一元二次方程求根公式史略

1、數(shù)系發(fā)展的見證 一元二次方程求根公式 人們從古埃及的數(shù)學(xué)紙草書和古巴比倫的數(shù)學(xué)泥版書上了解到，大約在距今三千七八百年以前，人類就會解一元一次方程。不過由于當(dāng)時沒有發(fā)明符號代數(shù)，在這些資料上，說清楚一個題目之后，就用四則運(yùn)算把它計算出來，今天的人們很難嚴(yán)格地劃分這樣的計算是在解一元一次方程還是在做算術(shù)題。對于受過九年制義務(wù)教育的人來說，一元二次方程是非常熟悉的內(nèi)容。我們能解任何一個一元二次方程（包括判定一個一元二次方程沒有實數(shù)根），原因是我們掌握了一元二次方程的求根公式。我們現(xiàn)在所學(xué)的一元二次方程求根公式，在一千多年漫長的歷史中，曾經(jīng)隨著數(shù)的范圍的擴(kuò)大、概念的建立和嚴(yán)密而不斷地演變和完善。一元二

2、次方程的出現(xiàn)，有很久的歷史。最早的記錄是在公元前兩千年左右的巴比倫泥版書中，其中有相當(dāng)于解二次方程x2-5x+6=0的問題，并指出方程的兩個根都是正整數(shù)。這大概是世界上最古老的完全二次方程的實例之一。據(jù)數(shù)學(xué)史記載，巴比倫人會求出方程x2+px=q（p、q為正數(shù)）的根為x=。在希臘的著作中也能見到有關(guān)二次方程解的記錄。二世紀(jì)的著名幾何學(xué)家海倫已了解了數(shù)值處理的方法，海倫還用近似法求解方程。由于古希臘人不承認(rèn)負(fù)數(shù)，那時也沒有發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)，于是海倫所用過的是錯誤公式 x=。我國古代數(shù)學(xué)家在一元二次方程和二次方程的解的方面有著突出的成果，作出過不朽的貢獻(xiàn)。公元三世紀(jì)數(shù)學(xué)家趙君卿注周髀算經(jīng)時，不僅提出二次方

3、程，而且在有關(guān)二次方程的解中，我們發(fā)現(xiàn)有求根公式的雛形。趙君卿在周髀算經(jīng)的注文中有一篇有名的論文“勾股圓方圖注”，論文的內(nèi)容主要是用幾何方法證明勾股定理，但其中有一段是關(guān)于二次方程解法的論述：“其倍弦(2c1)為廣袤合(x1+x2)，而令勾股見者自乘(x1x2=a12或x1x2=b2)為實，四實以減之(2c1)2-4a12開其余，所得為差=x2-x1，以差減合，半其余為廣”，最后得公式x=，這是二次方程x2-2c1x+a12=0的一個根。若將方程改為x2-bx+c=0的形式，這上面的公式就變?yōu)閤=的樣子了。這正是首項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為負(fù)的二次方程x2-bx+c=0的一個根的表達(dá)式。特別要指

4、出的是，上文中“其倍弦為廣袤合，而令勾股見者自乘為實”，這兩句話論述的就是根與系數(shù)的關(guān)系，相當(dāng)于“韋達(dá)定理”。而韋達(dá)是十六世紀(jì)法國的數(shù)學(xué)家，他的結(jié)果大約比趙君卿晚一千三百年左右。我國南北朝時成書的張丘建算經(jīng)中有二次方程問題二則，由于書的殘缺和敘述的簡略，無法知道其解法。公元八世紀(jì)我國著名的天文學(xué)家僧一行(683年723年)由于研究歷法，而得到二次方程x2+bx+c=0(b>0，c>0)，他用公式x=來求一個根。宋代劉益著益古根源，對二次方程求解做了進(jìn)一步的工作，可解二次項系數(shù)是正數(shù)或負(fù)數(shù)的二次方程。到了秦九韶著數(shù)書九章時，我國數(shù)學(xué)家已掌握了形如 x2±px±q=

5、0(p>0，q>0)的二次方程的解法。公元十三世紀(jì)楊輝所作的“田畝比類乘除捷法”一書中，詳載多種解二次方程的方法，他發(fā)展了趙爽的方法，提出解二次方程的“四圓積步”法。元代朱世杰在他的“算學(xué)啟蒙”中也用過求根公式。在長期的研究中，人們逐步認(rèn)識到：1。二次方程有兩個根；2?？砂褍蓚€根用方程的系數(shù)的運(yùn)算公式表示出來。公元九世紀(jì)，完全二次方程的標(biāo)準(zhǔn)求根公式（即現(xiàn)在所用的形式）第一次在烏茲別克著名數(shù)學(xué)家穆罕默德·本·牟徹·花拉子模的代數(shù)學(xué)中出現(xiàn)，代數(shù)學(xué)里系統(tǒng)地討論了6種類型的一次或二次方程的解法，并講了配平方法，同時指出，通過“復(fù)原”與“對消”兩種變換，所有其它

6、形式的一次、二次方程都能化成這6種類型的方程。他提出的“復(fù)原”與“對消”即今天的移項與合并同類項。但是對于求根公式的運(yùn)用有所限制。因為，雖然他知道二次方程有兩個根，但是他只取正根，放棄負(fù)根和零。另外，這個公式出現(xiàn)以后的幾個世紀(jì)內(nèi)，人們還沒有認(rèn)識虛數(shù)，所以凡遇到b2-4ac<0時，就認(rèn)為問題不可能有解?；ɡ幽１救艘矡o例外地具有這種看法。十三世紀(jì)后，二次方程發(fā)展的重心又轉(zhuǎn)向了歐洲，較早的是意大利學(xué)者斐波那契。1202年，他在介紹東方的二次方程理論時引入了二次方程可以有無理數(shù)根的思想。實際上，虛數(shù)也是在二次方程求解研究中產(chǎn)生的，可見，二次方程求根問題的研究對數(shù)的擴(kuò)張有重要的促進(jìn)作用。十六世紀(jì)

7、50年代，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)提出了二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理。1707年，英國著名科學(xué)家牛頓建立了關(guān)于二次方程的一系列知識，給出了二次方程的根與判別式的關(guān)系。1768年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉出版的代數(shù)學(xué)入門一書給出了現(xiàn)在我們中學(xué)課本中列出的一般二次方程的求根公式?！靖戒洝恳弧ⅰ緩埱窠ㄋ憬?jīng)簡介】算經(jīng)十書之一。為五世紀(jì)的作品，作者張邱建生平不詳。全書共3卷，所列問題大部分是聯(lián)系實際的應(yīng)用題。在最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)、等差數(shù)列與不定方程等方面超過了九章算術(shù)的水平。該書卷下最后一題（第38題）是最著名的“百雞問題”：“今有雞翁一值錢五；雞母一值錢三；雞雛三值錢一。凡百錢買百雞，問雞翁、母、雛各幾何？”

8、書中不僅給出了三組答案：（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）而且給出了通解表達(dá)式。術(shù)文說：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益三，即得。”二、【花拉子模簡介】穆罕默德·本·牟徹·花拉子模出生在今天的烏茲別克靠近土庫曼的地方，確切的生卒年代已不可考，估計生活在公元780年到808年之間，所以一般認(rèn)為他是九世紀(jì)人。據(jù)考證，花拉子模在他的一本重要著作代數(shù)學(xué)里，首先使用了Algebra（代數(shù)）這個詞（意思是“移項和消去的科學(xué)”）。此書主要討論了一元二次方程的解法，這些解法是用一個一個解方程的例子來闡述的。由于當(dāng)時還沒有代數(shù)符號，書中的方程及其解法都是以口述的形式表達(dá)的。解法繼承了古巴比倫數(shù)學(xué)與希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的方法，用配方的方法求解，同時用長方形或正方形的面積與邊長等幾何意義來加以解釋，以證明解法和答案的正確性