概率論和數(shù)理統(tǒng)計知識總結之第一章

1、 第一章 概率論的基本概念確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象隨機現(xiàn)象：在個別試驗中其結果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象隨機試驗：具有下述三個特點的試驗：1. 可以在相同的條件下重復地進行2. 每次試驗的可能結果不止一個，且能事先明確試驗的所有可能結果3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn)樣本空間：將隨機試驗E的所有可能出現(xiàn)的結果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S樣本點：樣本空間的元素，即E的每個結果，稱為樣本點樣本空間的元素是由試驗的目的所確定的。隨機事件：一般，我們稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件，簡稱事件在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一

2、個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件發(fā)生。基本事件：由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件。必然事件：樣本空間S包含所有的樣本點，它是S自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件。不可能事件：空集不包含任何樣本點，它也作為樣本空間的子集，在每次試驗中，稱為不可能事件。事件間的關系與運算：設試驗E的樣本空間為S，而A,B,（k=1,2,)是S的子集。1. 若，則稱事件B包含事件A，這指的是事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生。 若且,即A=B，則稱事件A與事件B相等。2. 事件或稱為事件A與事件B的和事件。當且僅當A,B中至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生。 類似地，稱為事件的和事件；稱為可列個事件的和事件。3.

3、 事件=且稱為事件A與事件B的積事件。當且僅當A,B同時發(fā)生時，事件發(fā)生。記作AB。 類似地，稱為n個事件的積事件；稱為可列個事件的積事件。4. 事件且稱為事件A與事件B的差事件。當且僅當A發(fā)生、B不發(fā)生時事件發(fā)生。5. 若，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。這指的是事件A與事件B不能同時發(fā)生。基本事件是兩兩互不相容的。6. 若且,則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互為對立事件。這指的是對每次試驗而言，事件A,B中必有一個發(fā)生。A的對立事件.設為事件，則有交換律：結合律：分配律：德·摩根律：頻率與概率頻率：在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的

4、次數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成頻率的基本性質：1.012. =13. 若是兩兩互不相容的事件，則 (）=（)+（）概率：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(·)滿足下列條件：1. 非負性2. 規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=13. 可列可加性：P(）=P（）+P()+概率的性質：1. P()=02. (有限可加性）若，是兩兩互不相容的事件，則有 P（）=P()+P()+P()3. 設A,B是兩個事件，若，則有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4. 對于

5、任一事件A，P(A)15. 對于任一事件A，有=1-P(A)6. 對于任意兩事件A,B有P()=P(A)+P(B)-P(AB) 一般地，對于任意n個事件，可以用歸納法得出 P(）=-+等可能概型（古典概型）定義：具有以下兩個特點的試驗稱為等可能概型：1. 試驗的樣本空間只包含有限個元素2. 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同事件概率計算公式：若事件A包含k個基本事件，即AP(A)=（A包含的基本事件數(shù)）/（S中基本事件的總數(shù)）實際推斷原理：人們在長期的實踐中總結得到“概率很小的事件在一次試驗中實際上幾乎是不發(fā)生的”條件概率事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率設A,B是兩個事件，且P(A)>

6、;0，稱P(BA)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.條件概率P(·A)的性質：1. 非負性:P(BA)02. 規(guī)范性：對于必然事件S，有P(SA)=13. 可列可加性：設是兩兩互不相容的事件，則有 對于任意事件B,C,有P(BCA)=P(BA)+P(CA)-P(BCA)乘法定理：設P(A)>0，則有P(AB)=P(BA)P(A)一般，設為n個事件，n2,且>0,則有劃分：設S為試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若1.2. ,則稱為樣本空間S的一個劃分全概率公式：設試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個劃分，且，則貝葉斯公式：設試驗E

7、的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個劃分，且P(A)>0，,則/先驗概率：根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析得到的概率后驗概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率獨立性：設A,B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨立，簡稱A,B獨立定理一：設A,B是兩事件，且P(A)>0，若A,B相互獨立，則P(BA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件A與B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：A與,與B,與設A,B,C是三個事件，如果滿足等式：則稱事件A,B,C相互獨立。一般，設是n(n2)個事件，如果對于其中任意2個，任意3個，任意n個事件的積事件的概率，都等于各事件概率

8、之積，則稱事件相互獨立。推論：1. 若事件(n2)相互獨立，則其中任意k(2kn)個事件也是相互獨立；2. 若n個事件(n2)相互獨立，則將中任意多個事件換成它們的對立事件，所得的n各事件仍相互獨立（1）排列組合公式 從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù) 從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n 種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n 種方法

9、來完成，則這件事可由m×n 種方法來完成。（3）一些常見排列重復排列和非重復排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復進行，而每次試驗的可能結果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結果稱為隨機事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣

10、本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。為必然事件，Ø為不可能事件。不可能事件（Ø）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關系與運算關系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不

11、發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=Ø，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件。互斥未必對立。運算： 結合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加

12、性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1° ，2° 。設任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =（9）幾何概型若隨機試驗的結果為無限不可數(shù)并且每個結果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)0時，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當A=時，P()=1- P(B)（12）條件概率定義 設A、B是

13、兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。（14）獨立性兩個事件的獨立性設事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨立。Ø與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設事件滿足1°兩兩互不相容，2°， （分類討論的則有。（16）貝葉斯公式設事件，及滿足1° ，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ，（已經(jīng)知道結果 求原因則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗概