全國優(yōu)質(zhì)課-正弦定理【教學(xué)設(shè)計】

1、正弦定理教學(xué)設(shè)計【背景介紹】正弦定理選自北京師范大學(xué)出版社必修5第二章第一大節(jié)第1小節(jié)，本 節(jié)課是該小節(jié)的笫1課時.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，教材把解三角形從以下三部分展開： 正弦定理與余弦定理、解三角形及應(yīng)用舉例.本章主要是定量地揭示三角形邊角 之間的數(shù)量關(guān)系.正弦定理與余弦定理是三角函數(shù)和三角恒等變形的延伸，是三 角函數(shù)與平面兒何的完美結(jié)合.教材強調(diào)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意 三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長和角度之間的數(shù)學(xué)量化思 想，發(fā)揮學(xué)生的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng) 造過程.本節(jié)是解三角形內(nèi)容的開始，通過初中對直角三角形邊角關(guān)系的研究發(fā) 現(xiàn)正弦

2、定理這一優(yōu)美對稱的關(guān)系式，經(jīng)歷山特殊到一般的歸納思想，體會發(fā)現(xiàn)數(shù) 學(xué)規(guī)律的一般思路.因此，本課有著開啟全章，為進一步通過解三角形解決與測 量和兒何計算有關(guān)的實際問題打基礎(chǔ)的作用.【教學(xué)標(biāo)】1. 知識與技能 從特殊三角形的邊角關(guān)系出發(fā)，通過對任意三角形邊長和角度的關(guān)系探 索，掌握正弦定理的內(nèi)容及證明方法； 會應(yīng)用正弦定理解決解三角形的基本問題.2. 過程與方法 讓學(xué)生從已有的兒何知識出發(fā),探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系, 體驗正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程； 引導(dǎo)學(xué)生觀察、推導(dǎo)、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，體會發(fā)現(xiàn)數(shù) 學(xué)規(guī)律的一般思路.3. 情感態(tài)度與價值觀 培養(yǎng)學(xué)生通過合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的思

3、想方法，通過平面兒何、三角函 數(shù)、正弦定理、平面向量等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一; 通過學(xué)生課堂展示，增強學(xué)生的協(xié)作能力和交流表達能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng) 新意識，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).4. 現(xiàn)代教育技術(shù) 利用兒何畫板制作動態(tài)演示課件，促進學(xué)生對問題本質(zhì)的理解； 學(xué)生獨立應(yīng)用科學(xué)計算器等其他訃算工具進行三角函數(shù)值的相關(guān)計算.【教學(xué)重點、難點】教學(xué)重點：正弦定理的發(fā)現(xiàn)及生成過程.教學(xué)難點：利用正弦定理解三角形.【學(xué)習(xí)者特征分析】作為教學(xué)對象的學(xué)生是學(xué)習(xí)主體，為了突出學(xué)生的主體的地位，教師須全面 研究學(xué)生，理解學(xué)生.1. 認(rèn)識結(jié)構(gòu)經(jīng)過半年多時間的學(xué)習(xí)，學(xué)生對

4、數(shù)學(xué)概念及思維方法的認(rèn)識水平有了較大提 高.但不同層次的學(xué)生之間仍存在著較大的差距，尤其表現(xiàn)在對知識的探究、聯(lián) 想、遷移能力上.在新課中，運用了生活中的實例，多媒體動畫效果，引導(dǎo)學(xué)生 思維的“上路”，讓學(xué)生主動參與探究過程.2. 情感結(jié)構(gòu)隨著年齡的增大，閱歷的豐富，高中學(xué)生自主意識的增強，有獨立思考問題、 發(fā)現(xiàn)問題的能力.在學(xué)生的探索活動中，主動通過設(shè)疑、質(zhì)疑、提示等啟發(fā)示手 段，幫助他們分析問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣.【教學(xué)媒體】多媒體網(wǎng)絡(luò)教室、兒何畫板、科學(xué)計算器.【教學(xué)方法】本節(jié)課的教學(xué)重點是正弦定理的生成過程，因此主要采用“動眼看、動腦 想、動手推、動口說”的探究式教學(xué)方法，增加了學(xué)生

5、自主參與度，給學(xué)生充分 合作交流的機會，教給學(xué)生獲取知識的途徑，思考問題的方法，使學(xué)生真正成為 教學(xué)的主體，使學(xué)生“學(xué)”有所“思”，“思”有新“得”，“練”有所“獲”，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的成就感，激發(fā)學(xué)主的學(xué)習(xí)興趣.【教學(xué)流程】針對本節(jié)課的內(nèi)容的重點和難點，結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，將采取創(chuàng)設(shè)情境T嘗試探究T抽象概括的教學(xué)思路，具體教學(xué)流程如圖1.圖1強化理解，簡單應(yīng)用3【教學(xué)過程】（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題夏季，在我國東南沿海地區(qū)，臺風(fēng)是一種常見的氣象災(zāi)害，尤其是高級別的 臺風(fēng)過境，會給人民的生命、財產(chǎn)安全造成嚴(yán)重的損害.某市防汛減災(zāi)指揮中心 收到氣象部門的臺風(fēng)預(yù)警：臺風(fēng)中心位于該市正東方向30Ok

6、m處，正以40knh 的速度向西北方向移動，距離臺風(fēng)中心25Okm范圍內(nèi)將會受到影響.如果臺風(fēng) 風(fēng)速不變，那么該城市從何時起要遭受臺風(fēng)影響?這種影響會持續(xù)多長時間？教師活動1：建立模型，兒何畫板動態(tài)演示臺風(fēng)過境對城市A的影響情況， 如圖2所示.設(shè)計意圖：借助現(xiàn)代教育技術(shù)，為學(xué)生清晰地演示臺風(fēng)的移動過程，讓學(xué)生 體會到科技的發(fā)展對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要促進作用.學(xué)生活動1：定量分析臺風(fēng)移動過程：由于IABI = 3> 250,所以剛開始臺 風(fēng)對該市并無影響點A到臺風(fēng)移動路徑BD的最小距離 IAI=IABISin45 =1502 211.5<250,所以此次臺風(fēng)過境肯定要對該市產(chǎn)生影 響.學(xué)生

7、活動2：解決該問題的關(guān)鍵是求影響A的始點G和終點C?,然后根據(jù)臺 風(fēng)的速度計算臺風(fēng)從G到C?持續(xù)的時間，如圖3所示.即在ABC沖，求解BC, 在AABC2中，求解BC2.教師活動2：像這樣，已知三角形的某些邊和角，求其余的邊和角的過程就是本章我們將要研究的解三角形，本節(jié)課我們共同來學(xué)習(xí)正弦定理.（書寫課題）設(shè)計意圖：自然合理地提出問題，從實際問題入手，凸顯時代氣息，使課堂 教學(xué)充滿樂趣，讓所學(xué)知識“活”起來，營造出輕松愉悅的學(xué)習(xí)氛圍.學(xué)生從中 體會到本章所研究問題是從生活中來，到生活中去.（二）嘗試探究，提出猜想特殊三角形中的邊角關(guān)系師活 放微 三角 邊角 如圖4教動3：播 課特殊 形中的 關(guān)

8、系， 所示.微課主要內(nèi)容：如圖5所示，在ABC中，角A, B, C所對的邊長分別為, b, c.若ABC是直角三角形，不妨取C = 90°:則 Sin A = ,sin B =-,從而=方=C ,CCSinA SinB又因為C = 90 所以sinC = l, 所以丄=丄=丄.Sin A Sin B Sin C若ABC是等邊三角形，因為A = B = C, a=b = c,上述優(yōu)美的關(guān)系式無疑 也是成立的.對于一般的三角形，上述優(yōu)美的關(guān)系式還成立嗎？教師活動4：根據(jù)剛剛的微課講解，對于一般的三角形，大家能否大膽提出 一個普遍性的規(guī)律？學(xué)生活動3：在ABC中，角A, B, C所對的邊長

9、分別為, b, c,則各邊 和它所對角的正弦的比相等，即： = =Sin A Sin B Sin C設(shè)計意圖：利用微課這一新興的學(xué)習(xí)方式，通過對特殊三角形一一直角三角 形和等邊三角形邊角關(guān)系的研究，鼓勵學(xué)生大膽提出猜想，滲透山特殊到一般的 數(shù)學(xué)思想方法.（三）學(xué)生展示，生成定理學(xué)生課前自主探究，從不同的角度證明上述猜想，教師為學(xué)生的展示提供支 持和評價.學(xué)生活動4：我是利用三角函數(shù)的定義來證明上述關(guān)系式的.如圖6所示，過點A作AD丄BC于D,在 RtAABD 中，AD = CsinB,在 RtAACD 中，AD = bsinC,Mf Z?SinC = CSin B » 即 一=-,

10、同理可證一= ,SinB SinCSinA SinB所猜想的關(guān)系式得證教師活動5：這個證明過程有無漏洞？學(xué)生活動5：如圖7所示，如果ABC是鈍角三角形，過點A所作的高AD在三角形的外部，在RtABD中，Ar) = CSin(-B) = CSinB,與銳角的情況是一致 的.教師活動6：點評:綜合兩位同學(xué)的方法，充分利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo) 公式等現(xiàn)有知識解決問題，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題.學(xué)X生活動存Q6：由剛才的證XXX J'明方法，IlC我發(fā)現(xiàn)三角形/"1 的高可以丁一轉(zhuǎn)化成邊與角"C的正弦值丿的乘積如圖8所示，先作出三條邊上的高AD9

11、BE, CF9結(jié)合誘導(dǎo)公式，不論三 角形是銳角、直角還是鈍角三角形，都有：AD = CSinB ? BE = asinC , CF = ?SinA T從而SW = absinC = csin B = besin A ,WC 222同除以-abc ,即得2SinA SinB SinC教師活動7：點評：不僅利用等面積法達到了證明的目的，而且還得到了三 角形面積計算公式只需求得三角形任意兩邊及其夾角即可圖9學(xué)生活動7：如圖9,作ABC的外接圓，O為圓心，半徑為R,連接BO并延長交圓O于點Cr則BC = IR ,從而ZBAC = 90°,在RtAABC中,Sin C = -. 2R根據(jù)同弧所

12、對的圓周角相等，即SinC = Sin C =,從而 一=2R ,2RSinC同理可證亠=2& - = 2R,Sin ASin B因此，對任意的三角形都仃=-=-=IR .Sin A SinB SinC教師活動&點評：不僅達到了證明的目的，而且三角形邊與對角正弦值之 比的幾何意義一一三角形外接圓半徑的2倍（直徑）.學(xué)生活動8：我采用向量法來證明，在ABC中，以A為原點，以射線AB的方向為X軸正方向建立如圖10所示的平面直角坐標(biāo)系.點C在 軸上的射影為C ,則花與荒在y軸正方向上的射影相同，分別為：IBClCOS(90° - B) = « sin B ,所以Z

13、?Sin A = asinB ,即=,Sin A Sin B 同理可證該優(yōu)美關(guān)系式成立.圖10教師活動9：大家有沒有發(fā)現(xiàn)這種方法證明過程中的漏洞？如果A為銳角或者直角時，還能得到同樣的結(jié)論嗎？把這個問題作為課后思考題，大家繼續(xù)探究.教師活動10：點評：該方法充分利用平面向量這一工具，體現(xiàn)了不同知識 之間的普遍聯(lián)系和辯證統(tǒng)一.抽象概括：正弦定理：在三角形中，各邊和它所對角的正弦值之比相等，即a _ b _ CSin A Sin B Sin C(紅筆書寫)設(shè)計意圖：教師鼓勵學(xué)生從不同的角度展示正弦定理的生成過程，加強新舊 知識間的聯(lián)系，注重形成新知識的探究過程.雖然學(xué)生提供了四種方法，但這些 方法

14、都蘊含著解直角三角形的思想，即將斜三角形直角化.教師活動11：簡單介紹與正弦定理相關(guān)的數(shù)學(xué)文化：關(guān)于正弦定理的發(fā)現(xiàn)歷史，一般認(rèn)為是中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布 瓦法(AblWefa, 940998)提出并證明了球面三角形的正弦定理，而平面三 角形的正弦定理的證明最先是納綏爾丁圖西(NaSiraI-DinaI-TUSi,12011274)給 出的.我國清代數(shù)學(xué)家梅文鼎(16331721)在他的著作平三角舉要中也給出了證明，而且還給出了正弦定理的完整形式阿布瓦法的絡(luò)爾丁-困&設(shè)計意圖：通過滲透數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，讓學(xué)生得到數(shù)學(xué)美的熏陶，激發(fā)學(xué)生學(xué) 習(xí)科學(xué)文化知識的熱情，體會到數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中

15、，所有的數(shù)學(xué)人，不分國界， 不分時代，共同推動著數(shù)學(xué)不斷向前.(四) 強化理解，簡單應(yīng)用教師活動12：正弦定理是解三角形的重要工具，下面，我們應(yīng)用該定理來 解決課前提出的“臺風(fēng)過境”問題.示范解題過程：解 如圖11所示，假設(shè)經(jīng)過fh,臺風(fēng)中心到達點C,則在ABC中，AB = 300 kin, AC = 250 kin, BC = 40/ kin, B = 45°,由正弦定理竺=仝-=竺，Sin B Sin C Sin Aa.M J ABSinB 300sin45°3 氏 M o 4oc知 SmC = -2 0.8485 .AC2505利用計算器算得角C有兩個解7C1 121

16、.95, C258.05圖Il當(dāng)C嚴(yán)121.95°時A = 180-(B + C1)180e-(45+ 121.95°) = 13.O5USlnJ ACISinA 25Osin 13.05° .rx Oo I所以 BC= !=:N 79.83 km,SinBSin 45BCl 79.83 C C Itl = 一- = 2.0 h.,4040同理，當(dāng) C7 58.05° 時，BCl 344.4 kin , L8.6 h.厶厶t2 -Z1 8.6-2.0 = 6.6 h 答 約2 h后將要遭受臺風(fēng)影響，持續(xù)約6.6 h .思維拓展：一般來說，臺風(fēng)侵襲的范圍（

17、圓形區(qū)域）的半徑會不斷增大，本 題沒有考慮這個因素，如果考慮侵襲范圍的變化，怎么辦？大家課后思考設(shè)計意圖：（1）引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用正弦定理體驗“已知兩邊及其中一邊的對角” 解三角形的過程；（2）通過解決課前提出的實際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識, 而且課堂整體前后呼應(yīng)，渾然一體；（3）通過思維拓展來放開教學(xué)時空，讓學(xué)生 “帶著問題走進課堂，帶著更多問題走出課堂”.學(xué)生活動9：隨堂練習(xí)某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩，如圖12所示，其中一角已破損.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC = 2.57cm , CD=1.89c, BE = 2.0cm , B = 45。，C = 120 .為了復(fù)原，請計算原玉佩兩邊的長（結(jié)果精確到0.0 Icm）.圖 12教學(xué)提示：解三角形的實際問題中，數(shù)字計算往往比較復(fù)雜，這時可借助計 算器或其他的計算工具.設(shè)計意圖：學(xué)主自主探索應(yīng)用正弦定理解決“已知兩角及任意一條邊”解三 角形的過程，完