP(U)sC s2)SPap =aE aw a” a$ Sp Vp, b = ScVp前面導(dǎo)出的三種典型坐標(biāo)系中的二維導(dǎo)熱的離散方程只不過是上式的特殊形式，從上式出h1,h2的

20、不同計(jì)算式即發(fā)，可以編制正交坐標(biāo)系中二維導(dǎo)熱的通用程序，不同坐標(biāo)系中只是規(guī)定可。（對(duì)流動(dòng)問題，采用原始變量法時(shí)，亦需應(yīng)用交錯(cuò)網(wǎng)格）對(duì)于擴(kuò)散（導(dǎo)熱）問題，當(dāng)計(jì)算區(qū)域的邊界正好與正交曲線坐標(biāo)系的坐標(biāo)相吻合時(shí)，采用相 當(dāng)導(dǎo)熱體的概念可以使這類問題的計(jì)算得到簡化，無內(nèi)熱源時(shí)，能量方程為(：t )(.X3t) = oX3hi h2 h3.:thiXi如果把Xi,X2及X3視為一新直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo),、h1h2h3 把h2作為相當(dāng)導(dǎo)熱系數(shù),記著*，則上式化為3-(i 4Xi* ;：ti)=0Xj這樣，在原直角坐標(biāo)系中的一個(gè)曲面物體就被轉(zhuǎn)換成了新直角坐標(biāo)系中的規(guī)則長方體，導(dǎo)熱系數(shù)由變成了各向異性的相當(dāng)導(dǎo)

21、熱系數(shù)*，原直角坐標(biāo)系所代表的空間稱為物理空間，而新直角坐標(biāo)系所代表的則稱為計(jì)算空間，如圖所示：2于是，該導(dǎo)熱問題可先在計(jì)算空間中求解，由于它在計(jì)算空間中是規(guī)則區(qū)域，數(shù)值計(jì)算易于 進(jìn)行，然后把計(jì)算空間中的計(jì)算結(jié)果傳送到物理空間中去，兩個(gè)空間中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系由曲線坐標(biāo) 的定義所規(guī)定。在由物理空間向計(jì)算空間轉(zhuǎn)換時(shí)，邊界條件亦應(yīng)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)換而成為計(jì)算空間長方體的邊界 條件。第一類邊界條件：把給定溫度賦給計(jì)算空間中相應(yīng)的點(diǎn)即可。對(duì)第二、第三類邊界條件，相應(yīng)的模式列于表中類別 空間第二類邊界條件第三類邊界條件物理空間,ct一、=qn Snfta (t - t f ) B=kfn 計(jì)算空間盤訕2人3人i一q

22、ncxihih h2 h3hf),* ctB = 一扎iGXiBX2=c onst:;,tfa；=譏：.把物理空間中的曲線坐標(biāo)系當(dāng)作計(jì)算空 間中的直解坐標(biāo)系，從而把物理空間中不規(guī)則 形狀的求解區(qū)域變換成計(jì)算空間中規(guī)則的長方 體（三維問題）或矩形（二維問題），這種做不 僅適用于導(dǎo)熱問題，也可用于對(duì)流換熱問題， 于是，有限差分法的一個(gè)主要弱點(diǎn)一不易處理 不規(guī)則邊界問題，可以說原則上已根本解決了?，F(xiàn)在的問題是，現(xiàn)成的曲線坐標(biāo)系的數(shù)目 畢竟是有限的，而不規(guī)則形狀的物體則是千變?nèi)f化的，不可能滿足上述變換的需要。要使上述變 換思想付諸實(shí)現(xiàn)，必須發(fā)展一套方法，對(duì)于那些沒有現(xiàn)成曲線坐標(biāo)系可以利用的復(fù)雜形狀，可

23、以 利用這套方法來建立一個(gè)與該物體相適應(yīng)的坐標(biāo)系，這就是適體坐標(biāo)系的思想。5-5 適體坐標(biāo)系(Body-Fitted coordinateS)一、適體坐標(biāo)系的基本概念如上所述，最理想的坐標(biāo)系是其各坐標(biāo)軸與所計(jì)算物體的邊界一一相符合的坐標(biāo)系，稱為適 體坐標(biāo)系，又稱貼體坐標(biāo)系，附體坐標(biāo)系，無現(xiàn)成的坐標(biāo)系可資利用時(shí)，希望通過計(jì)算來構(gòu)造這 樣的坐標(biāo)系，如圖所示。x-y坐標(biāo)系中的不規(guī)則區(qū)域 ABCD，把其相交的兩個(gè)邊界作為曲線坐標(biāo)系的兩個(gè)軸，記為,， 且：（1）一條邊界上，只能一個(gè)坐標(biāo)單值地發(fā)生為化，另一個(gè)坐標(biāo)保持為常數(shù)；（2）在兩條對(duì)應(yīng)邊界上，另一組曲線坐標(biāo)的最大值與最小值對(duì)應(yīng)相等，以便在計(jì)算平面上

24、得出矩形區(qū)域。問題：物理平面上，點(diǎn)（x，y）與計(jì)算平面上（）的對(duì)應(yīng)關(guān)系？求解結(jié)果的傳送?如果把,視為物理平面上的兩個(gè)未知函數(shù)，那么上述確定,的問題就是物理平面上的一個(gè)邊值問題，因此，從物理平面上來說，所謂要生成一個(gè)適體坐標(biāo)系，實(shí)際上相當(dāng)于要求解物理 平面上的一個(gè)邊值問題。反之，首先把物理平面上的區(qū)域 ABCD按已規(guī)定的邊界上的,值，畫成計(jì)算平面上的,坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的矩形，然后以均勻網(wǎng)格離散化， 于是問題變?yōu)椋阂阎?jì)算區(qū)域邊界上各節(jié)點(diǎn) （,） 相應(yīng)的（U ），問在計(jì)算區(qū)域內(nèi)部任意一點(diǎn)（ Jn ）對(duì)應(yīng)的（U ）值是多少？這樣，如把 X、 y視為計(jì)算平面的未知函數(shù)，則生成適體坐標(biāo)系的問題即為計(jì)算平面中

25、的一個(gè)邊值問題。從數(shù)值計(jì)算的觀點(diǎn)，對(duì)生成的適體坐標(biāo)系有以下幾點(diǎn)要求：（1） 物理平面上的點(diǎn)與計(jì)算平面上的點(diǎn) 對(duì)應(yīng)，同一簇中的曲線不能相變，不同簇中的 兩曲線只能相交一次；（2）在適體坐標(biāo)系中，每一個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是一系列曲線坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，而不是一群三角形元 素的頂點(diǎn)或無序的點(diǎn)群，以便設(shè)計(jì)有效，經(jīng)濟(jì)的算法及程序，采用矩形網(wǎng)格即可；（3）物理平面求解區(qū)域內(nèi)網(wǎng)格疏密程度易于控制；（4）在物理平面的適體坐標(biāo)的邊界上，網(wǎng)格線最好與邊界線正交或接近正交，以便于邊界 條件的離散化。二、生成適體坐標(biāo)系的方法分類大致可分為三類1、復(fù)變函數(shù)法利用復(fù)變函數(shù)的映射，可以把相當(dāng)一批二維不規(guī)則區(qū)域變換成矩形區(qū)域，而且可以得出解

26、極或部分解析的變換關(guān)系式。= 0/2二相應(yīng)地：x）= ri (D -rj cos(2二)y(,)= ri -rj xin（2二）復(fù)變函數(shù)映射W =lnz =ln（re =lnr iri代=丨r 所以丿 nn =0控制方程的變化：；：2t ；：t1；：2t c02 2 . 2 :r:r r因?yàn)?-v , ：2t/：V2 二.：2t/?y22 tt . -. t2=0,仍然是各向同性!代入原控制方程，得（條件r = 0）厶42=,仍然是各向同性。:2: y可見，正交坐標(biāo)系法與復(fù)變函數(shù)法并不相同！2、代數(shù)變換法一利有一些代數(shù)關(guān)系式來進(jìn)行區(qū)域變換，具體實(shí)施方法頗多，最簡單的是邊 界規(guī)范化的方法。3、解

27、微分方程的方法一通過求解邊值問題的微分方程建立物理平面與計(jì)算平面上各點(diǎn)間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)該邊值問題的控制方程的類型，物理問題本身無任何限定，可以比較自由地按照對(duì)所生成 網(wǎng)格的要求來選擇控制方程。三、計(jì)算平面上求解區(qū)域形狀的選擇1、2、物理平面上的區(qū)域由四條兩兩相交曲線構(gòu)成的單連通域t計(jì)算平面上取為正方形或矩形; 物理平面的L型區(qū)域：有兩種選擇3411一J3n653、物理平面上的型區(qū)域：兩種選擇特別注意：節(jié)點(diǎn)間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不要受破壞，計(jì)算平面中求解節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，對(duì)重迭線上的節(jié) 點(diǎn)，每一個(gè)變量應(yīng)有兩套數(shù)組，以分別存放從左邊和右邊計(jì)算而得之值。注意：計(jì)算平面上的尖角點(diǎn)未必對(duì)應(yīng)于 物理平面上的尖角點(diǎn)，反

28、之亦然，例如物理 平面上一條連續(xù)封閉的曲線所圍成的區(qū)域可 以轉(zhuǎn)換成計(jì)算平面上的一個(gè)正方形。選擇計(jì)算平面上求解區(qū)域形狀的一條件：生成的網(wǎng)格要適用于計(jì)算的問題，通常,在計(jì)算平面上都采用正方形均勻網(wǎng)格。四、用適體坐標(biāo)系求解流動(dòng)與換熱問題 的總體步驟1網(wǎng)格生成：在計(jì)算平面上選擇與物 理平面上復(fù)雜區(qū)域相應(yīng)的求解區(qū)域，76x = x( ),y = y(,)或其反函數(shù)。這些關(guān)系可以是解析的，也可以是數(shù)值的。2、控制方程的生成與離散，把物理平面上的控制方程及邊界條件轉(zhuǎn)換成計(jì)算平面上的相應(yīng) 形式，并利用控制容積積人法律立離散方程。3、離散方程的求解及解的傳遞。在計(jì)算平面上獲得收斂的解后，根據(jù)節(jié)點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 傳送到物理平面上去。5-6控制方程的轉(zhuǎn)換及離散化、方程的轉(zhuǎn)換討論如何把物理平面上的穩(wěn)態(tài)對(duì)流一擴(kuò)散方程的通用形式轉(zhuǎn)換成一般曲線坐標(biāo)系-中的 形式，物理平面上的通用形式為)宀S)設(shè)已有函數(shù)x=x( ) y = y()要求找出反函數(shù),的上述導(dǎo)數(shù)(用已知函數(shù)X