3-1,2n維向量及其運(yùn)算向量組的線性相關(guān)性ppt課件

1、一一. n維向量空間維向量空間分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. .分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，1. n 維向量維向量定義：定義：n 個有次序的數(shù)個有次序的數(shù)12,na aa所組成的有序數(shù)組所組成的有序數(shù)組 12,na aa稱為一個稱為一個n 維向量。維向量。這這 n 個數(shù)稱為該向量的個數(shù)稱為該向量的 n 個分量，第個分量，第 個數(shù)個數(shù) 稱為第稱為第 個分量。個分量。iiia以后我們用小寫希臘字母以后我們用小寫希臘字母 來代表向量。來代表向量。, 例如：例如：), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n n維實(shí)向量維實(shí)向量

2、n n維復(fù)向量維復(fù)向量第第1 1個分量個分量第第n n個分量個分量第第2 2個分量個分量向量通常寫成一行：向量通常寫成一行： 12,na aa 有時(shí)也寫成一列：有時(shí)也寫成一列：12naaa 稱為行向量。稱為行向量。稱為列向量。稱為列向量。分量全為零的向量分量全為零的向量 稱為零向量。稱為零向量。 0,0,02. 向量的運(yùn)算和性質(zhì)向量的運(yùn)算和性質(zhì)向量相等：假設(shè)向量相等：假設(shè) n 維向量維向量 12,na aa 12,nb bb 的對應(yīng)分量都相等，即的對應(yīng)分量都相等，即 1,2,iiabin 就稱這兩個向量相等，記為就稱這兩個向量相等，記為 向量加法：向量向量加法：向量 1122,nnab aba

3、b 稱為向量稱為向量 12,na aa 12,nb bb 的和，記為的和，記為 負(fù)向量：向量負(fù)向量：向量 12,naaa 稱為向量稱為向量 的負(fù)向量的負(fù)向量 向量減法：向量減法：() 數(shù)乘向量：設(shè)數(shù)乘向量：設(shè)k為實(shí)數(shù)，向量為實(shí)數(shù)，向量 12,nka kaka稱為向量稱為向量 12,na aa 與數(shù)與數(shù)k的數(shù)量乘積。記為的數(shù)量乘積。記為k 0)4(0)3()()(2() 1 ( kkklklkkllk )8()7()()()6(1)5(滿足運(yùn)算律：滿足運(yùn)算律： 注：注：（1對任意的向量對任意的向量, 存在唯一的零向量存在唯一的零向量, o使得使得o（2對任意的向量對任意的向量, 存在唯一的負(fù)向量

4、存在唯一的負(fù)向量, 使得使得()o （4假設(shè)假設(shè)0, 那么那么00 或或 00; ( 1); 00. （3）確定飛機(jī)的狀態(tài)，需確定飛機(jī)的狀態(tài)，需要以下要以下6個參數(shù)：個參數(shù)：飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)飛機(jī)重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角機(jī)身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機(jī)身的仰角機(jī)身的仰角)22( 機(jī)翼的轉(zhuǎn)角機(jī)翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用所以，確定飛機(jī)的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實(shí)際意義維向量的實(shí)際意義n若一個本科學(xué)生大學(xué)階段共修若一個本科學(xué)生大學(xué)階段共修3636門課程門課程, ,成成績描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一績描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把

5、他的學(xué)業(yè)水平用一個向量來表示，這個向量是幾維的？個向量來表示，這個向量是幾維的？ 若干個同維數(shù)的列向量或同維數(shù)的行向量所組成的集合叫做向量組例如例如維維列列向向量量個個有有矩矩陣陣mnaijAnm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組Aa1a2ana2ajana1a2ajan維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ，

6、 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個同維的向量所組成的向量組反之，由有限個同維的向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣可以構(gòu)成一個矩陣.12 ,mmnn m 個 維列向量所組成的向量組構(gòu)成一個矩陣矩陣矩陣構(gòu)成一個構(gòu)成一個的向量組的向量組維行向量所組成維行向量所組成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 312線性方程組線性方程組12312312222131xxxxxxxx 向量間的線性運(yùn)算關(guān)系：向量間的線性運(yùn)算關(guān)系：方程方程1加方程加方程2可以消去方程可以消去方程3，1(1,2, 1,2)2(2, 1,1, 1)3(3,1,0,1)

7、說明方程說明方程3多余多余1212 :,mmAkkk 給定向量組，如果存在一組數(shù) ， ，定義定義12,.m 或稱向線量 是量組的性組合向112212 ,mmmkkk 使得則稱向量 可以由向量組，的線性表示，任意一個任意一個n維向量維向量a都能由都能由n維單位坐標(biāo)向量組維單位坐標(biāo)向量組e1,e2,en線性表示線性表示.12( , ,) ,Tnaa aa1(1,0,0) ,Te 2(0,1, ,0) , ,(0,0, ,1)TTnee1212100010001nnaaaaaa 定義定義2 2 設(shè)兩個設(shè)兩個n n維向量組維向量組 a1, a2, a3,as a1, a2, a3,as(II) b1,

8、 b2, b3, ,bt(II) b1, b2, b3, ,bt假設(shè)假設(shè)(I)(I)組中每一個向量組中每一個向量ai (i=1,2,s)ai (i=1,2,s)都都能由向量組能由向量組(II)(II)線性表示，則稱向量組線性表示，則稱向量組(I)(I)可以由向量組可以由向量組(II)(II)線性表示線性表示. .如果兩個向量組可以相互線性表示，則稱這如果兩個向量組可以相互線性表示，則稱這兩個向量組等價(jià)兩個向量組等價(jià). . 例如，對于向量組例如，對于向量組 a1=(1,0) , a2=(0,1) a1=(1,0) , a2=(0,1) (II) b1=(1,1) , b2=(2,3) (II)

9、b1=(1,1) , b2=(2,3) 易證易證 a1=3b1-b2 , a2= -2b1+b2 a1=3b1-b2 , a2= -2b1+b2 b1=a1+a2 , b1=a1+a2 , b2=2a1+3a2 b2=2a1+3a2 由于這兩個向量組能相互表示，因此它們等價(jià)由于這兩個向量組能相互表示，因此它們等價(jià)向量組的等價(jià)具有性質(zhì)：向量組的等價(jià)具有性質(zhì)：自反性自反性 任一向量組與其自身等價(jià)任一向量組與其自身等價(jià).對稱性對稱性 若向量組若向量組(I)與與(II)等價(jià)，則向量組等價(jià)，則向量組(II)也與也與(I)等價(jià)等價(jià).3. 傳遞性傳遞性 若向量組若向量組(I)與與(II)等價(jià)，向量等價(jià)，向量

10、組組(II)與與(III)等價(jià)，則向量組等價(jià)，則向量組(I)與與(III)等等價(jià)價(jià). 12,mi 如果中有一個向量（不妨設(shè)）能用其余向量線性表示，111,iimkkkk則存在一組數(shù)滿足111111 iiiiimmkkkk111, 1,iimkkkk即存在不全為0的數(shù)，111111 ( 1)0iiiiimmkkkk 使得0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全為為零零的的數(shù)數(shù)如如果果存存在在不不給給定定向向量量組組注意注意1211122 1. ,0, 0.mmmmkkkkk 若線性無關(guān) 則只有當(dāng)時(shí) 才有成立., 2. 線線性性相相關(guān)關(guān)性性無無關(guān)關(guān)就就是是不不是是線線對對于于任

11、任一一向向量量組組定義定義3 3則稱向量組則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A., 0, 0, 3. 線線性性無無關(guān)關(guān)則則說說若若線線性性相相關(guān)關(guān)則則說說若若時(shí)時(shí)向向量量組組只只包包含含一一個個向向量量 .4. 組組是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量.,. 5 量共面量共面向向量相關(guān)的幾何意義是三量相關(guān)的幾何意義是三是兩向量共線；三個向是兩向量共線；三個向義義量對應(yīng)成比例，幾何意量對應(yīng)成比例，幾何意充要條件是兩向量的分充要條件是兩向量的分它線性相關(guān)的它線性相關(guān)的量組量組對于含有兩個向量的向?qū)τ诤袃蓚€向量的向0k令，00,k當(dāng)

12、時(shí)，則 線性無關(guān)00,k當(dāng)時(shí)， 可以不為 則 線性相關(guān)方法從定義出發(fā)方法從定義出發(fā) 000, 0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令整理得線性方程組整理得線性方程組)(, 0, 0, 0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121線線性性相相關(guān)關(guān)則則有有非非零零解解若若線線性性方方程程組組線線性性無無關(guān)關(guān)則則只只有有唯唯一一零零解解若若線線性性方方程程組組 mm 例研究下列向量組的線性相關(guān)性例研究下列向量組的線性相關(guān)性.201,520,321321 解解: 000201

13、520321, 0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(. 0253, 022, 03212131 kkkkkkk.,)(, 0253022101)(321線線性性相相關(guān)關(guān)從從而而必必有有非非零零解解線線性性方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式線線性性方方程程組組 1112121121222211220,0,0,mmmmnnmnmkkkkkkkkk齊次線性方程組 有非零解12,m 向量組線性相關(guān)1211220,0mmmk kkkkk存在不全為 的使得 線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用線性相關(guān)性在線性方程組中的應(yīng)用1211112111222212(,),(1,2, ),0ii

14、iinnnnnnnnnnnaaainnaaaaaaaaa 22定理1 設(shè)有 個 維向量則向量組線性無關(guān)的充分必要條件是由構(gòu)成的 階行列式 解解12 100010 ,=10001nne ee維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的行列式.故向量組線性無關(guān)維維向向量量組組n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,討討論論其其線線性性相相關(guān)關(guān)性性維維單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量組組稱稱為為n例例2解解， 742520111321 .321的線性相關(guān)性，試討論向量組已知已知例例3組成的行列式，由3210751421201.故向量組線性相關(guān). , , 32113332221132

15、1線性無關(guān)試證線性無關(guān)已知向量組 bbbbbb例例4 40 ,332211321bkbkbkkkk使設(shè)有, 0)()( 133322211kkk）（即, 0)()() 332221131kkkkkk（亦即線性無關(guān)，故有線性無關(guān)，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131kkkkkk證證02110011101 列列式式由由于于此此方方程程組組的的系系數(shù)數(shù)行行., 0 321321線性無關(guān)向量組，所以故方程組只有零解bbbkkk定理定理2 2向量組向量組 （當(dāng)（當(dāng) 時(shí)線性相關(guān)時(shí)線性相關(guān)的充分必要條件是的充分必要條件是 中至少有一個向中至少有一個向量可由其余量可由其余 個向量線性表示個向

16、量線性表示m ,212 mm ,211 m證明證明 充分性充分性 設(shè)設(shè) 中有一個向量比如中有一個向量比如 ）能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.12,m m即有即有112211mmm 故故11221110mmm 因因 這這 個數(shù)不全為個數(shù)不全為0， 1,121 m m故故 線性相關(guān)線性相關(guān).m ,21必要性必要性設(shè)設(shè) 線性相關(guān)，線性相關(guān)，m ,21則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，mkkk,21不妨設(shè)則有不妨設(shè)則有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性

17、表示.1 證畢證畢. ,. ,: , (1) 1121也也線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組則則線線性性無無關(guān)關(guān)量量組組若若向向反反言言之之也也線線性性相相關(guān)關(guān)向向量量組組則則線線性性相相關(guān)關(guān)：向向量量組組若若ABBAmmm 定理定理3 3）設(shè)設(shè)（2 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj .:1 關(guān)關(guān)的任何部分組都線性無的任何部分組都線性無向量組線性無關(guān)，則它向量組線性無關(guān)，則它反之，若一個反之，若一個線性相關(guān)線性相關(guān)含有零向量的向量組必含有零向量的向量組必特別地，特別地，量組線性相關(guān)量組線性相關(guān)相關(guān)的部分組，則該向相關(guān)的部分組，則該向一個向量組若有線性一個向

18、量組若有線性）可推廣為）可推廣為結(jié)論（結(jié)論（說明說明.,.,.2121性相關(guān)性相關(guān)也線也線則向量組則向量組線性相關(guān)線性相關(guān)反言之，若向量組反言之，若向量組關(guān)關(guān)也線性無也線性無：則向量組則向量組線性無關(guān)線性無關(guān)：若向量組若向量組添上一個分量后得向量添上一個分量后得向量即即ABbbbBAbmmjj .,12 結(jié)論也成立結(jié)論也成立個分量個分量維）而言的，若增加多維）而言的，若增加多即維數(shù)增加即維數(shù)增加）是對增加一個分量（）是對增加一個分量（結(jié)論（結(jié)論（說明說明定理定理4 4 設(shè)向量組設(shè)向量組a1, a2, a3,asa1, a2, a3,as線性無關(guān)，線性無關(guān)，如果向量組如果向量組 a1, a2, , as, b a1, a2, , as, b線性相線性相關(guān)，那么關(guān)，那么b b必能由必能由a1,a2, , asa1,a2, , as線性表線性表示，而且表達(dá)式是唯一的示，而且表達(dá)式是唯一的. . 證：證：因因 線性相關(guān)，線性相關(guān)，12,s 則有不全為則有不全為0的數(shù)使的數(shù)使 12,sk kk k11220.sskkkk因因 中至少有一個不為中至少有一個不為0，12,skkkk故故 那么那么 0,k 1212.sskkkkkk 即即 能由其余向量線性表示能由其余向量線性表示.假設(shè)則有假設(shè)則有0,k 11220.sskkk且且 中至少有一個不為