電機設(shè)計方法

1、第2章電磁場有限元分析簡介電磁場的邊值問題實際上是求解給定邊界條件下的麥克斯韋(Maxwell )方程組及由方程組深化出的其他偏微分方程問題。從求解問題的技術(shù)手段上來說，它可以分為解析求解和數(shù)值求解兩大類。對于簡單模型，有時可以得到方程的解析解。若模型復雜度增加，則往往 很難獲得模型的解析解。 隨著計算工具，特別是高速大容量電子計算機的發(fā)展，電磁場數(shù)值分析已深入到工業(yè)生產(chǎn)各個領(lǐng)域，解決問題的面越來越廣， 分析的問題也日趨復雜。電磁場數(shù)值分析是一門綜合性的學科，涉及電磁場理論、 數(shù)值分析、計算方法、計算機基礎(chǔ)知識及高級語言等多個方面，但在計算上存在著共性。有限元法是一種常用的數(shù)值方法，并有相應的

2、電磁軟件問世，其中 ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D就是非常優(yōu)秀的電磁分析軟件。本章將對電磁場的基本理論、電磁場有限元的求解及ANSOFT公司的Maxwell 3D/2D作簡單的介紹。至于完整的電磁理論描述，讀者可以參考許多教科書。如果讀者已熟悉電磁 理論，完全可以略過本章，直接從第2章開始學習如何使用 Maxwell電磁軟件。1.1電磁場基本理論1.1.1麥克斯韋方程組在19世紀中葉，麥克斯韋在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，提出了適用于所有宏觀電磁現(xiàn)象 的數(shù)學模型，稱之為麥克期韋方程組。 它是電磁場理論的基礎(chǔ)， 也是工程電磁場數(shù)值分析的 出發(fā)點。麥克斯韋方程組包括微分和積分兩種形式，在此

3、僅給出它們的微分形式，通過它們可以導出能用有限元處理電磁問題的微分方程。麥克斯韋方程組為法拉第電磁感應定律3B?xB=at麥克斯韋-安培定律dD高斯電通定律高斯磁通定律F - B = L電荷守恒定律式中，E為電場強度，V/m ; D為電通量密度，C/m ; H為磁場強度，A/m ; B為磁通量 密度，T; J為電流密度，A/m2； P為電荷密度 C/m3。上面 5 個方程中包含兩個旋度方程式（ 1.1 ）、式（ 1.2 ）和 3 個散度方程式（ 1.3 ）、式 （1.4 ）和式（ 1.5 ）。1.1.2麥克斯韋方程組各方程之間的關(guān)系上面提到的麥克斯韋方程組的5個方程中，只有3個方程是獨立的，另

4、外兩個相關(guān)方程可以從獨立方程中導出。其中兩個旋度方程肯定是獨立方程，另外一個獨立方程可以在散度方程式（1.3 ）和式（1.5 ）中任選一個，方程式（1.4 ）只能作為相關(guān)方程。讀者可以參考 表 1.1。表1.1麥克斯韋方程組中的獨立方程與相關(guān)方程獨立方程相關(guān)方程1231 2(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.1)(1.2)(1.5)(1.4)(1.3)1、方程式（1.1）與式（1.4）的關(guān)系對方程式（1.1）兩邊取散度，有0BV Vx E） = -V at根據(jù)矢量恒等式，可知式（1.6）左端恒等于零SB設(shè)在場域內(nèi)B關(guān)于時間和場點二階混合偏導數(shù)連續(xù)，則式（1.7）可以化為d-

5、V-B = OSt即V B = CC是與時間無關(guān)的常數(shù)。同理，普朋也是與時間無關(guān)的常數(shù)，只要在初始時刻t=0取C=0,則在t 0以后的任意時刻恒有V-B = O由此，可以看出方程式（1.1）與式（1.4）是相關(guān)的，由方程式（1.1 ）可以推導出式（1.4）。2、方程式（1.2）、式（1.3）與式（1.5）之間的關(guān)系對方程式（1.2）兩邊取散度，有V * （V x H） = V-J+V-D=fl顯然，如果僅僅利用方程式（1.2）不能同時導出方程式（1.3）和式（1.5） o這時，要 私將方程式（1.3）設(shè)為獨立方程，聯(lián)合方程式（1.11）推導出方程式（1.5）;要么將方程式（1.5 ）設(shè)定為獨立

6、方程，聯(lián)合方程式（1.11）推導出方程式（1.3 ）o1）方程式（1.11）與式（1.3）聯(lián)合推導式（1.5）將方程式（1.3）代入式（1.11）有2）方程式（1.11）與式（1.5）聯(lián)合推導式（1.3）將方程式（1.5）代入式（1.11）有訶 D-p) = QV-D-p = C這里，C為與時間無關(guān)的常數(shù)， 那么只要在初始時刻 t=0取C=0,則在t0以后的任意時刻恒有1.1.3本構(gòu)關(guān)系場量E、D、B、H之間的關(guān)系，由媒質(zhì)的特性決定，對于線性介質(zhì)，本構(gòu)關(guān)系為D=.lB= i：J=j 1.式中，&為介質(zhì)的介電常數(shù)，F(xiàn)/m ;卩為介質(zhì)的磁導率，H/m ;為介質(zhì)的電導率，S/m。還需要說明的是，對于

7、各向同性介質(zhì)，&、卩和b是標量；對于各向?qū)越橘|(zhì)，它們是張量。如果希望得到電磁場問題的惟一解，除了上述方程外，還需要配備定解條件；對于瞬變 場，需要配備邊界條件和初始條件；對于靜態(tài)場、穩(wěn)態(tài)場、時諧場，只需配備邊界條件。1.1.4二階電磁場微分方程在實際有限元計算中，通常并不針對麥克斯韋方程組中的一階方程，常常先將方程化為二階方程，然后針對二階方程進行有限元數(shù)值求解。實際上，比較方便的做法是根據(jù)場的基本性質(zhì)，引入輔助的計算量，如標量電勢？、矢量磁位A等。Maxwell常用的求解方程有二維、三維靜電場求解器所滿足的泊松方程V (V$) = -p二維穩(wěn)恒電場求解器所滿足的拉普拉斯方程V (crV(|

8、) = 0二維交變電場求解器所滿足的復數(shù)拉普拉斯方程V- (o+jwe)V|) = 0二維靜磁場求解器所滿足的非齊次標量波動方程二維渦流場求解器所滿足的波動方程組V7 X x A) = (V(|) jtj)A)(u+ jci)It 二I dfl = J (Vcj) ja)A)(cj + k口3二維軸向磁場渦流求解器所滿足的齊次波動方程VxH +jwpH = O三維靜磁場和渦流求解器所滿足的齊次波動方程組（去 *xH）+ j 硼1. 1. 5電磁場求解的邊界條件電磁場問題求解中，有各種各樣的邊界條件，結(jié)合Maxwell 3D / 2D，歸結(jié)起來可概 括為 6 類。1、自然邊界條件自然邊界條件是軟

9、件系統(tǒng)的默認邊界條件， 不需要用戶指定， 是不同媒質(zhì)交界面場量 的切向和法向邊界條件。2諾伊曼邊界條件電磁場教科書中常常稱諾伊曼邊界條件為第二類邊界條件， 它規(guī)定了邊界處勢的法向 導數(shù)分布。 Maxwell 所提到的是齊次諾伊曼邊界，即法向?qū)?shù)為零。它是 Maxwell 系統(tǒng)默認 邊界條件，不需要用戶指定。3狄利克萊邊界條件 電磁場教科書中常常稱狄利克萊邊界條件為第一類邊界條件， 有限元計算領(lǐng)域， 常常 稱其為約束邊界條件，或本質(zhì)邊界條件。它規(guī)定了邊界處勢的分布，勢是邊界位置的函數(shù)， 也可以是常數(shù)和零。4對稱邊界條件 對稱邊界條件包括奇對稱和偶對稱兩大類。奇對稱邊界可以模擬一個設(shè)備的對稱面，

10、在對稱面的兩側(cè)電荷、 電位、 電流等滿足大小相等， 符號相反。 偶對稱邊界可以模擬一個設(shè) 備的對稱面，在對稱面的兩側(cè)電荷、電位、電流等滿足大小相等，符號相同。采用對稱邊界 條件可以減小模型的尺寸，有效地節(jié)省計算資源。5匹配邊界條件 匹配邊界條件是模擬周期性結(jié)構(gòu)的對稱面，使主邊界和從邊界場量具有相同的幅度 （ 對 于時諧量還有相位 ），相同或相反的方向。6氣球邊界條件氣球邊界條件是 Maxwell 2D 求解器常見的邊界條件，常常指定在求解區(qū)的外邊界處 , 用于模擬絕緣系統(tǒng)等。除此之外，有一些求解器中還有各自“特色”的邊界條件如交變電場中的電阻邊界、 渦流場中的阻抗邊界，主要用來模擬很薄的介質(zhì)層

11、。12 電磁場求解的有限元方法所謂的有限元法， 就是將整個區(qū)域分割成許多很小的子區(qū)域， 這些子區(qū)域通常稱為 “單 元”或“有限元”，將求解邊界問題的原理應用于這些子區(qū)域中，求解每個小區(qū)域，通過選取 恰當?shù)膰L試函數(shù)， 使得對每一個單元的計算變得非常簡單， 經(jīng)過對每個單元進行重復而簡單 的計算， 再將其結(jié)果總和起來， 便可以得到用整體矩陣表達的整個區(qū)域的解， 這一整體矩陣又常常是稀疏矩陣，可以更進一步簡化和加快求解過程。由于計算機非常適合重復性的計算F面就以一個簡單的和處理過程，因此整體矩陣的形成過程很容易使用計算機處理來實現(xiàn)。例子說明有限元法的基本原理。1. 2. 1 一維有限元法1.【例11】

12、問題的描述考慮一個兩極板電容器的靜電場分布問題。極板間充有密度為-的自由電荷，即自由電荷密度恰好等于介質(zhì)的介電常數(shù)。前面已經(jīng)介紹靜電場所滿足方程式(1.19)?？紤]到極板間只有一種介質(zhì)，可以導出本例中靜電場滿足的方程為= 1假定極板都接在 0.5V電源端，極板的間距為 2,如圖1.1所示。由于電容器的激勵和幾何形狀都關(guān)于Y軸對稱，只要求解整個區(qū)域的一半即可，而另外一半可由對稱關(guān)系得出。從邊界條件上看，這種對稱結(jié)構(gòu)導致電力線垂直穿過Y軸，使電勢在該對稱軸上沿 x方向的變化率為零，即對稱面可以用齊次諾伊曼條件表示， 為簡化起 見，這里沒有考慮實際的物理單位。受到狄里克萊和齊次諾伊曼邊界條件的約束，

13、即。：；二:=0x=0假定電容器極板的尺寸遠遠大于極板間的距離t那么電容器的電勢分布問題簡化為一維邊值問題。2.有限元求解用有限元求解問題的第一步就是劃分單元。一般說來.單元數(shù)越多，則近似解的精度就越高，當然計算量也就越大，越費時。所以單元數(shù)應該足夠多，以保證精度。對于例【1.11所考慮的問題，整個區(qū)域(0, 1)被分割成4個單元，記為單元 el、單元e2、單元e3和單元 e4。這些單元大小可以相同，也可以不同。在實際問題中，根據(jù)場分布的疏密程度，有限元 可以具有不同的尺寸，這樣便于處理復雜的幾何結(jié)構(gòu)和激勵源。分割后的區(qū)域由4個單元和5個點組成，這些點稱為節(jié)點”，對應于這5個點的電 勢記為？1

14、、?2、?3、？4、?5，每一個單元都由相鄰的兩個節(jié)點所限定，如圖1 . 2所示。對于一維空間來說， 一個單元只是一個線段。 對二維空間來說， 有限元可以有各種形 狀，如三角形、矩形等。作為一種數(shù)值計算方法，有限元并非用來尋求問題的解析解。實際上許多工程問題目前都無法找到解析解。有限元的作用就在于求解分布場的勢函數(shù)在每個節(jié)點上的近似值，而勢函數(shù)在單元其他位置的值，可以用插值方法獲得。 如果采用線性插值方法表示勢函數(shù)，則稱為一階有限元。如果采用高階插值表示勢函數(shù)，則稱為高階有限元。本節(jié)只介紹一階有限丿元。在圖1.3中，將任意單元記為e”，對應于這一有限元有兩個節(jié)點：卻和險1，這兩個節(jié)點上的電勢分

15、別記為 :和群他顯然它們?yōu)榇ǖ奈粗浚Q為自由度。對于一階有限元，由于采用線性插值，如果將單元上的電勢分布用圖形表示，實際上就成為一條連接兩個節(jié)點電勢值的線段。這一分布函數(shù)記為？e，一旦節(jié)點上的電勢被求出，在單元上的其他各點的電勢值即可由線性關(guān)系得到。顯然，求解電勢分布的關(guān)鍵是找到節(jié)點上的電勢值。采用加權(quán)余數(shù)法（伽遼金法）或變分法（里茲法）可以得到以下代數(shù)方程組式中，匚為嘗試函數(shù)；.為各待定系數(shù)?？梢粤畲ㄏ禂?shù) Ci為各節(jié)點上的電勢值 ?i,這樣一旦解出各待定系數(shù)，也就獲得了節(jié)點上的電勢值，也就是說，求解待定系數(shù)和求解節(jié)點電勢成為一個統(tǒng)一的計算過程t這是有限元法的巧妙處之一。另外，還需要設(shè)法

16、使方程的近似解滿足邊界處的狄里克萊條件。實際上，采用有限元法，滿足這一邊界條件并不困難， 只要令狄里克萊邊界上的節(jié)點電勢為給定的值即可，同時也要求嘗試函數(shù)在這些節(jié)點上的值為1。如此一來，狄里克萊邊界上的電勢不再是未知數(shù)，而是由狄里克萊邊界所確定的己知量。這樣不但滿足了邊界條件，而且減少了未知數(shù)的個數(shù)。這 是有限元法的巧妙處之考察式（1.29）可以發(fā)現(xiàn)；每一個積分都是對整個區(qū)域？進行的，因此需要利用分步積分法求解該積分。如果區(qū)域比較復雜，則這些積分的計算會非常煩瑣。有限元法巧妙地利用數(shù) 學推演，可以使該積分局部化， 即積分只對每一個單元進行，而最后的結(jié)果則綜合每個單元上的積分而得到。 為達到這一

17、目的， 需要適當?shù)剡x取嘗試函數(shù)。事實上，嘗試函數(shù)代表了單元近似解的一種插值關(guān)系，它決定了近似解在單元上的形狀。因此嘗試函數(shù)在有限元法中稱為形函數(shù)。對于一階有限元來說，形函數(shù)為一個直線段；對于高階有限元來說，形函數(shù)為一個曲線 段；對于二維一階有限元來說， 形函數(shù)為一個平面； 對于二維高階有限元來說， 形函數(shù)為一 曲面；對于三維有限元來說，形函數(shù)為多維平面或曲面。對于一維有限元來說，形函數(shù)分段 線性，對應于任意一個節(jié)點 i的形函數(shù)，如圖1. 4所示。該形函數(shù)在節(jié)點i上的值為1,并在與節(jié)點i相鄰的兩個單元上線性減小，直到在相鄰 節(jié)點i-1和i+1上分別減小為零。 選擇這樣的形函數(shù)可以使式（1.29）

18、積分局部化，從而大大簡化了計算過程，也便于用計算機進行重復處理。這是有限元法的巧妙處之三。如圖1.5所示，任意單元“ e”上電勢的分布為將式（1.30）代入式（1.29），即可獲得有限元方程KI 4 = f這里，K為5 X 5階系數(shù)矩陣；f為5 X |階激勵矩陣；而?為5X |階節(jié)點電勢矩陣。 矩陣中各元素為系數(shù)矩陣中的任意一個元素的計算可以通過對每一個單元進行計算，然后將各單元的積分結(jié)果相加得到，即單元“ e”對應的區(qū)域為-,單元的局部系數(shù)矩陣對應的元素為 ：唏，局來i+14+-l曲，i+)dt =K廣邛血=嗚 b=ihbg=i4 半dll二g罕 B=1 fJHE1構(gòu)成的單元“ e”，設(shè)單元

19、長度為 芒。若采用局部坐標系，則新的坐標可以由原始坐標變換而式中，t為新的局部坐標的變量。 在單元e上,對于節(jié)點i和i+1的形函數(shù)韶和歸淇都是單元上的直線段，為Wi(t = 1則單元系數(shù)矩陣和單元激勵矩陣分別為式中，各元素為應尸d吩對于任意單元來說，局部的積分計算常常通過采用局部坐標而得到簡化。節(jié)點i 和 i+1略J =將式（1.41）式（1.45）代入式（1.39）和式（1.40）可以得到阪= P1fie=k 1以上求出的局部矩陣知合于整體區(qū)域中的任何一個單元。只要單元的長度已知，就可以根據(jù)上面兩式求解局部系數(shù)矩陣和局部激勵矩陣。代入數(shù)據(jù)到式（1.46）和式（1.47），有w=2 71臥嗎整

20、體矩陣可由局部矩陣組合而成。具體的說，隧“應該放置于K中的第i行、第j列與第i+1行、第j+1列之間，鬥應該放置在f中的第i行、第j+1行。對于本例，有以下有限元方程” 5-500o irii04-1-55 + 5-5000.1 + 0.10-55+2.5-2.5C0.1 + 0200-2.52.S+5-50.2 + 01Q00-55L 0.1 以上矩陣為對稱稀疏矩陣，很多元素為零，易于計算機求解?？紤]到邊界處的狄里克萊 邊界，可知I：-，則可以消去以上矩陣第五行，將直代入其余各行，并移到右側(cè)與激勵矩陣合并，則可整理出對應于4個節(jié)點的有限元方程5-50 Q 41S 10 -500,20 -5

21、7.5 -2.S0.3.0 0 -2.5 7.5 1kJ28求解以上矩陣方程，可以得到4個節(jié)點上的電勢值為一=1,0.98,0.92,0.68,0.5。3、解析解實際上，對于上述一維電場問題，微分方程可以用積分的方法來求得精確的解析解。方程（1.26）在一維情況下，可以寫為顯然，方程解可以設(shè)為X10 = -y+bx + ：將式（1.27）和式（1.28）代入式（1.55），可以解出b=0，c=1則方程的解為X3對應上面 4個節(jié)點上的電勢值為 一=1,0.98,0.92,0.68,0.5 T對比有限元計算結(jié)果和解析解在節(jié)點上的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，二者在節(jié)點上的電勢值是一致的。其結(jié)果對比如圖1.6所示?？梢钥闯觯瑢τ诜枪?jié)點上的電勢值，有限元法采用線性插值的方法，近似解呈分段線性，與解析解之間存在誤差。如果選取更多的單元計算.則得到的近似解會有更高的精度。圖1. 6有限元計算和解析解該問題比較簡單，因而根本沒有必要采用有限元求解。本節(jié)引入這個簡單的例子只是借此說明有限元法的基本原理，便于初學者理解，讀者通過一維有限元的學習，可以輕而易舉 地將這些概念和原理應用到二維和三維有限元中。1. 2. 2電磁場解后處理對于大部分工程問題來說，僅僅求出電勢、 磁勢分布是不夠的， 還要得到其他物理參數(shù)或工程參數(shù)