反比例函數(shù)培優(yōu)-含答案(共15頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題11 雙曲線閱讀與思考形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，這也是現(xiàn)實(shí)生活中普遍使用的模型，如通過(guò)改變電阻來(lái)控制電流的變化，從而使舞臺(tái)的燈光達(dá)到變幻的效果；又如過(guò)濕地時(shí)，在地面上鋪上木板，人對(duì)地面的壓強(qiáng)減小，從而使人不陷入泥中.反比例函數(shù)的基本性質(zhì)有：1. 反比例函數(shù)圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，雙曲線向坐標(biāo)軸無(wú)限延伸，但不能與坐標(biāo)軸相交；2. k的正負(fù)性，決定雙曲線大致位置及y隨x的變化情況；3. 雙曲線上的點(diǎn)是關(guān)于中心對(duì)稱的，雙曲線也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直線及.反比例函數(shù)與一次函數(shù)有著內(nèi)在的聯(lián)系. 如在作圖時(shí)都要經(jīng)歷列表、描點(diǎn)、連線的過(guò)程；研究它們的性質(zhì)時(shí)，都是通過(guò)幾個(gè)

2、具體的函數(shù)歸納出一般的規(guī)律，但它們畢竟不同.反比例函數(shù)中的幾何意義是：等于雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線所得的矩形的面積，如圖： （1）；（2）.求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，常通過(guò)解由這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組得到.求符合某種條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，常根據(jù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程（組），解方程（組）求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).解反比例函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分考慮它的對(duì)稱性，這樣既能從整體上思考問(wèn)題，又能提高思維的周密性.反比例函數(shù)是描述變量之間相互關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型之一，用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，既要分析問(wèn)題情景，建立模型，又要綜合方程、一次函數(shù)等知識(shí).例題與求解 【例1】（1）

3、如圖，已知雙曲線經(jīng)過(guò)矩形OABC邊AB的中點(diǎn)F且交BC于點(diǎn)E，四邊形OEBF的面積為2，則 .（蘭州市中考試題） （2）如圖，P1OA1，P2A1A2都是等腰直角三角形，點(diǎn)P1，P2在函數(shù)的圖象上，斜邊OA1，A1A2都在x軸上，則點(diǎn)A2的坐標(biāo)是 .（南通市中考試題）解題思路：對(duì)于（1），通過(guò)連線，把相關(guān)圖形的面積用k表示；對(duì)于（2），設(shè)，把A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)用a，b表示. 【例2】如圖，P是函數(shù)圖象上一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，PMx軸于M，交AB于E，PNy軸于N，交AB于F，則的值為 . （北京市競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)，把AF，BE用a，b的式子表示.【例3】如圖，已知直線與雙曲線

4、交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求AOC的面積；（3）過(guò)原點(diǎn)O的另一條直線l交于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo).（福州市中考試題）解題思路：對(duì)于（2），有下列不同的解法： 圖1 圖2 圖3對(duì)于（3），需要思考的是，四邊形APBQ的形狀，P點(diǎn)與A點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系.【例4】已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn). （1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）如圖，已知A點(diǎn)在第一象限且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求A點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，

5、使AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解題思路：對(duì)于（3），應(yīng)分類討論，并注意A點(diǎn)坐標(biāo)隱含的信息. 【例5】一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A分別作ACx軸，AEy軸，垂足分別為C，E；過(guò)點(diǎn)B分別作BFx軸，BDy軸，垂足分別為F，D，AC與BD交于點(diǎn)K，連接CD.（1）若點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象的同一分支上，如圖1，試證明： ； .（2）若點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)的圖象的不同分支上，如圖2，則AN與BM還相等嗎？試證明你的結(jié)論. 圖1 圖2（威海市中考試題）解題思路：對(duì)于（1），通過(guò)連線證明面積相

6、等，進(jìn)而可證ABDC，則四邊形ANDC，DCMB為平行四邊形；（2）方法同（1）.例5的拓展變化：如圖，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)M作MEx軸，過(guò)點(diǎn)N作NFy軸，垂足分別為E、F，則MNEF. 【例6】點(diǎn)，與點(diǎn)C構(gòu)成邊長(zhǎng)是3，4，5的直角三角形，如果點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，求k可能取的一切值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：本題是與反比例函數(shù)相關(guān)的綜合題，運(yùn)用了代數(shù)化、勾股定理、消元降次、分類討論等思想方法.能力訓(xùn)練A 級(jí)1. 已知是反比例函數(shù)，則 .2. 若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則滿足條件的正整數(shù)k的值是 .（沈陽(yáng)市中考試題）3. 已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如果，兩點(diǎn)在該雙曲

7、線上，且，那么 . （威海市中考試題）4. 已知函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三點(diǎn)，則，的大小關(guān)系是 .5. 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交于A，B兩點(diǎn)，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是 . （荊門市中考試題）6. 如圖，B為雙曲線上一點(diǎn)，直線AB平行于y軸交直線于點(diǎn)A，若，則 . （武漢市四月調(diào)考試題）（第5題） （第6題）7. 如圖，直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AMx軸于M點(diǎn)，連接BM，若，則k的值是（ ）A.2 B. C. D.4（鄂州市中考試題）（第7題） （第8題）8. 如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為A、B，過(guò)A作y軸的平行線與過(guò)B作x軸的平行線相交于

8、點(diǎn)C，則ABC的面積為（ ）A.8 B.6 C.4 D.2（深圳市中考試題） 9. 函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）（山西省中考試題）10. 如圖，RtABO的頂點(diǎn)A是雙曲線與直線在第四象限的交點(diǎn)，ABx軸于B，且. （1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式； （2）求直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A，C的坐標(biāo)和AOC的面積.（黃岡市中考試題）11. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸、x軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與反比例函數(shù)在第一象限的圖象交于點(diǎn)、，過(guò)C點(diǎn)作CEy軸于E，過(guò)點(diǎn)D作DFx軸于F. （1）求m，n的值； （2）求直線AB的函數(shù)解析式； （3）求證：AEC DFB.（溫州市中考試題）12. 如圖

9、所示，已知雙曲線的圖象上有兩點(diǎn)，且，分別過(guò)，向x軸作垂線，垂足為B，D，過(guò)，向y軸作垂線，垂足分別為A，C. （1）若記四邊形和四邊形的面積分別為，周長(zhǎng)分別為，試比較和，和的大小； （2）若P是雙曲線上一點(diǎn)，分別過(guò)P向x軸、y軸作垂線，垂足分別為M，N. 試問(wèn)當(dāng)P在何處時(shí)四邊形PMON的周長(zhǎng)最小，最小值為多少？（黃岡市特長(zhǎng)生選拔賽試題）B 級(jí)1. 已知，且與成反比例，與成反比例. 且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， .2. 直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，則 .（荊門市中考試題）3. 如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A，C，自點(diǎn)A和點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足分別為B和D，則四邊形ABCD的面積等于 .（

10、北京市競(jìng)賽試題） （第3題） （第4題）4. 已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C，B，與雙曲線交于點(diǎn)A，D，若，則k的值為 .（十堰市中考試題）5. 兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，PCx軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，PDy軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有以下結(jié)論： ODB與OCA的面積相等； 四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化； PA與PB始終相等； 當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn).其中一定正確的是 .（咸寧市中考試題）6. 如圖，正方形OABC，ADEF的頂點(diǎn)A，D，C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)B，E在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是

11、（ ）A. B. C. D.（紹興市中考試題）7. 如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是曲線和，設(shè)P點(diǎn)在上，PEx軸于點(diǎn)E，交于點(diǎn)A，PDy軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)B，則四邊形PAOB的面積為（ ）A. B. C. D.（浙江省競(jìng)賽試題）8. 等腰直角三角形ABC位于第一象限，直角頂點(diǎn)A在直線上，其中A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且兩條直角邊AB、AC分別平行于x軸、y軸，若雙曲線與ABC有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（ ）A. B. C. D.（濟(jì)南市中考試題）9. 如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、

12、y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S.（1）求B點(diǎn)坐標(biāo)和k的值； （2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式.（溫州市中考試題）10. 如圖，已知直線交x軸于A，交y軸于B，P為反比例函數(shù)上一點(diǎn)，過(guò)P作x軸平行線交直線l于E，過(guò)P作y軸平行線交直線l于F. 求的值.11. 已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，. （1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式； （2）求MON的面積.（太原市競(jìng)賽試題）12. 已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸，y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且. 這條曲線是函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是，由點(diǎn)P向x軸、y軸作垂線PM，PN（垂足分別為M，N），分別與直線AB相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F. （1）設(shè)交點(diǎn)E和F都在線段AB上（如圖），分別求E，F(xiàn)的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示E