概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)總結(jié)之第一章

1、 第一章 概率論的基本概念確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象隨機(jī)試驗(yàn)：具有下述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)：1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)樣本空間：將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S樣本點(diǎn)：樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的。隨機(jī)事件：一般，我們稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一

2、個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件。必然事件：樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的，稱為必然事件。不可能事件：空集不包含任何樣本點(diǎn)，它也作為樣本空間的子集，在每次試驗(yàn)中，稱為不可能事件。事件間的關(guān)系與運(yùn)算：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，而A,B,（k=1,2,)是S的子集。1. 若，則稱事件B包含事件A，這指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。 若且,即A=B，則稱事件A與事件B相等。2. 事件或稱為事件A與事件B的和事件。當(dāng)且僅當(dāng)A,B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。 類似地，稱為事件的和事件；稱為可列個(gè)事件的和事件。3.

3、 事件=且稱為事件A與事件B的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件發(fā)生。記作AB。 類似地，稱為n個(gè)事件的積事件；稱為可列個(gè)事件的積事件。4. 事件且稱為事件A與事件B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)事件發(fā)生。5. 若，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。這指的是事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生?；臼录莾蓛苫ゲ幌嗳莸摹?. 若且,則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件B互為對(duì)立事件。這指的是對(duì)每次試驗(yàn)而言，事件A,B中必有一個(gè)發(fā)生。A的對(duì)立事件.設(shè)為事件，則有交換律：結(jié)合律：分配律：德·摩根律：頻率與概率頻率：在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的

4、次數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成頻率的基本性質(zhì)：1.012. =13. 若是兩兩互不相容的事件，則 (）=（)+（）概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(·)滿足下列條件：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(S)=13. 可列可加性：P(）=P（）+P()+概率的性質(zhì)：1. P()=02. (有限可加性）若，是兩兩互不相容的事件，則有 P（）=P()+P()+P()3. 設(shè)A,B是兩個(gè)事件，若，則有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4. 對(duì)于

5、任一事件A，P(A)15. 對(duì)于任一事件A，有=1-P(A)6. 對(duì)于任意兩事件A,B有P()=P(A)+P(B)-P(AB) 一般地，對(duì)于任意n個(gè)事件，可以用歸納法得出 P(）=-+等可能概型（古典概型）定義：具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為等可能概型：1. 試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素2. 試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同事件概率計(jì)算公式：若事件A包含k個(gè)基本事件，即AP(A)=（A包含的基本事件數(shù)）/（S中基本事件的總數(shù)）實(shí)際推斷原理：人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上幾乎是不發(fā)生的”條件概率事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且P(A)>

6、;0，稱P(BA)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.條件概率P(·A)的性質(zhì)：1. 非負(fù)性:P(BA)02. 規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，有P(SA)=13. 可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有 對(duì)于任意事件B,C,有P(BCA)=P(BA)+P(CA)-P(BCA)乘法定理：設(shè)P(A)>0，則有P(AB)=P(BA)P(A)一般，設(shè)為n個(gè)事件，n2,且>0,則有劃分：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，為E的一組事件，若1.2. ,則稱為樣本空間S的一個(gè)劃分全概率公式：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個(gè)劃分，且，則貝葉斯公式：設(shè)試驗(yàn)E

7、的樣本空間為S，A為E的事件，為S的一個(gè)劃分，且P(A)>0，,則/先驗(yàn)概率：根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析得到的概率后驗(yàn)概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率獨(dú)立性：設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A,B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立定理一：設(shè)A,B是兩事件，且P(A)>0，若A,B相互獨(dú)立，則P(BA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與,與B,與設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，如果滿足等式：則稱事件A,B,C相互獨(dú)立。一般，設(shè)是n(n2)個(gè)事件，如果對(duì)于其中任意2個(gè)，任意3個(gè)，任意n個(gè)事件的積事件的概率，都等于各事件概率

8、之積，則稱事件相互獨(dú)立。推論：1. 若事件(n2)相互獨(dú)立，則其中任意k(2kn)個(gè)事件也是相互獨(dú)立；2. 若n個(gè)事件(n2)相互獨(dú)立，則將中任意多個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件，所得的n各事件仍相互獨(dú)立（1）排列組合公式 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù) 從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來(lái)完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來(lái)完成，則這件事可由m+n 種方法來(lái)完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來(lái)完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n 種方法

9、來(lái)完成，則這件事可由m×n 種方法來(lái)完成。（3）一些常見(jiàn)排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問(wèn)題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來(lái)表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣

10、本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，表示事件，它們是的子集。為必然事件，Ø為不可能事件。不可能事件（Ø）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B(niǎo)不

11、發(fā)生的事件。A、B同時(shí)發(fā)生：AB，或者AB。AB=Ø，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹?A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算： 結(jié)合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1° 0P(A)1， 2° P() =13° 對(duì)于兩兩互不相容的事件，有常稱為可列（完全）可加

12、性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1° ，2° 。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)= =（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無(wú)限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來(lái)描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=時(shí)，P()=1- P(B)（12）條件概率定義 設(shè)A、B是

13、兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)>0，則有。（14）獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件Ø與任何事件都相互獨(dú)立。Ø與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，2°， （分類討論的則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，及滿足1° ，兩兩互不相容，>0，1，2，2° ，（已經(jīng)知道結(jié)果 求原因則，i=1，2，n。此公式即為貝葉斯公式。，（，），通常叫先驗(yàn)概