初等變換與逆矩陣

1、初等變換與逆矩陣復(fù)習(xí)提問那些變換是初等變換?逆矩陣的概念?那些矩陣是初等變換矩陣?問題提出前面,我們已經(jīng)知道了如何從幾何上求初等變換矩陣的逆矩陣對一般的矩陣,如何從幾何上求出它的逆矩陣呢?實例分析另一點它把平面上的一點變?yōu)榻o定矩陣,41-2-3MxyO6543211 2 3-2 -1CAByxO1 2 3 4 5 6654321-3 -2 -1CABM點A(1,0)變成A(3,-1);點B(0,1)變成B(-2,4);點C(3,2)變成C(5,5);四邊形AOBC變成四邊形AOBCxyO6543211 2 3-2 -1CAByxO1 2 3 4 5 6654321-3 -2 -1CAB如何從幾

2、何上求矩陣M的逆矩陣呢?點A(3,-1)變回點A(1,0);點B(-2,4)變回點B(0,1);點C(5,5)變回點C(3,2);求矩陣M的逆矩陣,從幾何上,就是確定一個矩陣變換,它把確定一個矩陣變換,使得A(3,-1)變回到A(1,0).yxO 1 2 3 4 5 6654321-3 -2 -1AA可以通過兩個初等變換實現(xiàn)把點A變回到A第一步,只需把點A(3,-1)垂直向y軸方向壓縮為 使A變成A1(1,-1);第二步,實施沿y軸正方向的切變即可把點A1(1,-1)變 到點A(1,0)31第一步100311M第二步11012M13100311321212MMMMMOAOA0111110111

3、2M連續(xù)實施M1,M2表示的變換即實施矩陣M2M1表示的變換,可以把點A變回點A.點B在M2M1的作用下yxO 1 2 3 4 5 6654321-3 -2 -1B”B42100314221212MMMMMOB3103243211014322OB M點B變成了點310,32B要確定一個矩陣變換,將點B”變回到點B,但同時使點A保持不變由于點A在x軸上,因此向x軸的垂直壓伸變換0001kk沿x軸切變101k均能保證點A不變.用這樣的初等變換把點B”變回到B.第三步13210300113103213,-BBM,-Bx變成把表示的變換,即實施矩陣,的縱坐標(biāo)變?yōu)檩S的垂直壓縮變換把利用向0,110321

4、14BBMx變成把點軸正向的切變沿利用第四步連續(xù)實施M1,M2表示的變換即實施矩陣M2M1表示的變換,可以把點B”變回點B,而點A沒變.yxO 1 2 3 4 5 6654321-3 -2 -1B”BOBMOB10132103211323103231000131032443434MMMMMOAMOA010110321 010131000101443434MMMMM這樣,我們找到了四個初等變換矩陣M1M2M3M4依次連續(xù)實施這四個初等變換,把點A(3,-1)及B(-2,4),分別變回點A(1,0),B(0,1)即矩陣N=M4M3M2M1,使得OAOA0101NMNOBOB1010NMN10201

5、323OC10201323MMMOCOCOC2310201310201323NMNMNMN1001yxyx對于任意向量yxyxNM0101NM1010NM思考交流請同學(xué)們利用逆矩陣的定義驗證矩陣100311101103001103211234MMMMN的逆矩陣是矩陣41-2-3M抽象概括.101,101,001,100,0110,的乘積表示等如換矩陣總可以由一系列初等變?nèi)我豢赡婢仃嚨哪婢仃囈话愕豮kkk求一般可逆矩陣M的逆矩陣的步驟10011001MBMABA和的像和研究基向量,BBAA變成而變回把換時連續(xù)實施這一組初等變確定一組初等變換矩陣保持不變而變回把換時連續(xù)實施這一組初等變陣再確定一組初等變換矩ABB,M的逆矩陣M-1就可以表示為這兩組初等變換矩陣的乘積一般地,任一可逆矩陣,一定可以分解為一系列初等變換矩陣的乘積.從幾何上說,任一可逆矩陣表示的變換,總可以分解為一系列初等變換