34群的同構(gòu)定理

1、§ 3.4群的同構(gòu)定理同態(tài)基本定理：設(shè)是群G到群G的一個(gè)同態(tài)滿射，則%erG 0用圖表示：將同態(tài)基本定理推廣就得到下面的第一同構(gòu)定理。定理1 (第一同構(gòu)定理)設(shè) 是群G到群G的一個(gè)滿同態(tài)，且 ker N <G ,記(N) N 5則% %'或 %(Gy(N)°當(dāng)N ker時(shí)，(N) e , % % G,第一同構(gòu)定理退化 成同態(tài)基本定理第一同構(gòu)定理也可以用圖表示：證明首先，由N<G有N(N)<GO作映射：:% %, (xN)N, xN %。以下驗(yàn)證是%到GN的一個(gè)同構(gòu)映射。(1) 是映射：設(shè)aN bN(a,b G),則a 1b N ,于是(a) 1 (

2、b) (a 1b) (N) N ,從而(a)N (b)N , 即%中的每個(gè)賠集在 下的像唯一，因此 確為%到底 的一個(gè)映射。是滿射:aN G4(a G)，因?yàn)?是滿射，所以存在Na G,使得(a) a,從而存在aN %,使得(aN) aN , 印是滿射。(3) _是單射:設(shè)(aN) (bN),即(a)N (b)N 5從而(a 1b) (a) 1 (b) N o但 是滿同態(tài)且(N) N 5所以c N ,使得 (a 1b)(c) (a 1b c 1)e a1bc 1 Ker o于是由已知條件kerN得a 1bc 1 Na 1ba 1bc 1 cN ,從而aN bN ,即_是單射。(4)又由于(aN

3、 bN) (ab)N) (ab)N (a) (b)N (a)N (b)N (aN) (bN), 所以 是%到%的一個(gè)同態(tài)映射。綜上所述，是%到外的一個(gè)同構(gòu)。所以 %胎作業(yè)：P104第4題(提示：用同態(tài)基本定理)。準(zhǔn)論1.設(shè)H<G,N<G且N H,則證明取自然同態(tài)：G %,（a） aN,其核Ker N o在第一同構(gòu)定理中取G %,取N為這里的H ,并注意（H）/，由第一同構(gòu)定理得%。例 1 設(shè) H<G,K<G,證明由H<G,K<G證明GHKOHGHKHK < G。又顯然H < HK ,直接由推論得注意:交換H,K的位置也可以得GHK定理2 （第二同

4、構(gòu)定理）設(shè)G是群，H G, N<G,則HI N<H，且 H% %I N）。第二同構(gòu)定理也可以用圖表示：證明:由H G, N<G有HN G,且N<HN。作映射:H H%，(x) xN , X H ,則顯然是H到H%的滿同態(tài)。且Ker x x H, (x) Nx|x H ,xN N x x H ,x N HIN,于是由同態(tài)基本定理得%H I N) H%。例2 &,S4設(shè)分別為3次、4次對稱群，L是Klein四元群, 證明：%, S3。證明先（VS,（見前面）。以下驗(yàn)證：S4 S3K4且S3I K4 e,再用第二同構(gòu)定理即可得證。事實(shí)上，把 S3中 的每個(gè)置換看成保持

5、4不動(dòng)，則顯然S3I K4 e成立。于是|S3K4| 1s311K41 6 4 243 4 IS3I K4I又 S3K4 S4且 IS4I 24,S4S3K4K4K4所以S4S3K4o于是由第二同構(gòu)定理 K4)S3。定理3（第三同構(gòu)定理）設(shè)G是群，且N<G , H %，則（1）存在G的唯一子群H G,H N,使得H %；（2）當(dāng)H<% 時(shí)，存在G的唯一正規(guī)子群H <G,H N , 使得H %,且% G%。第三同構(gòu)定理表明：商群 的子群仍為商群，且呈 %也 形式，其中H G,H N ；面且H是G的正規(guī)子群當(dāng)且僅當(dāng) 味星%的正規(guī)子群。證明(1)取自然同態(tài)：G %,(a) aN,其核Ker N由上一節(jié)定理4知，在G的包含N的子群與GN的所有子群 之間可以建立一個(gè)保持包含關(guān)系的雙射，因此當(dāng)H %時(shí)，必然存在G的唯一的子群H G,H N與之對應(yīng)，即(H) H 另一方面，根