新課標人教A版高中數(shù)學知識點總結

1、高中數(shù)學必修1知識點總結第一章集合與函數(shù)概念【1.1.1】集合的含義與表示(1)集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2)常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集.(3)集合與元素間的關系對象a與集合M的關系是aM,或者aM,兩者必居其一.(4)集合的表示法自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合描述法：X|X具有的性質(zhì),其中X為集合的代表元素.圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5)集合的分類含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做無限集.不含有任何元素

2、的集合叫做空集().【1.1.2】集合間的基本關系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)不意圖子集AB(或BA)A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)A若AB且BC,則AC若AB且BA,則AB(a(b)(b或真子集AB(或BA)AB,且B中至少有一元素不屬于A(1)A(A為非空子集)若AB且BC,則AC1集合相等ABA中的任一元素都屬于B,B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA(7)已知集合A有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，它有2n2非空真子集.【1.1.3】集合的基本運算(8)交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)不意圖交集AIBx|xA,

3、且xB(1) AIAA(2) AI(3)AIBAAIBBCOB)并集AUBx|xA,或xB(1)AUAA(2)AUA(3)AUBAAUBBSB)補集euax|xU,且xA1AI(eUA)2AU(eUA)U癡(AIB)(uA)U(ZB)癡(AUB)(uA)IQB)【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0)x|axa|x|a(a0)x|xa或xa|axb|c,|axb|c(c0)把axb看成一個整體，化成|x|a,|x|a(a0)型不等式來求解(2)一元二次不等式的解法判別式b24ac000二次函數(shù)2,八、yaxbxc(a0)的圖象1_

4、西/0人V01/VJ一元二次方程2axbxc0(a0)的根bvb24acx1,22a(其中Xix2)bXiX2_2a無實根2axbxc0(a0)的解集x|xXi或xX2r1blx|x2aR2.c,c、axbxc0(a0)的解集x|XixX2R1.21函數(shù)及其表示【121】函數(shù)的概念(1)函數(shù)的概念設A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法則f,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么這樣的對應(包括集合A,B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到B的一個函數(shù)，記作f:AB.函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應法則.只有定義域相同，且對應法則也相同的兩個函數(shù)才是同一

5、函數(shù).(2)區(qū)間的概念及表示法設a,b是兩個實數(shù)，且ab,滿足axb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足axb的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb,或axb的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做a,b),(a,b；滿足xa,xa,xb,xb的實數(shù)x的集合分別記做a,),(a,),(,b,(,b).注意：對于集合x|axb與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須ab.(3)求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù).f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù).f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合.

6、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.ytanx中，xk(kZ).2零(負)指數(shù)嘉的底數(shù)不能為零.若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f(x)的定義域為a,b,其復合函數(shù)fg(x)的定義域應由不等式ag(x)b解出.對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論.由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4)求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實

7、上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法：觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值.配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.判別式法：若函數(shù)yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,則在2,a(y)0時，由于x,y為實數(shù)，故必須有b(y)4a(y)c(y)0,從而確定函數(shù)的值域或最值.不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.換元法：通過變量代換達到化

8、繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.函數(shù)的單調(diào)性法.122函數(shù)的表示法(5)函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系.列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.(6)映射的概念設A、B是兩個集合，如果按照某種對應法則f,對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的又應

9、(包括集合A,B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到B的映射，記作f:AB.給定一個集合A到集合B的映射，且aA,bB.如果元素a和元素b對應，那么我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.R1.31函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值(1)函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、先，當x1<x2時，者B有f(x1)<f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是那可壑.(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖y=f(X)Jjyf(x2)f(X)oHx

10、Xx象上升為增)(4)利用復合函數(shù)如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xi、x2,當xi<x2時，者B有f(xi)>f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).y'f(x1)y=f(X)f(x；)K,(1)利用定義(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖象下降為減)(4)利用復合函數(shù)ox1x2x在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).則yfg(x)為對于復合函數(shù)yfg(x),令ug(x),若yf(u)為增，ug(x)為增，則yfg(x)為增；若yf(u

11、)為減，ug(x)為減，則yfg(x)為增；若yf(u)為增，ug(x)為減,(2)(3)減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則yfg(x)為減.打函數(shù)f(x)f(x)分別在(最大(小)值定義一般地,設函數(shù)f(x)(2)存在xoxa(a0)的圖象與性質(zhì)x/T(a)-x+-(a>0)x,JO、ja,)上為增函數(shù)，分別在VO,。)、©TO上為減函數(shù).f(x)的定義域為使得f(xo)M.I,如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的xI,都有那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作fmax(x)一般地，設函數(shù)yf(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)m滿足：(1)對于任意的xI,都有f(x)

12、m；(2)存在x0I,使得f(x0)m.那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作fmax(x)m.【1.3.2】奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)=-f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做穹可數(shù).a(a.1(a)(1)利用定義(要先判斷定義域是否關于原點對稱)(2)利用圖象(圖象關于原點對稱)(-a.ff)cak.如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f(.二x)/=f(x).,那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù).(1)利用定義(要先判斷定義域是否關于原點對稱)(2)利用圖象(圖象關于y軸對稱)yrfm(

13、a.f(a)-aoax若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0.奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反.在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).R補充知識1函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式；討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.平移變換yf(x

14、)伸縮變換yf(x)yf(x)對稱變換yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)(2)識圖h0,左移h個單位h0,君移|h|個單位01伸1,縮一hrzxk0,上移k個單位r/yf(xh)yf(x)k0,下移|k1個單位yf(x)yf(x)0A1,縮心/A1，伸yAf(x)必由yf(x)yf(x)y軸yf(x)原點上/上/直線yxyf(x)yf(x)去掉y軸左邊圖象r保留黃由右邊圖象，并作其關于y軸對稱圖象yf(|x|)保留x軸上方圖象將x軸下方圖象翻折上去yIf(x)|yf1(x)值域、單調(diào)性、對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、奇偶性，注

15、意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系.(3)用圖函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結果的重要工具.要重視數(shù)形結合解題的思想方法.第二章基本初等函數(shù)(I)R2.11指數(shù)函數(shù)【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)哥的運算(1)根式的概念如果xna,aR,xR,n1,且nN,那么x叫做a的n次方根.當n是奇數(shù)時，a的n次方根用符號n/a表示；當n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號口表示,負的n次方根用符號柄表示；0的n次方根是0；負數(shù)a沒有n次方根.式子n/a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當n為奇數(shù)時，a為任意實數(shù)；當n為偶數(shù)時，a0.根式

16、的性質(zhì)：（na）na;當n為奇數(shù)時，好a；當n為偶數(shù)時，仔|a|a（a0)0)(2)分數(shù)指數(shù)嘉的概念正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)嘉的意義是:正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)嘉的意義是:0,m,n(a0,m,nma下N，且n1）.0的正分數(shù)指數(shù)嘉等于0.N,且n1）.0的負分數(shù)指數(shù)嘉沒(3)有意義.注意口訣:分數(shù)指數(shù)嘉的運算性質(zhì)底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).Darasrsa(a0,r,sR)(ar)srs_a(a0,r,sR)(ab)rarbr(a0,b0,rR)a（a(4)【2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)yax（a0且a1）叫做指數(shù)函數(shù)圖象a10a1y_y1Xx/ya/(0,1)x*ya_y_1y(0,1

17、)OxOx定義域R值域(0,)過定點圖象過定點（0,1）,即當x0時，y1.奇偶性非奇非偶指數(shù)函數(shù)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低.R2.21對數(shù)函數(shù)【221】對數(shù)與對數(shù)運算(1)對數(shù)的定義若axN(a0,且a1),則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).負數(shù)和零沒有對數(shù).對數(shù)式與指數(shù)式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0).(2)幾個重要的對數(shù)恒等式loga10,logaa1,

18、logaabb.(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)：lgN,即log10N；自然對數(shù)：lnN,即logeN(其中e2.71828).加法：logaMlogaNloga(MN)數(shù)乘：nlogaMlogaMn(nR)(4)對數(shù)的運算性質(zhì)如果a0,a1,M0,N0,那么loga減法：logaMlogaNlog。NlogbNl“(b0,且b1)logbaagaNlogbMnnlogaM(b0,nR)換底公式：logaNab【2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(5)對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)圖象a10a1iyLx1ylOgaxylx1；ylOgax&0),O/(

19、1,0)xO定義域(0,)值域R過定點圖象過定點(1,0)，即當x1時，y0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)在(o,)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況lOgax0(x1)1叫乂0(x1)lOgax0(0x1)lOgax0(x1)lOgax0(x1)lOgax0(0x1)a變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.(6)反函數(shù)的概念設函數(shù)yf(x)的定義域為A,值域為C,從式子yf(x)中解出x,得式子x(y).如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應，那么式子x(y)表示x是y的函數(shù),函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x

20、)的反函數(shù)，記作xf1(y),習慣上改寫成yf1(x).(7)反函數(shù)的求法1確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f(x)中反解出xf1(y)；1 1,.將xf(y)改寫成yf(x),并注明反函數(shù)的定義域.(8)反函數(shù)的性質(zhì)1原函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yf(x)的圖象關于直線yx對稱.函數(shù)yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域.1一.右P(a,b)在原函數(shù)yf(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)yf(x)的圖象上.一般地，函數(shù)yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).R2.31募函數(shù)(1)募函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yx叫做募函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù).(2)嘉

21、函數(shù)的圖象關于y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖象只分布在第一象限過定點：所有的募函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(1,1).單調(diào)性：如果0,則募函數(shù)的圖象過原點，并且在0,)上為增函數(shù).如果0,則募函數(shù)的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與y軸.奇偶性：當為奇數(shù)時，嘉函數(shù)為奇函數(shù)，當為偶數(shù)時，募函數(shù)為偶函數(shù).當9(其中pq互質(zhì)，p和qZ),P'qq若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則yxp是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxp是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時，q則yxp是非奇非偶函數(shù).圖象特征：募函數(shù)yx,x(0

22、,)，當1時，若0x1,其圖象在直線yx下方，若x1,其圖象在直線yx上方，當1時，若0x1,其圖象在直線yx上方，若x1,其圖象在直線yx下方.(1)二次函數(shù)解析式的三種形式2f(x)a(xh)k(a0)兩根式:2一般式：f(x)axbxc(a0)頂點式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法已知三個點坐標時，宜用一般式.已知拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大(小)值有關時，常使用頂點式.若已知拋物線與x軸有兩個交點，且橫線坐標已知時，選用兩根式求f(x)更方便.(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為b,頂

23、點坐標是2ab4acb4a2I-)當a0時，拋物線開口向上,函數(shù)在(b.上遞減，在2ab2a，)上遞增，當xbn.時,2afmin(x)4acb；當a4a0時，拋物線開口向下,函數(shù)在(b_b上遞增，在,2a2a)上遞減，當xb2a24acb時，fmax(x)4a2一次函數(shù)f(x)axbx_.2c(a0)當b4ac0時，圖象與x軸有兩個交點Mi(x,0),M2(&,0),|MiM2|xx?|£|a|2(4)一兀一次方程axbxc0(a0)根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理(韋達定理)的運用，下面結合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布.一一，、一2,設一兀二次萬程axbxc一，、2,0(a0)的兩實根為x1，x2,且xix2.令f(x)axbxc,從以下四個方面來分析此類問題：開口方向:a對稱軸位置：x判別式:端點函數(shù)值符號.2ak<xiax?xvx2<kki<Xi<Xz<kzXi(或X2)有且僅有一個根滿足K<Xi(或X