數(shù)學建模——酶促反應

1、數(shù)學建模摘要本文針對喋吟霉素在某項酶促反應中對反應速度和底物濃度之間的關系的影響的 問題，根據(jù)實際可知符合底物濃度與反應速度的模型有兩種，即 Michaelis-Menten模 型和指數(shù)增長模型。對于 Michaelis-Menten模型，例題中已經(jīng)詳細分析，不再詳細討 論。本論文旨在建立指數(shù)模型對實際數(shù)據(jù)進行擬合分析。由酶促反應的基本性質知，酶濃度 x和反應速度y之間滿足當?shù)孜餄舛容^小時，反 應速度大致與濃度成正比；在底物濃度很大，漸進飽和時，反應速度將趨于一個固定值， 由此建立一個指數(shù)增長模型 y = f(x, P)=月(1-e邛x)并使用Matlab中nlin巾t 函數(shù)對給 出數(shù)據(jù)進行非

2、線性回歸，用cftool函數(shù)對結果進行驗證，確定出P1 =192.0943P2 =11.3854 此日R2 =90.14%。為使模型更加準確，改進模型為y = Pi(ex-ex),用同樣的方法進行擬合與分 析，得出 口=155.6149, P2 =17.8120和久=0.2670，止匕時 R2 =94.11%。同過兩個對模型進行預測與做殘差圖等方法，我們發(fā)現(xiàn)第二個模型相比第一個有所改進。我們通過對實際問題的仔細分析，把實際問題轉化成為數(shù)學上求解線性回歸的問 題，并建立了廣為大家所熟悉的數(shù)學模型指數(shù)模型。通過數(shù)學軟件的求解，得出模型中 變量的系數(shù)。由于模型中的有些參數(shù)是估計的，考慮到實際與理論的

3、差距，為了是使理 論分析更貼近生活實際，我們從簡略模型到優(yōu)化模型進行了進一步分析，通過計算機利 用數(shù)學軟件MATLAB對問題進行了求解分析，得到了比較客觀的分析結果。最后我們 還根據(jù)模型的特點，對模型進行了推廣，使其更具有一般性，能夠解決更多實際問題。殘差圖關鍵詞：指數(shù)模型非線性回歸MATLAB nlinfit cftool、問題提出某生化系學生為了研究喋吟霉素在某項酶促反應中對反應速度和底物濃度之間的關系的影響，設計了兩個實驗，一個實驗中使用的酶是經(jīng)過喋吟霉素處理的，而另一個是未經(jīng)過喋吟霉素處理的，所的實驗數(shù)據(jù)見下表底物濃度/ppm0.020.060.110.220.561.10反應 速度處

4、理764797107123139159152191201207200未處 理6751848698115131124144158160對實驗處理結果實際數(shù)據(jù)做非線性回歸分析，其結果如何？試做模型的殘差圖進行比 較。二、基本假設1、假設1.當?shù)孜餄舛容^小時，反應速度大致與濃度成正比（即一級反應）；2、假設2.當?shù)孜餄舛群艽髸r，漸進飽和時，反應速度將趨于一個固定值一最終反應速 度（即零級反應）3、假設3.反應速度與底物濃度成正比關系，即線性關系；4、假設4.反應速度不受外界溫度的影響，而酶的活性在反應中一直保持不變。三、符號說明符號意義單位備注y酶促反應速度ppm/hx底物濃度ppm2系數(shù) i =1

5、,2,3/a系數(shù)b系數(shù)四、問題分析酶促反應動力學簡稱酶動力學，主要研究酶促反應的速度和底物濃度以及其他因素 的關系。在底物濃度低時，酶促反應是一級反應；底底物濃度高時，酶促濃度是零級反 應。y = ：(e-x -e-2x)當反應濃度低時，反應速度大致與濃度成正比；當濃度很大時，漸進飽和時，反應 速度趨近于一個固定值一一最終反應速度。以下指數(shù)增長模型滿足這個性質即 y = f (x,P) = Pi(1 e*x)與卜面分別對這兩個模型進行分析求解五、模型的建立與求解5.1 模型一建立與求解5.1.1 模型一的分析由給出模型，先用Matlab中的nlin巾t函數(shù)可求出系數(shù)，此處需先給出系數(shù)的初始值進

6、行迭代，根據(jù)函數(shù)意義，月為最終反映速度，尾反映該酶促反應達最終速度的快慢，粗略估其值為220與10.5.1.2 模型一模型的建立y =- 1 (1 - e 一：2")5.1.3 模型一模型的求解利用MATLAB統(tǒng)計工具箱中的nlin爪 命令代入初值進行求解，將得到的結果作為 初值再次代入到模型中求解，得到穩(wěn)定的系數(shù)(見下表)。Pre-dlcte-c-l V1UOZUOO 2參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)問百192.0945173.8772 210.3117日211.38547.7571 15.0137rmse（剩余標準差）=17.44005.1.4 模型一結果的分析及驗證用MATLAB c

7、ftool函數(shù)進行驗證，得出結果如下：f(x) = a*(1-exp(-b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds):a =192.1 (173.9, 210.3)b =11.38 (7.757, 15.01)Goodness of fit:SSE (殘差平方和)：3042R-square: 0.9014Adjusted R-square: 0.8916RMSE: 17.44有上述兩種模型可以得出Pi、P2的參數(shù)估計值，以及置信區(qū)問。5.2 模型二模型建立與求解5.2.1 模型二的分析因反映中每一刻的底物濃度不確定，會導致最終反映速度為不確定量，

8、由此得出模 型二。再定初始值時，因e5最終應趨近于1,所以令 A初值為0,其他初值不變5.2.2 模型二模型的建立y :1 1 (e - 3x - e 2x)5.2.3 模型二模型的求解依然在代入初值后，多次將結果重新代入后得到穩(wěn)定的系數(shù)(見下表)參數(shù)參數(shù)估計值參數(shù)置信區(qū)問耳155.6146129.8646, 181.3647P217.812110.0720, 25.5522）A-0.2670-0.4717, -0.0624rmse= 14.21402505.2.4模型二結果的分析及驗證用MATLAB cftool函數(shù)進行驗證，得出結果如下:f(x) = a*(exp(-c)*x)-exp(-

9、b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds):a =155.6(129.9, 181.4)b =17.81(10.07, 25.55)c =-0.267(-0.4717, -0.0624)Goodness of fit:SSE: 1818R-square: 0.9411Adjusted R-square: 0.928RMSE: 14.21對比以上兩個模型的預測區(qū)間，如下表所示：（預測區(qū)間為預測值士）實際值模型1的預測值（模型1）模型2的預測值（模型2）76139.11811.963647.47118.31614739.11811.963647.4

10、7118.3169795.07922.0556104.6824.3602107195.07922.0556104.6824.3602123137.1922.2888138.3219.579139137.1922.2888138.3219.579159176.417.2644161.9425.0974152176.417.2644161.9425.0974191191.7722.8681180.7121.7743201191.7722.8681180.7121.7743207192.0923.4183208.7433.0983 1200192.0923.4183208.7433.0983從上表可

11、以看出，模型二的預測區(qū)間長度普遍比模型一的長，尤其在接近最終反應 速度時，預測區(qū)間長度有明顯增大的趨勢，增加了模型的置信度。令做出兩模型的殘差圖進行比較分析，如下：從殘差圖可看出，模型一中有兩組數(shù)據(jù)不包含零點，模型二中有三組數(shù)據(jù)不包含零點，但模型二中的數(shù)據(jù)整體更加貼近零點。 且結果顯示模型二的剩余標準差以及殘差平方和 均明顯小于模型一，因此認為模型二相比模型一有所改進。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價考慮到題目中給出的實驗數(shù)據(jù)較少，在建模時，我們使用單一變量建立了通俗易懂的指數(shù)函數(shù)模型，使預測更加簡便明了。通過運用專業(yè)的數(shù)學軟件MATLAB軟件解決問題，制作了可信度高。且在解決第二問時，

12、為了使理論討論更符合實際，使建立的數(shù) 學模型更具有客觀性，更為實用，我們是對第一問的模型進行了優(yōu)化，求解然后比較， 得出了客觀科學的結論，最終解決了問題。全文的計算簡單易懂，便于理解，模型計算 不復雜，只利用題設條件就能夠解決問題，只是在初值確定上有一定不確定性，需要根 據(jù)模型進行估計。6.2 模型的推廣本模型為如何求得反應速度和底物濃度之間的關系這一問題提供了一種較為簡易 的處理方法?？梢远ㄐ缘挠么朔椒ǚ治龊皖A測某一反應速度的實際問題。如釀酒廠、釀 醋廠同樣可以使用這類模型解決反應速度問題，以便于更好地控制生產(chǎn)量。6.3 模型的改進由于本模型是在題設的情況下進行分析，給出的實驗數(shù)據(jù)較少，為模

13、型的擬合帶來 較大的不確定性，現(xiàn)實生活中可以多采集幾組數(shù)據(jù)，在進行擬合，可是模型更加準確。1姜啟源等,七、參考文獻數(shù)學模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月八、附錄8.1附錄清單1.模型一的nlinfit程序2.模型一的cftool程序3.模型二的nlinfit程序4.模型二的cftool程序8.2 附錄正文1.huaxue = (beta,x)(beta(1)*(1-exp(-beta(2)*x);y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200'x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0

14、.56 0.56 1.10 1.10'Beta0=212.6818 0.06412;beta,r,J=nlin巾t(x,y,huaxue,Beta0);betaci=nlparci(beta,r,J);beta,betaciyy=beta(1)*(1-exp(-beta(2)*x);plot(x,y,'o',x,yy,'+') nlintool(x,y,huaxue,beta)beta =192.0949 11.3852 betaci =173.8775 210.31247.7571 15.01332.y=76 47 97 107 123 139 159

15、 152 191 201 207 200'x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10'cftool(x,y);General model:f(x) = a*(1-exp(-b)*x)Coefficients (with 95% confidence bounds):a =192.1 (173.9, 210.3)b =11.38 (7.757, 15.01)Goodness of fit:SSE: 3042R-square: 0.9014Adjusted R-square: 0.8916RMSE: 1

16、7.443.huaxue = (beta,x)(beta(1)*(exp(-beta(3)*x)-exp(-beta(2)*x);y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200'x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10'Beta0=212.6818 0.06412 100;beta,r,J=nlinfit(x,y,huaxue,Beta0);betaci=nlparci(beta,r,J);beta,betacinlintool(x,y,huaxue,beta)beta =-155.6140 -0.2670 17.8124 betaci =-181.3631 -129.8649-0.4717 -0.062410.0719 25.55294.y=76 47 97 107 123 139 159 152 191 201 207 200'x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22