第二十四章圓

1、黃興中學(xué) 九年級(jí) 數(shù)學(xué) 教者：謝志友第二十四章 圓 教學(xué)內(nèi)容 1本單元數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容 （1）圓有關(guān)的概念：垂直于弦的直徑，弧、弦、圓心角、圓周角 （2）與圓有關(guān)的位置關(guān)系：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系 （3）正多邊形和圓 （4）弧長和扇形面積：弧長和扇形面積，圓錐的側(cè)面積和全面積 2本單元在教材中的地位與作用 學(xué)生在學(xué)習(xí)本章之前，已通過折疊、對(duì)稱、平移旋轉(zhuǎn)、推理證明等方式認(rèn)識(shí)了許多圖形的性質(zhì)，積累了大量的空間與圖形的經(jīng)驗(yàn)本章是在學(xué)習(xí)了這些直線型圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步來探索一種特殊的曲線圓的有關(guān)性質(zhì)通過本章的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生今后繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，尤其是逐步樹立分類討論的

2、數(shù)學(xué)思想、歸納的數(shù)學(xué)思想起著良好的鋪墊作用本章的學(xué)習(xí)是高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其是圓錐曲線的學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)性工程 教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)與技能 （1）了解圓的有關(guān)概念，探索并理解垂徑定理，探索并認(rèn)識(shí)圓心角、弧、弦之間的相等關(guān)系的定理，探索并理解圓周角和圓心角的關(guān)系定理 （2）探索并理解點(diǎn)和圓、直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系：了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線 （3）進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解正多邊形和圓的關(guān)系和正多邊的有關(guān)計(jì)算 （4）熟練掌握弧長和扇形面積公式及其它們的應(yīng)用；理解圓錐的側(cè)面展開圖并熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算 2過程與方法 （1）積

3、極引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、測(cè)量、平移、旋轉(zhuǎn)、推理證明等活動(dòng)了解概念，理解等量關(guān)系，掌握定理及公式 （2）在教學(xué)過程中，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，并進(jìn)行同伴之間的交流 （3）在探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系的過程中，讓學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思想和歸納的數(shù)學(xué)思想 （4）通過平移、旋轉(zhuǎn)等方式，認(rèn)識(shí)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，使學(xué)生明確圖形在運(yùn)動(dòng)變化中的特點(diǎn)和規(guī)律，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力 （5）探索弧長、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算公式并理解公式的意義、理解算法的意義 3情感、態(tài)度與價(jià)值觀 經(jīng)歷探索圓及其相關(guān)結(jié)論的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力；通過積極引導(dǎo)，幫助學(xué)生有意識(shí)地積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得成功的

4、體驗(yàn)；利用現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中的素材，設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的情景，激發(fā)學(xué)生求知、探索的欲望 教學(xué)重點(diǎn) 1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其運(yùn)用 2在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等及其運(yùn)用 3在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半及其運(yùn)用 4半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其運(yùn)用 5不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 6直線L和O相交d<r；直線L和圓相切d=r；直線L和O相離d>r及其運(yùn)用 7圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑及其運(yùn)用 8經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線

5、是圓的切線并利用它解決一些具體問題 9從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角及其運(yùn)用 10兩圓的位置關(guān)系：d與r1和r2之間的關(guān)系：外離d>r1+r2；外切d=r1+r2；相交r2-r1<d<r1+r2；內(nèi)切d=r1-r2；內(nèi)含d<r2-r1 11正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角之間的等量關(guān)系并應(yīng)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目 12n°的圓心角所對(duì)的弧長為L=，n°的圓心角的扇形面積是S扇形=及其運(yùn)用這兩個(gè)公式進(jìn)行計(jì)算 13圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算 教學(xué)難點(diǎn) 1垂徑定理的探索與推導(dǎo)及利用它解決一些實(shí)

6、際問題 2弧、弦、圓心有的之間互推的有關(guān)定理的探索與推導(dǎo)，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問題 3有關(guān)圓周角的定理的探索及推導(dǎo)及其它的運(yùn)用 4點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用 5三點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索及應(yīng)用 6直線和圓的位置關(guān)系的判定及其應(yīng)用 7切線的判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用 8切線長定理的探索與運(yùn)用 9圓和圓的位置關(guān)系的判定及其運(yùn)用 10正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角的關(guān)系的應(yīng)用 11n的圓心角所對(duì)的弧長L=及S扇形的公式的應(yīng)用 12圓錐側(cè)面展開圖的理解 教學(xué)關(guān)鍵 1積極引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、測(cè)量、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)活動(dòng)探索定理、性質(zhì)、“三個(gè)”位置關(guān)系并推理證明等活動(dòng) 2關(guān)注學(xué)生思考方式的多樣化，注重學(xué)生

7、計(jì)算能力的培養(yǎng)與提高 3在觀察、操作和推導(dǎo)活動(dòng)中，使學(xué)生有意識(shí)地反思其中的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力及語言表達(dá)能力 單元課時(shí)劃分 本單元教學(xué)時(shí)間約需13課時(shí)，具體分配如下： 241 圓 3課時(shí) 242 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 4課時(shí) 243 正多邊形和圓 1課時(shí) 244 弧長和扇形面積 2課時(shí)教學(xué)活動(dòng)、習(xí)題課、小結(jié) 3課時(shí)241 圓教學(xué)內(nèi)容 1圓的有關(guān)概念 2垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧及其它們的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo) 了解圓的有關(guān)概念，理解垂徑定理并靈活運(yùn)用垂徑定理及圓的概念解決一些實(shí)際問題 從感受圓在生活中大量存在到圓形及圓的形成過程，講授圓的有關(guān)概念利

8、用操作幾何的方法，理解圓是軸對(duì)稱圖形，過圓心的直線都是它的對(duì)稱軸通過復(fù)合圖形的折疊方法得出猜想垂徑定理，并輔以邏輯證明加予理解重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：垂徑定理及其運(yùn)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索并證明垂徑定理及利用垂徑定理解決一些實(shí)際問題教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)口答下面兩個(gè)問題（提問一、兩個(gè)同學(xué)） 1舉出生活中的圓三、四個(gè) 2你能講出形成圓的方法有多少種？ 老師點(diǎn)評(píng)（口答）：（1）如車輪、杯口、時(shí)針等（2）圓規(guī)：固定一個(gè)定點(diǎn)，固定一個(gè)長度，繞定點(diǎn)拉緊運(yùn)動(dòng)就形成一個(gè)圓 二、探索新知 從以上圓的形成過程，我們可以得出： 在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所

9、形成的圖形叫做圓固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑 以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“O”，讀作“圓O” 學(xué)生四人一組討論下面的兩個(gè)問題： 問題1：圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離有什么規(guī)律？ 問題2：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)又有什么特點(diǎn)？ 老師提問幾名學(xué)生并點(diǎn)評(píng)總結(jié) （1）圖上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）； （2）到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上因此，我們可以得到圓的新定義：圓心為O，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)組成的圖形 同時(shí)，我們又把 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，如圖線段AC，AB； 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，如圖24-1線段AB； 圓上任意兩點(diǎn)間

10、的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，“以A、C為端點(diǎn)的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣弧 圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們回答下面兩個(gè)問題 1圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱軸？2你是用什么方法解決上述問題的？與同伴進(jìn)行交流 （老師點(diǎn)評(píng)）1圓是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是直徑，我能找到無數(shù)多條直徑 3我是利用沿著圓的任意一條直徑折疊的方法解決圓的對(duì)稱軸問題的 因此，我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)按下面要求完成下題：如

11、圖，AB是O的一條弦，作直徑CD，使CDAB，垂足為M （1）如圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么？ （2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說一說你理由 （老師點(diǎn)評(píng)）（1）是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是CD （2）AM=BM，即直徑CD平分弦AB，并且平分及 這樣，我們就得到下面的定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 下面我們用邏輯思維給它證明一下： 已知：直徑CD、弦AB且CDAB垂足為M 求證：AM=BM，. 分析：要證AM=BM，只要證AM、BM構(gòu)成的兩個(gè)三角形全等因此，只要連結(jié)OA、OB或AC、BC即可證明：如圖，連結(jié)OA、OB，則OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtO

12、AMRtOBM AM=BM 點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對(duì)稱 O關(guān)于直徑CD對(duì)稱當(dāng)圓沿著直線CD對(duì)折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合，與重合， 進(jìn)一步，我們還可以得到結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 （本題的證明作為課后練習(xí)） 例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弦（即圖中，點(diǎn)O是的圓心，其中CD=600m，E為上一點(diǎn)，且OECD，垂足為F，EF=90m，求這段彎路的半徑分析：例1是垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用了列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握 解：如圖，連接OC 設(shè)彎路的半徑為R，則OF=（R-90）m OECD CF=CD=

13、5;600=300（m） 根據(jù)勾股定理，得：OC2=CF2+OF2 即R2=3002+（R-90）2 解得R=545 這段彎路的半徑為545m 三、鞏固練習(xí) 教材P86 練習(xí) P88 練習(xí) 四、應(yīng)用拓展例2有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖24-5所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離CD=18m，當(dāng)洪水泛濫時(shí)，水面寬MN=32m時(shí)是否需要采取緊急措施？請(qǐng)說明理由 分析：要求當(dāng)洪水到來時(shí)，水面寬MN=32m是否需要采取緊急措施，只要求出DE的長，因此只要求半徑R，然后運(yùn)用幾何代數(shù)解求R 五、歸納小結(jié)（學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng)） 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1圓的有關(guān)概念； 2圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑

14、所在直線都是它的對(duì)稱軸 3垂徑定理及其推論以及它們的應(yīng)用教學(xué)反思241 圓（第二課時(shí)）教學(xué)內(nèi)容 1圓心角的概念 2有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 3定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等教學(xué)目標(biāo) 了解圓心角的概念：掌握在同圓或等圓中，圓心角、弦、弧中有一個(gè)量的兩個(gè)相等就可以推出其它兩個(gè)量的相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)值就相等，及其它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用 通過復(fù)習(xí)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，產(chǎn)生圓心角的概念，然后用圓心角和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)探索在同圓或等圓中，如果兩個(gè)

15、圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，最后應(yīng)用它解決一些具體問題重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)弦也相等及其兩個(gè)推論和它們的應(yīng)用 2難點(diǎn)與關(guān)鍵：探索定理和推導(dǎo)及其應(yīng)用教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì) 一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們完成下題已知OAB，如圖所示，作出繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°、45°、60°的圖形 老師點(diǎn)評(píng)：繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，O點(diǎn)就是固定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)30°，就是旋轉(zhuǎn)角BOB=30° 二、探索新知如圖所示，AOB的頂點(diǎn)在圓心，像這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們按下列要

16、求作圖并回答問題：如圖所示的O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB將圓心角AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到AOB的位置，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？為什么？ =，AB=AB 理由：半徑OA與OA重合，且AOB=AOB 半徑OB與OB重合 點(diǎn)A與點(diǎn)A重合，點(diǎn)B與點(diǎn)B重合 與重合，弦AB與弦AB重合=，AB=AB因此，在同一個(gè)圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等 在等圓中，相等的圓心角是否也有所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等呢？請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在動(dòng)手作一作（學(xué)生活動(dòng)）老師點(diǎn)評(píng)：如圖1，在O和O中，分別作相等的圓心角AOB和AOB得到如圖2，滾動(dòng)一個(gè)圓，使O與O重合，固定圓心，將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，使得OA與OA重

17、合 (1) (2) 你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？說一說你的理由？ 我能發(fā)現(xiàn)：=，AB=A/B/ 現(xiàn)在它的證明方法就轉(zhuǎn)化為前面的說明了，這就是又回到了我們的數(shù)學(xué)思想上去呢化歸思想，化未知為已知，因此，我們可以得到下面的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等 同樣，還可以得到： 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在給予說明一下 請(qǐng)三位同學(xué)到黑板板書，老師點(diǎn)評(píng) 例1如圖，在O中，AB、CD是兩條弦，OEAB，OFCD，垂足分別為EF （1）如果AO

18、B=COD，那么OE與OF的大小有什么關(guān)系？為什么？（2）如果OE=OF，那么與的大小有什么關(guān)系？AB與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？AOB與COD呢？分析：（1）要說明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中說明AE=CF，即說明AB=CD，因此，只要運(yùn)用前面所講的定理即可（2）OE=OF，在RtAOE和RtCOF中，又有AO=CO是半徑，RtAOERtCOF，AE=CF，AB=CD，又可運(yùn)用上面的定理得到=解：（1）如果AOB=COD，那么OE=OF 理由是：AOB=COD AB=CD OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AE=CF 又OA=OC RtOAERtOCF

19、 OE=OF （2）如果OE=OF，那么AB=CD，=，AOB=COD 理由是： OA=OC，OE=OF RtOAERtOCF AE=CF 又OEAB，OFCD AE=AB，CF=CD AB=2AE，CD=2CF AB=CD =，AOB=COD 三、鞏固練習(xí) 教材P89 練習(xí)1 教材P90 練習(xí)2 四、應(yīng)用拓展 例2如圖3和圖4，MN是O的直徑，弦AB、CD相交于MN上的一點(diǎn)P，APM=CPM （1）由以上條件，你認(rèn)為AB和CD大小關(guān)系是什么，請(qǐng)說明理由（2）若交點(diǎn)P在O的外部，上述結(jié)論是否成立？若成立，加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由教學(xué)反思241 圓(第3課時(shí))教學(xué)內(nèi)容 1圓周角的概念 2圓

20、周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弦所對(duì)的圓心角的一半 推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑及其它們的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo) 1了解圓周角的概念 2理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 3理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 4熟練掌握?qǐng)A周角的定理及其推理的靈活運(yùn)用 設(shè)置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想給予邏輯證明定理，得出推導(dǎo)，讓學(xué)生活動(dòng)證明定理推論的正確性，最后運(yùn)用定理及其推導(dǎo)解決

21、一些實(shí)際問題重難點(diǎn)、關(guān)鍵 1重點(diǎn)：圓周角的定理、圓周角的定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題 2難點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想證明圓周角的定理 3關(guān)鍵：探究圓周角的定理的存在教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)引入 （學(xué)生活動(dòng)）請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問題 1什么叫圓心角？ 2圓心角、弦、弧之間有什么內(nèi)在聯(lián)系呢？ 老師點(diǎn)評(píng)：（1）我們把頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角 （2）在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等 剛才講的，頂點(diǎn)在圓心上的角，有一組等量的關(guān)系，如果頂點(diǎn)不在圓心上，它在其它的位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關(guān)系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解決的問題二、探

22、索新知問題：如圖所示的O，我們?cè)谏溟T游戲中，設(shè)E、F是球門，設(shè)球員們只能在所在的O其它位置射門，如圖所示的A、B、C點(diǎn)通過觀察，我們可以發(fā)現(xiàn)像EAF、EBF、ECF這樣的角，它們的頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角現(xiàn)在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？ 2同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)是否發(fā)生變化？ 3同弧上的圓周角與圓心角有什么關(guān)系？（學(xué)生分組討論）提問二、三位同學(xué)代表發(fā)言老師點(diǎn)評(píng)： 初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng) 1一個(gè)弧上所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有無數(shù)多個(gè) 2通過度量，我們可以發(fā)現(xiàn)，同弧所對(duì)的圓周角是沒有變化的 3通過度量，我們可以得出

23、，同弧上的圓周角是圓心角的一半 下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”（1）設(shè)圓周角ABC的一邊BC是O的直徑，如圖所示 AOC是ABO的外角 AOC=ABO+BAO OA=OB ABO=BAO AOC=ABO ABC=AOC（2）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成這道題的說明過程 老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)BO交O于D同理AOD是ABO的外角，COD是BOC的外角，那么就有AOD=2ABO，DOC=2CBO，因此AOC=2ABC（3）如圖，圓周角ABC的兩邊AB、AC在

24、一條直徑OD的同側(cè)，那么ABC=AOC嗎？請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成證明老師點(diǎn)評(píng)：連結(jié)OA、OC，連結(jié)BO并延長交O于D，那么AOD=2ABD，COD=2CBO，而ABC=ABD-CBO=AOD-COD=AOC 現(xiàn)在，我如果在畫一個(gè)任意的圓周角ABC，同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，因此，同弧上的圓周角是相等的 從（1）、（2）、（3），我們可以總結(jié)歸納出圓周角定理： 在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半 進(jìn)一步，我們還可以得到下面的推導(dǎo)： 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑 下面，我們通過這個(gè)定理和推論來解一些題目 例1如圖，

25、AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？分析：BD=CD，因?yàn)锳B=AC，所以這個(gè)ABC是等腰，要證明D是BC的中點(diǎn)，只要連結(jié)AD證明AD是高或是BAC的平分線即可 解：BD=CD 理由是：如圖24-30，連接AD AB是O的直徑 ADB=90°即ADBC 又AC=ABBD=CD 教學(xué)反思點(diǎn)和圓的位置關(guān)系教學(xué)內(nèi)容了解不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，以及過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力2通過探索不在同一條直線

26、上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓的問題，進(jìn)一步體會(huì)解決數(shù)學(xué)問題的策略重難點(diǎn)、關(guān)鍵1形成解決問題的一些基本策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神2學(xué)會(huì)與人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課師我們知道經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩點(diǎn)只能作一條直線那么，經(jīng)過一點(diǎn)能作幾個(gè)圓？經(jīng)過兩點(diǎn)、三點(diǎn)呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行有關(guān)探索新課講解1回憶及思考投影片(§34A)1線段垂直平分線的性質(zhì)及作法2作圓的關(guān)鍵是什么？生1線段垂直平分線的性質(zhì)是：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等作法：如下圖，分別以A、B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，在AB的兩側(cè)找出兩交

27、點(diǎn)C、D，作直線CD，則直線CD就是線段AB的垂直平分線，直線CD上的任一點(diǎn)到A與B的距離相等師我們知道圓的定義是：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓定點(diǎn)即為圓心，定長即為半徑根據(jù)定義大家覺得作圓的關(guān)鍵是什么？生由定義可知，作圓的問題實(shí)質(zhì)上就是圓心和半徑的問題因此作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑的大小確定了圓心和半徑，圓就隨之確定2做一做(投影片§34B)(1)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A，你能作出幾個(gè)這樣的圓？(2)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A、B你是如何作的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？其圓心的分布有什么特點(diǎn)？與線段AB有什么關(guān)系？為什么？(3)作圓，使它經(jīng)過已知點(diǎn)A、B、C(A、B、C

28、三點(diǎn)不在同一條直線上)你是如何作的？你能作出幾個(gè)這樣的圓？師根據(jù)剛才我們的分析已知，作圓的關(guān)鍵是確定圓心和半徑，下面請(qǐng)大家互相交換意見并作出解答生(1)因?yàn)樽鲌A實(shí)質(zhì)上是確定圓心和半徑，要經(jīng)過已知點(diǎn)A作圓，只要圓心確定下來，半徑就隨之確定了下來所以以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)為圓心，以這一點(diǎn)與點(diǎn)A所連的線段為半徑就可以作一個(gè)圓由于圓心是任意的因此這樣的圓有無數(shù)個(gè)如圖(1)(2)已知點(diǎn)A、B都在圓上，它們到圓心的距離都等于半徑因此圓心到A、B的距離相等根據(jù)前面提到過的線段的垂直平分線的性質(zhì)可知，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，則圓心應(yīng)在線段AB的垂直平分線上在AB的垂直平分線上任意取一點(diǎn)，都

29、能滿足到A、B兩點(diǎn)的距離相等，所以在AB的垂直平分線上任取一點(diǎn)都可以作為圓心，這點(diǎn)到A的距離即為半徑圓就確定下來了由于線段AB的垂直平分線上有無數(shù)點(diǎn)，因此有無數(shù)個(gè)圓心，作出的圓有無數(shù)個(gè)如圖(2)(3)要作一個(gè)圓經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，就是要確定一個(gè)點(diǎn)作為圓心，使它到三點(diǎn)的距離相等因?yàn)榈紸、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段AB的垂直平分線，到B、C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是線段BC的垂直平分線，這兩條垂直平分線的交點(diǎn)滿足到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，就是所作圓的圓心因?yàn)閮蓷l直線的交點(diǎn)只有一個(gè)，所以只有一個(gè)圓心，即只能作出一個(gè)滿足條件的圓師大家的分析很有道理，究竟應(yīng)該怎樣找圓心呢？3過不在同一條直線上的三點(diǎn)

30、作圓作法圖示1連結(jié)AB、BC2分別作AB、BC的垂直平分線DE和FG，DE和FG相交于點(diǎn)O3以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓O就是所要求作的圓他作的圓符合要求嗎？與同伴交流生符合要求因?yàn)檫B結(jié)AB，作AB的垂直平分線ED，則ED上任意一點(diǎn)到A、B的距離相等；連結(jié)BC，作BC的垂直平分線FG，則FG上的任一點(diǎn)到B、C的距離相等ED與FG的滿足條件師由上可知，過已知一點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)圓過已知兩點(diǎn)也可作無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓4有關(guān)定義由上可知，經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓(circumcircle of tr

31、iangle)，這個(gè)三角形叫這個(gè)圓的內(nèi)接三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心(circumcenter)課堂練習(xí)已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點(diǎn)？解：如下圖O為外接圓的圓心，即外心銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部教學(xué)反思直線和圓的位置關(guān)系教學(xué)內(nèi)容1理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系2了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系教學(xué)目標(biāo)經(jīng)歷探索直線與圓位置關(guān)系的過程理解直線與圓的三種位置關(guān)系了解切線的概念以及切線的性質(zhì)重難點(diǎn)、關(guān)鍵經(jīng)歷探索直線與圓

32、的位置關(guān)系的過程，歸納總結(jié)出直線與圓的三種位置關(guān)系探索圓的切線的性質(zhì)教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課師我們?cè)谇懊鎸W(xué)過點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，請(qǐng)大家回憶它們的位置關(guān)系有哪些？生圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形即圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑；圓的內(nèi)部到圓心的距離小于半徑；圓的外部到圓心的距離大于半徑因此點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種，即點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外也可以把點(diǎn)與圓心的距離和半徑作比較，若距離大于半徑在圓外，等于半徑在圓上，小于半徑在圓內(nèi)師本節(jié)課我們將類比地學(xué)習(xí)直線和圓的位置關(guān)系新課講解1復(fù)習(xí)點(diǎn)到直線的距離的定義生從已知點(diǎn)向已知直線作垂線，已知點(diǎn)與垂足之間的線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)

33、到這條直線的距離如下圖，C為直線AB外一點(diǎn)，從C向AB引垂線，D為垂足，則線段CD即為點(diǎn)C到直線AB的距離2探索直線與圓的三種位置關(guān)系師直線和圓的位置關(guān)系，我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，只要大家注意觀察，這樣的例子是很多的如大家請(qǐng)看課本113頁，觀察圖中的三幅照片，地平線和太陽的位置關(guān)系怎樣？作一個(gè)圓，把直尺的邊緣看成一條直線，固定圓，平移直尺，直線和圓有幾種位置關(guān)系？生把太陽看作圓，地平線看作直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系；把直尺的邊緣看成一條直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系2探索直線與圓的三種位置關(guān)系師直線和圓的位置關(guān)系，我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中隨處可見，只要大家注意觀察，這樣的例子是很多的如大家請(qǐng)看課

34、本113頁，觀察圖中的三幅照片，地平線和太陽的位置關(guān)系怎樣？作一個(gè)圓，把直尺的邊緣看成一條直線，固定圓，平移直尺，直線和圓有幾種位置關(guān)系？生把太陽看作圓，地平線看作直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系；把直尺的邊緣看成一條直線，則直線和圓有三種位置關(guān)系師從上面的舉例中，大家能否得出結(jié)論，直線和圓的位置關(guān)系有幾種呢？生有三種位置關(guān)系：師直線和圓有三種位置關(guān)系，如下圖：它們分別是相交、相切、相離當(dāng)直線與圓相切時(shí)(即直線和圓有唯一公共點(diǎn))，這條直線叫做圓的切線(tangent line)當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離因此，從直線與圓有公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以斷定

35、是哪一種位置關(guān)系，你能總結(jié)嗎？生當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這時(shí)直線與圓相切；當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這時(shí)直線與圓相交；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，這時(shí)直線與圓相離師能否根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r作比較，類似地推導(dǎo)出如何用點(diǎn)到直線的距離d和半徑r之間的關(guān)系來確定三種位置關(guān)系呢？生如上圖中，圓心O到直線l的距離為d，圓的半徑為r，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，dr；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，dr；當(dāng)直線與圓相離時(shí)，dr，因此可以用d與r間的大小關(guān)系斷定直線與圓的位置關(guān)系師由此可知：判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種方法一種是從直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來斷定；一種是用d與r的大小關(guān)系來斷定投影片(§

36、351A)(1)從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切；直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離(2)從點(diǎn)到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷：dr時(shí)，直線與圓相交；dr時(shí)，直線與圓相切；dr時(shí)，直線與圓相離投影片(§351B)例1已知RtABC的斜邊AB8cm，AC4cm(1)以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多長時(shí)，AB與C相切？(2)以點(diǎn)C為圓心，分別以2cm和4cm的長為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與AB分別有怎樣的位置關(guān)系？分析：根據(jù)d與r間的數(shù)量關(guān)系可知：dr時(shí)，相切；dr時(shí)，相交；dr時(shí)，相離3議一議(投影片§351C)

37、(1)你能舉出生活中直線與圓相交、相切、相離的實(shí)例嗎？(2)上圖(1)中的三個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，你能畫出它們的對(duì)稱軸嗎？(3)如圖(2)，直線CD與O相切于點(diǎn)A，直徑AB與直線CD有怎樣的位置關(guān)系？說一說你的理由對(duì)于(3)，小穎和小亮都認(rèn)為直徑AB垂直于CD你同意他們的觀點(diǎn)嗎？師請(qǐng)大家發(fā)表自己的想法生(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圓，筷子看作直線，這時(shí)直線與圓相交；自行車的輪胎在地面上滾動(dòng)，車輪為圓，地平線為直線，這時(shí)直線與圓相切；雜技團(tuán)中騎自行車走鋼絲中的自行車車輪為圓，地平線為直線，這時(shí)直線與圓相離(2)圖(1)中的三個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形因?yàn)檠刂鴇所在的直線折疊，直線兩旁的部分

38、都能完全重合對(duì)稱軸是d所在的直線，即過圓心O且與直線l垂直的直線(3)所謂兩條直線的位置關(guān)系，即為相交或平行，相交又分垂直和斜交，直線CD與O相切于點(diǎn)A，直徑AB與直線CD垂直，因?yàn)閳D(2)是軸對(duì)稱圖形，AB是對(duì)稱軸，所以沿AB對(duì)折圖形時(shí)，AC與AD重合，因此BACBAD90°師因?yàn)橹本€CD與O相切于點(diǎn)A，直徑AB與直線CD垂直，直線CD是O的切線，因此有圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑這是圓的切線的性質(zhì)，下面我們來證明這個(gè)結(jié)論在圖(2)中，AB與CD要么垂直，要么不垂直假設(shè)AB與CD不垂直，過點(diǎn)O作一條直徑垂直于CD、垂足為M，則OMOA，即圓心O到直線CD的距離小于O的半徑，因此CD與

39、O相交，這與已知條件“直線CD與O相切”相矛盾，所以AB與CD垂直這種證明方法叫反證法，反證法的步驟為第一步假設(shè)結(jié)論不成立；第二步是由結(jié)論不成立推出和已知條件或定理相矛盾第三步是肯定假設(shè)錯(cuò)誤，故結(jié)論成立教學(xué)反思直線和圓的位置關(guān)系(2)教學(xué)內(nèi)容1能判定一條直線是否為圓的切線2會(huì)過圓上一點(diǎn)畫圓的切線3會(huì)作三角形的內(nèi)切圓教學(xué)目標(biāo)探索圓的切線的判定方法，并能運(yùn)用作三角形內(nèi)切圓的方法重難點(diǎn)、關(guān)鍵探索圓的切線的判定方法教學(xué)過程個(gè)人設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課師上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了直線和圓的位置關(guān)系，圓的切線的性質(zhì)，懂得了直線和圓有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交判斷直線和圓屬于哪一種位置關(guān)系，可以從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進(jìn)行判斷，還掌握了圓的切線的性質(zhì)、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢？本節(jié)課我們就繼續(xù)探索切線的判定條件新課講解1探索切線的判定條件投影片(§352A)如下圖，AB是O的直徑，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，l與AB的夾角，當(dāng)l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，(1)隨著的變化，點(diǎn)O到l的距離d如何變化？直線l與O的位置關(guān)系如何變化？(2)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)，點(diǎn)O到l的距離d等于半徑r？此時(shí)，直線l與O有怎樣的位置關(guān)系？為什么？師大家可以先畫一個(gè)圓，并畫出直徑