新課標高三第一輪溫習單元講座第10講空間中的平行關(guān)系

1、一般高中課程標準實驗教科書一數(shù)學人教版高三新數(shù)學第一輪溫習教案（講座10）一空間中的平行關(guān)系一.課標要求：1 .平面的大體性質(zhì)與推論借助長方體模型，在直觀熟悉和明白得空間點、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的概念，并丁解如下能夠作為推理依據(jù)的公理和定理： 公理1:若是一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)； 公理2:過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面； 公理3:若是兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線； 公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行； 定理：空間中若是兩個角的兩條邊別離對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。2 .空間中的

2、平行關(guān)系以立體幾何的上述概念、公理和定理為起點，通過直觀感知、操作確認、思辯論證，熟悉和明白得空間中線而平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：平而外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平而平行：1 一個平而內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行：通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：2 一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行:3 兩個平面平行，那么任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線彼此平行；4 垂直于同一個平面的兩條直線平行能運用已取得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。二.

3、命題走向立體幾安在高考中占據(jù)重要的地位，通過近幾年的高考情形分析，考察的重點及難點穩(wěn)固，高考始終把直線與直線、直線與平面、平而與平而平行的性質(zhì)和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的熟悉上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因此在這部份知識點上命題，將是重中之重。預測2007年高考將以多而體為載體直接考察線而位置關(guān)系：（1）考題將會顯現(xiàn)一個選擇題、一個填空題和一個解答題：（2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的大體性質(zhì)，考察線線、線而和而面關(guān)系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。三.要點精講5 .平

4、面概述（1）平面的兩個特點：無窮延展平的（沒有厚度）（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平而（3）平而的表示：用一個小寫的希臘字母a、B、y等表示，如平面0、平而夕；用表示平行四邊形的兩個相對極點的字母表示，如平面AC.6 .三公理三推論：公理1：假設(shè)一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，那么該直線上所有的點都在那個平面內(nèi)：Aw/,Bw/,A£a,Bwa=/ua公理2：若是兩個平而有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過那個公共點的直線。公理3：通過不在同一直線上的三點，有且只有一個平而。推論一：通過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。推論二：通過

5、兩條相交直線,有且只有一個平而。推論三：通過兩條平行直線,有且只有一個平而。7 .空間直線：（1）空間兩條直線的位置關(guān)系：相交直線有且僅有一個公共點：平行直線一一在同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。異而直線的畫法經(jīng)常使用的有以下三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線相互平行，那個結(jié)論在空間也是成立的。即公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行。（3）異而直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和那個平面內(nèi)不通過此點的直線是異而直線。推理模式：A任。,3£。,。（3。,6任=>43與“

6、是異而直線。8 .直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）：（2）直線和平而相交（有且只有一個公共點）：（3）直線和平而平行（沒有公共點）一一用兩分法進行兩次分類。它們的圖形別離可表示為如下，符號別離可表示為aua,alia.線面平行的判定定理：若是不在一個平而內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和那個平面平行。推理模式：aua、bua、aHb=aHa.線而平行的性質(zhì)定理：若是一條直線和一個平面平行，通過這條直線的平面和那個平面相交，那么這條直線和交線平行。推理模式：aHa,aup,an0=b=aHb.9 .兩個平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平

7、而平行（沒有公共點）（1）兩個平面平行的判定定理：若是一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行。auBaliah/a定理的模式：bu0aCb-P=>a/?推論：若是一個平面內(nèi)有兩條相交直線別離平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面相互平行。推論模式：=uua,a'n。'=P，a'u/3,b'u=a/7（2）兩個平面平行的性質(zhì)（1）若是兩個平而平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；（2）若是兩個平行平而同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。四.典例解析題型1:共線、共點和共而問題例1.（1）如下圖，平面A8on平面

8、8C。=直線8。,M、N、P、Q別離為線段AB.BC.CD.DA上的點，四邊形MNP。是以PN、QM為腰的梯形。試證明三直線8。、NP共點。證明：四邊形MNP。是梯形，且MQ、NP是腰，.直線M。、NP必相交于某一點。?O£直線M。；直線MQU平面A8O,/.Oe平面A8D。同理，0£平面8co,又兩平面A3。、BCD的交線為8。，故由公理二知，0£直線8。，從而三直線B。、MQ、NP共點。點評：由已知條件，直線M0、NP必相交于一點。，因此，問題轉(zhuǎn)化為求證點。在直線BD上，由公理二，確實是要尋覓兩個平面，使直線BD是這兩個平面的交線，同時點0是這兩個平面的公共點

9、即可.“三點共線”及“三線共點”的問題都能夠轉(zhuǎn)化為證明“點在直線上”的問題。(2)如下圖，在四邊形A8CO中，己知ABCO,直線A8,BC,AD9OC別離與平面0(相交于點E,G,H,F.求證：E,F,G,四點線。證明：:AB/ICD,CO確信一個平面樂又A8na=E，48邙，EGp,即E為平面a與B的一個公共點。同理可證F,G,均為平面a與B的公共點.兩個平面有公共點，它們有且只有一條通過公共點的公共直線，,.E,F,G,H四點必然共線。點評：在立體幾何的問題中，證明假設(shè)千點共線時，常運用公理2,即先證明這些點都是某二平面的公共點，而后得出這些點都在二平面的交線上的結(jié)論。例2.已知：“，h,

10、c,"是不共點且兩兩相交的四條直線，求證：”，b,c,/共而。證明：1。假設(shè)當四條直線中有三條相交于一點，不妨設(shè)a,b,c相交于一點A,但A史力如圖1所示:/.直線d和A確信一個平而a。則A,E,F,GGa0TA,ESa,A,E£a,，aua。又設(shè)直線”與小。，C別離相交于E,F,G,同理可證bua,cua。a,b,c,d在同一平面0（內(nèi)。2。當四條直線中任何三條都不共點時，如圖2所示：這四條直線兩兩相交，那么設(shè)相交直線“，b確信一個平面a。設(shè)直線C與，別離交于點”，K,那么從Kwa.又H,KGc,，cua。同理可證dua。，c,（/四條直線在同一平面a內(nèi).點評：證明假設(shè)干

11、條線（或假設(shè)干個點）共面的一樣步驟是：第一依照公理3或推論，由題給條件中的部份線（或點）確信一個平面，然后再依照公理1證明其余的線（或點）均在那個平而內(nèi)。此題最容易輕忽“三線共點”這一種情形。因此，在分析題意時，應(yīng)認真推敲問題中每一句話的含義。題型2：異而直線的判定與應(yīng)用例3.已知：如下圖，an尸=”，u/3,Clnh=A,cua,c/ao求證直線b、c為異面直線。證法一：假設(shè)匕、c共而于y.由Ae</,aHe知，A,而“Ah=A,«A/7Ae/»Aecfo又cua,，y、a都通過直線c及其外的一點A,7與。重合，于是uy,又bu/h又7、p都通過兩相交直線a、b,從

12、而y、p重合。2 *.a、p、y為同一平而，這與aCl夕=矛盾。3 b、c為異而直線.證法二：假設(shè)。、C共面，那么b,C相交或平行。（1）假設(shè)/c,又“/c,那么由公理4知a/h9這與。Ab=A矛盾。（2）假設(shè)方Pk=尸，已知Au/?,cua,那么尸是a、夕的公共點，由公理2,Pea又bAc=P,即尸Sc,故aPlc=P,這與a/c矛盾。綜合（1）、（2）可知，b、c為異面直線。證法三：/aA/7="，afU=A,，Ae”°e*a/c,，A,在直線b上任取一點尸（P異于A）,那么P任。（不然匕uc,又aua,那么。、P都通過兩相交直線a、b,那么a、p重合，與aCl尸=a矛

13、盾）。又cua,于是依照“過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不通過該點的直線是異而直線”知，/，、c為異而直線。點評：證明兩直線為異面直線的思路要緊有兩條：一是利用反證法：二是利用結(jié)論“過平而外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不通過該點的直線是異面直線.。異而直線又有兩條途徑：其一是直接假設(shè)b、c共而而產(chǎn)生矛盾：其二是假設(shè)b.c平行與相交：別離產(chǎn)生矛盾。判定直線異面，假設(shè)為解答題，那么用得最多的是證法一、二的思路：假設(shè)為選擇或填空題，那么往往都是用證法三的思路。用反證法證題，一樣可歸納為四個步驟：（1）否定結(jié)論；（2）進行推理：（3）導出矛盾：（4）確信結(jié)論.宜用反證法證明的命題往往是（

14、1）大體定理或某一知識系統(tǒng)的初始時期的命題（如立體幾何中的線面、面面平行的判定定量的證明等）：（2）確信或否定型的命題（如結(jié)論中顯現(xiàn)“必有”、“必不存在”等一類命題）；（3）唯一型的命題（如“圖形唯一”、“方程解唯一”等一類命題）：（4）正面情形較為繁多，而結(jié)論的反面卻只有一兩種情形的一類命題：（5）結(jié)論中顯現(xiàn)“最多”、“不多于”等一類命題。例4.（1）已知異面直線a,b所成的角為70°,那么過空間必然點O,與兩條異面直線a.b都成60°角的直線有（）條A.1B.2C.3D.4（2）異而直線a,b所成的角為。，空間中有必然點0,過點0有3條直線與a,b所成角都是60

15、6;,那么8的取值可能是（）0000A.30B.50C.60D.90解析：（1）過空間一點O別離作，a力'b。將兩對對頂角的平分線繞O點別離在豎直平而內(nèi)轉(zhuǎn)動，總能取得與'都成60°角的直線。故過點O與a.b都成60°角的直線有4條，從而選D。（2）過點O別離作"a、b'b,那么過點O有三條直線與a,b所成角都為60°,等價于過點O有三條直線與所成角都為60°,其中一條正是。角的平分線，從而可得選項為C。點評：該題以學生對異面直線所成的角會適當轉(zhuǎn)化，較好的考察了空間想象能力。題型3：線線平行的判定與性質(zhì)例5.（2003上海

16、春，13）關(guān)于直線、1八/及平而M、N,以下命題中正確的選項是A.假設(shè)“M,那么abB.假設(shè)bLa,那么b_LMC.假設(shè)“WAL/恒W,且/J_a,山九那么/_LMD.假設(shè)aN,那么M_LN解析：解析：A選項中，假設(shè)aM,M,那么有或a與相交或a與異而。B選項中，b可能在M內(nèi)，b可能與M平行，b可能與M相交.C選項中須增加&與b相交,那么/_LM。D選項證明如下：,:aN,過a作平而a與N交于c,那么c小'.CM.故M工Na答案D。點評：此題考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的大體性質(zhì)。例6.兩個全等的正方形A8C。和A3EE所在平面相交于A8,MWAC,N£F8

17、,且AM=FN,求證：MN平而3CE。證法一：作MP_L8C,NQA.BE,P、。為垂足，那么MPA8,NQ月8。:MPNQ,又AM=NF,AC=BF,:MC=NB,NMCP=/NBQ=45°ARtAMCPRtABC:.MP=NQ、故四邊形MPQN為平行四邊形:MNPQPQu平面BCE,MN在平面8CE外，MN平而8CE。證法二：如圖過M作于，那么M8C,.AM_A"連結(jié)N從由8F=AC,FN=AM,得？=吧BFABNHABCD-E,PBC.AiDM,NAE,CD1AD=AAi=a,AB=2aMNHADD.A,CDKMK,NKM、N,KAK.CD,CDMK/AD,NK/DD

18、MKHADDNKHADDMNKHADDMNHA。2A（I）求截而E4c的而積：（ID求異而直線與AC之間的距離；圖解：（I）如下圖，連結(jié)。3交AC于O,連結(jié)EO。.底而ABC。是正方形，：.DOLAC又底面AC,：.EO±AC；,NEOD是面EAC與底而AC所成二面角的平面角,NEOO=45°yf2wV2D0=a,AC=J2，EO=a5645=a,221<2,故Saeac=-EOAC=a2.22(II)由題設(shè)ABC。一A5GO是正四棱柱，得底而AC,AXALAC.又AAA.AB9.Ap4是異面直線4叢與AC間的公垂線.山而勘C,且面。山。與面E4C交線為E0,:DBE

19、O,又。是08的中點是。1。的中點,DB=2EO=2a.DD=DB-DB'=42a異而直線4當與AC間的距離為Jia.題型5：而而平行的判定與性質(zhì)例9.如圖，正方體ABCOT山iG£h的棱長為證明：平而AC?！科蕉鳤C18o證明：如圖，A.5CD1是矩形，A由/DC。又DCu平面01cA,AxB仁平而5cA,，AxB平而DCA。同理4G平而5cA，又AGCIA由=A,平而DiCA平面BAiG.點評：證明而面平行，關(guān)鍵在于證明4G與A由兩相交直線別離與平面ACQ平行。例10.P是ABC所在平面外一點，ABC別離是PBC、PCA.PAB的重心。B(1)求證：平而ABC，平而ABC

20、；(2)SaABC：SaABC的值。解析：(1)取AB、BC的中點M、N,PC'_PA'_2則麗閑一?A'C'MNA'C'平而ABC。同理AB'而ABC,r.AB'C'面ABC.A'C'_PAf_222J_£(2) MNPN飛nAC=孑MN=3.2AC=彳ACA'C'_1AC3,A'B'_1_BlC同理AC3BCSmbcA'C'2_1.S.BcAC9五.思維總結(jié)在把握直線與平而的位置關(guān)系（包括直線與直線、直線與平面、平面與平而間的位置關(guān)系）的基礎(chǔ)上，研究有關(guān)平行的判定依據(jù)（概念、公理和定理）、判定方式及有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用：在有關(guān)問題的解決進程中，進一步了解和把握相關(guān)公理、定理的內(nèi)容和功能，并探討立體幾何中論證問題的規(guī)律：在有關(guān)問題的分析與解決的進程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想的應(yīng)用.1 .用類比的思