且談矩陣的Rank

1、且談矩陣的RankGM0732130 鐘小兵矩陣的Rank是反映矩陣固有特性的一個重要概念。在本文中，作者介紹了Rank的定義和計算方法；并結(jié)合自己的學習和認識，解釋了Rank與行列式、向量組、線形方程組、線性空間、向量系之間千絲萬縷的關系。一、 矩陣的秩1.1 定義矩陣Amxn的不為零的子式的最大階數(shù)稱為矩陣A的秩，記作r(A)，或rank(A)。顯然, 矩陣A的秩是唯一確定的,并且,r(A)min(m,n), r(A)=r(AT), 零矩陣的秩等于 0。根據(jù)定義，矩陣A的秩等于r的充分必要條件是A中至少有一個r階子式Dr0 , 并且所有的r+1階子式(若存在)Dr+1=0。換個說法，矩陣A

2、中有一個r階子式不為0，則r(A)r；矩陣A中所有r階子式全為0, 則r(A)<r。1.2 性質(zhì)1) r(AB) r(A),r(AB)r(B)。2) 任何矩陣經(jīng)過矩陣初等變換后其秩不變。3) 設A是m×n矩陣，P是m階滿秩方陣，Q是n階滿秩方陣，則r(A)=r(PA)=r(AQ)?？梢岳斫鉃椋篈左乘P，相當于矩陣A經(jīng)過一些行的初等變換；A右乘Q，相當于矩陣A經(jīng)過一些列的初等變換，由前一性質(zhì)可知矩陣的秩不變。4) 同型矩陣Am×n與Bm×n等價的二種充分必要條件分別為：l Am×n與Bm×n的秩相等。 l 存在m階可逆陣p與n階可逆陣Q，使

3、PAQ=B。5) 對于任意一個矩陣A，A的秩，A的行秩和A的列秩三者都相等，稱為矩陣三秩相等。當rAr時，A中非零的r階子式所在的行（列）正好構(gòu)成A的行（列）向量組的一個最大無關組。矩陣三秩相等，反映了矩陣內(nèi)在的重要性質(zhì)，也是線性代數(shù)中非常重要的一個結(jié)論。  n維向量空間的n個線性無關的向量構(gòu)成的矩陣A，一定是滿秩的，r(A)=n。1.3 滿秩矩陣的特性1) 滿秩矩陣的所有行（列）向量是線性無關的。2) 如果A是滿秩方陣，則行列式|A|0。3) 滿秩矩陣是可逆的。1.4 矩陣秩的計算方法1) 求出A中最高階非0子式的階數(shù)；2) 求矩陣A的行(列)向量組的秩；3) 將矩陣A化為階梯陣即

4、可看出。二、 矩陣秩與行列式的關系若矩陣A為n階方陣，則r(A)=n Û |A|¹0（滿秩矩陣）若矩陣A為一般矩陣，則r (A)£ r Û A 的所有r+1級子式等于0；             r (A)³ r Û A 有一個r級子式不等于0。三、 矩陣秩和向量組的關系矩陣的秩可用于判斷向量組的線形相關性。將矩陣A按行或列分塊得到向量組（I），（II）分別為矩陣A的行向量組與列向量組，則r（A）=r（I）=r（II）。行向量組線性無關 <=> r（A）=m。列向量組線性無關 <=> r（A）=n。    該結(jié)論實際上也給出了向量組求秩的一個具體算法，即可利用矩陣的初等變換。四、 矩陣秩與線性方程組的關系1) 線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩與增廣矩陣的秩相同。2) 線性方程組解的情況： l 當r(A)=n時，有唯一解； l 當r(A)<n時，有無窮多解；五、 滿秩分解對于m×n的矩陣A，r(A)>0。總