復(fù)數(shù)信號探討

1、號是信息的載體，實(shí)際的信號總是實(shí)的，但在實(shí)際應(yīng)用中采用復(fù)信號卻可以帶來很大好處，由于實(shí)信號具有共軛對稱的頻譜，從信息的角度來看，其負(fù)頻譜部分是冗余的，將實(shí)信號的負(fù)頻譜部分去掉，只保留正頻譜部分的信號，其頻譜不存在共軛對稱性，所對應(yīng)的時(shí)域信號應(yīng)為復(fù)信號。通信一般具有載波，早期通信的載波為正弦波，通過調(diào)制傳輸信息，發(fā)射和接收的都是實(shí)信號，接收后要把調(diào)制信號從載波里提取出來，通常的做法是將載頻變頻到零（通稱為零中頻）。我們知道，通常的變頻相當(dāng)于將載頻下移，早期的調(diào)幅接收機(jī)將下移到較低的中頻，其目的是方便選擇信號和放大，然后通過幅度檢波（調(diào)幅信號的載波只有幅度受調(diào)制）得到所需的低頻信號，現(xiàn)代通信信號有

2、各種調(diào)制方式，為便于處理，需要將頻帶內(nèi)的信號的譜結(jié)構(gòu)原封不動的下移到零中頻(統(tǒng)稱為基帶信號)。很顯然，將接收到的實(shí)信號直接變到零中頻是不行的，因?yàn)閷?shí)信號存在共軛對稱的雙邊譜，隨著載頻的下移，正、負(fù)相互接近，到中頻小于信號頻帶一半時(shí)，兩部分譜就會發(fā)生混疊，當(dāng)中頻為零時(shí)混疊最嚴(yán)重，使原信號無法恢復(fù)，這時(shí)應(yīng)在變頻中注意避免正、負(fù)譜分量的混疊，正確的獲取基帶信號。實(shí)際表示復(fù)數(shù)變量使用實(shí)部和虛部兩個分量。復(fù)信號也一樣，必須用實(shí)部和虛部兩路信號來表示它，兩路信號傳輸會帶來麻煩，實(shí)際信號的傳輸總是用實(shí)信號，而在信號處理中則用復(fù)信號。通信信號處理張賢達(dá) 國防工業(yè)出版社對于虛數(shù)的難于理解，一定程度上是由于難以想

3、像它究竟是個什么東西，就像4維以上的空間，難以在腦子里建立其形象的影像一樣。對于j，這個-1的平方根，容易產(chǎn)生一種直覺的排斥，除了掌握能夠解出數(shù)學(xué)題目的運(yùn)算規(guī)則以外，一般人都不會去琢磨它有沒有實(shí)際意義，有什么實(shí)際意義。在“達(dá)芬奇的密碼”里，Langdon關(guān)于科學(xué)家對j的信仰以及教徒對宗教的信仰的類比，是對j之虛無縹緲和其重要性的絕妙詮釋。 但是，對于一個搞通信或是信號處理的人來說，由于quadrature signal 的引入，j被賦予了確確實(shí)實(shí)的物理含義。下面說說我的一知半解。 從數(shù)學(xué)上說，虛數(shù)真正確立其地位是在十八世紀(jì)歐拉公式以及高斯復(fù)平面概念建立起來之后。歐拉公式告訴我們實(shí)數(shù)的正弦余弦與

4、任意一個復(fù)數(shù)的關(guān)系；高斯復(fù)平面則給出了形象表示復(fù)數(shù)的方法，并暗示了實(shí)部與虛部的正交性。 對于一個時(shí)域復(fù)數(shù)信號，實(shí)部和虛部分別代表了正交的信息。就像QPSK的modulating signal，這一點(diǎn)不難理解。 另一個時(shí)域的重要性質(zhì)是兩個complex exponential 的和，是一個實(shí)數(shù)余弦。在考慮復(fù)頻域的概念之前，先回憶一下傅利葉變換的物理意義：一個任意信號可以分解成諧波相加的形式。對于一個實(shí)數(shù)周期信號，可以直觀的將其分解成多個不同相位的余弦諧波。但是，在傅利葉變換中，基本信號是complex exponential，也就是說，頻域信號是在復(fù)頻域上表現(xiàn)的。對于實(shí)數(shù)信號，復(fù)頻域上的共軛對稱

5、，保證了所有基本信號的虛部抵消；當(dāng)然，傅利葉變換是適用于所有復(fù)數(shù)信號的。 對于復(fù)頻域，一個頻率上的模的平方，表示這個頻率分量能量的大??；相位，表示時(shí)域上初始相位；正負(fù)頻率分別表示，在時(shí)域復(fù)平面內(nèi)，向兩個逆順時(shí)針不同方向轉(zhuǎn)動rotating phasor 所展現(xiàn)的頻率。復(fù)數(shù)信號處理的好處有：由于對相位的確定，使coherent detection 成為可能；對于數(shù)字通信，在基帶處理帶通信號，可以是有效帶寬減少一半，進(jìn)而對于AD 的采樣率要求，F(xiàn)FT的處理能力等都有改善，比如在OFDM系統(tǒng)中transmitter中在基帶完成的IFFT block等。 通過一個簡單的QPSK系統(tǒng)，可以對以上理論有更

6、深刻的了解。解析信號的實(shí)部和虛部是正交的，是希爾伯特變換對，實(shí)部就是原信號或者說是實(shí)際存在的信號。由此我們可以利用希爾伯特變換得到解析信號。在雷達(dá)信號中，對于中頻信號需要變換成零中頻的復(fù)信號，稱為視頻信號（不一定解析，但是實(shí)部和虛部是正交的），有正交變換法，希爾伯特變換法，多相濾波法，插值法等多種方法，可以根據(jù)具體要求選取適當(dāng)?shù)姆椒?。這些方法在雷達(dá)原理、軟件無線電、通信理論等書籍和文獻(xiàn)中都能找到很多。用復(fù)信號表示信號，構(gòu)造解析信號減少一半頻帶是一個優(yōu)點(diǎn)；用來表示實(shí)信號時(shí)，運(yùn)算簡便也是一個很重要的優(yōu)點(diǎn)。: E% F! . t3 R& z$ u對于窄帶信號s(t)=a(t)cos(wt+f

7、ai(t)，正交形式為s(t)=si(t)cos(wt)-sq(t)sin(wt)，式中si(t)=a(t)cos(fai(t)，sq(t)=a(t)sin(fai(t),si(t)稱為基帶同相分量，sq(t)稱為基帶正交分量。指數(shù)形式和解析信號形式一樣的條件是：wt>=wm，式中wm為信號si(t)=a(t)cos(fai(t)的最高頻率。滿足wt>=wm時(shí)信號s(t)的指數(shù)形式和解析信號形式都是a(t)exp(j*(wt+fai(t)。不過在雷達(dá)信號中，相干視頻信號一般都不是解析信號。I Q兩路信號仍然滿足hilbert 的關(guān)系，實(shí)際中l(wèi)兩路信號滿足hilbert變換知識理想的

8、情況，而我們在工程中是很難實(shí)現(xiàn)的，因此就采用了I,Q兩路的方式來做就是說正交檢波的話，得到I、Q兩路信號，剛好 I路就是實(shí)部，Q路就是虛部。在產(chǎn)生雷達(dá)信號是，得到兩倍的帶寬可以降低采樣率的，這樣就降低了對A/D的要求。正交檢波的接收機(jī)把信號的實(shí)部虛部都得到，這樣就相當(dāng)于把整個信號得到了，平方求模得幅度，相除反正切求相位，就是這樣得% l/ t$ l$ t% S" L0 g0 & ! G* h1 T任何信號包括雷達(dá)信號實(shí)際上都是實(shí)信號，復(fù)信號是為了分析復(fù)解析信號而提出的，也為引入I,Q雙通道的概念，因?yàn)樵诶走_(dá)系統(tǒng)中，信號的產(chǎn)生通常采用正交調(diào)制的方式產(chǎn)生，這可以獲得一般調(diào)制的2倍

9、帶寬。5 e3 z4 i' c: c" f, U+ C+ ! =問題來源：物理世界中的信號都是實(shí)信號，為什么信號處理理論要引入復(fù)信號？探討：1、在信號處理中采用復(fù)信號表示法主要是為了數(shù)學(xué)處理的方便，因?yàn)槿舨捎脤?shí)信號表示法，當(dāng)對信號進(jìn)行處理時(shí)，將會產(chǎn)生大量的“交叉項(xiàng)”，這會給系統(tǒng)的分析帶來一定的復(fù)雜性，而這個問題通過采用復(fù)信號表示法可以得到減輕，而且由于復(fù)信號的實(shí)部和虛部正好與接收機(jī)中的同相支路（I）和正交支路（Q）相對應(yīng)，所以在系統(tǒng)中采用復(fù)信號表示法就是很自然的事。實(shí)信號的頻譜是雙邊對稱的，也就是說存在著負(fù)的頻率，但是實(shí)際上負(fù)頻率也是不存在的，而解析的復(fù)信號的頻譜恰恰就是只有

10、正頻率的。       為了得到與某個實(shí)信號相對應(yīng)的復(fù)信號，可以通過將實(shí)信號的正頻率譜加倍，并令負(fù)頻率譜等于零而得到，而這個過程的實(shí)際工程實(shí)現(xiàn)是通過希爾伯特變換進(jìn)行的，這樣的復(fù)信號是解析的。       有關(guān)這個問題的進(jìn)一步的詳細(xì)解釋可以參考:        Richard L. Mitchell所著的Radar Signal Simulation. Artech House,INC. 1976 或者其中譯

11、本：陳訓(xùn)達(dá)譯. 雷達(dá)系統(tǒng)模擬. 北京：國防工業(yè)出版社，1982        參考張賢達(dá)，保錚的通信信號處理2、從信號與系統(tǒng)的角度，我認(rèn)為這樣理解也不錯：求系統(tǒng)的響應(yīng)必須要要輸入信號與系統(tǒng)進(jìn)行卷積;為了簡化和便于數(shù)值處理，人們就需要尋找一類特殊的基本單元信號，這類特殊的信號有兩大特點(diǎn):（1）,可表達(dá)普遍的信號，（2）,此類信號的響應(yīng)較為簡單;經(jīng)過尋找，發(fā)現(xiàn)指數(shù)形式的信號很適合做這類基本單元信號;它的響應(yīng)是常值與指數(shù)的積;并且，此類信號可表示大量的信號;關(guān)鍵是要把普通的實(shí)信號表示成為指數(shù)形式，也需要引入虛數(shù)的概念（Euler公式）。3、

12、將實(shí)信號通過希爾伯特變換變換成復(fù)信號，一方面去掉了原實(shí)信號的負(fù)頻率項(xiàng)，但并不會損失信息，因?yàn)檎?fù)頻率項(xiàng)是對稱的。另一方面，這種只保留正頻率項(xiàng)的做法有利于消除信號運(yùn)算中產(chǎn)生的大量“交叉項(xiàng)”。4、我的理解:去掉了負(fù)頻率,使的帶寬減倍,因而能夠降低采樣頻率正如上敘,減少了交叉項(xiàng)使得時(shí)域里有了相位,從而易于定義瞬時(shí)頻率5、對于一個實(shí)信號，頻譜是共軛對稱的，即負(fù)頻可以完全由正頻確定，是冗余的。對于最高頻率為fm的基帶信號，如果調(diào)制到載波上，則正頻率部分的帶寬為2fm；而如果對于基帶信號構(gòu)造其解析新后再調(diào)制到載波上，則帶寬僅為fm，從這個意義上解析信號可以使帶寬減半，可以降低帶通信號的采樣頻率。 

13、;      當(dāng)然，從另外一個角度講，實(shí)信號變?yōu)閺?fù)信號后，實(shí)際上變?yōu)榱藘陕沸盘?，比如解析信號（?shí)部為原信號，虛部為正交信號）。所以，對于采樣來說，由一路采樣變?yōu)榱藘陕凡蓸?，?shí)際采樣率并未減少。復(fù)信號的實(shí)現(xiàn)就是通過兩個信號通道。復(fù)信號相乘，就不止是兩個通道各自的運(yùn)算，而還有交叉耦合相乘。復(fù)諧波x=xr+j*xi=cos(wit)+j*sin(wit)=exp(jwit)與復(fù)數(shù)a+jb的乘法如圖所示：6、一般情況下是兩個實(shí)系數(shù)的數(shù)字濾波器，對實(shí)部和虛部分別處理。       不過，現(xiàn)在也有

14、復(fù)系數(shù)濾波器，可以直接對復(fù)信號進(jìn)行濾波處理?，F(xiàn)在做的雷達(dá)仿真系統(tǒng)脈沖壓縮中的匹配濾波采樣的就是復(fù)系數(shù)濾波器，即卷積濾波的輸入和系數(shù)以及輸入都是復(fù)數(shù)。有時(shí)候從復(fù)信號流圖的角度去考慮問題和處理問題，也能帶來很多方便之處，比如在中頻直接采樣數(shù)字混頻正交變換中。        推廣一下，二元有復(fù)信號（兩通道，用1,i表示單位），四元有超復(fù)信號（四通道，用1,i,j,k表示單位），相應(yīng)的都有（超）復(fù)系數(shù)濾波器。感興趣的可以去查看一些相關(guān)的文獻(xiàn)。7、以上論述，講得很好，仍過于浮淺。事實(shí)上，我們引入解析信號，我個人認(rèn)為，出于以下原因：可以提高增益3dB，這在通信、雷達(dá)等應(yīng)用中是很大的貢獻(xiàn)?？梢岳孟辔恍畔?。實(shí)信號存在相位模糊，而解析信號由于兩通道正交，包含有冗余信息，不存在相位模糊現(xiàn)象。很多先進(jìn)的接收機(jī)采用了正交雙通道，實(shí)現(xiàn)了相參積累，提高了信噪比。事實(shí)上，利用的信號表示形式越復(fù)雜（抽象），包含的冗余信息越多，由此可以得到一些意想不到的結(jié)果。我們已經(jīng)用到了解析信號，可以表示為abi，三維空間abicj