萬有引力專題講座

1、萬有引力專題講座知識結(jié)構(gòu)重點難點、萬有引力和萬有引力定律萬有引力普遍存在于任意兩個有質(zhì)量的物體之間.自然界中一般物體問的萬有引力很?。ㄟh小于地球與物體間的萬有引力和物體間的其它作用力） 因而可以忽略不計.但考慮天體運動和人造衛(wèi)星運動問題時必須計算萬有引 力，不僅因為這個力非常大，而且萬有引力提供了大體和衛(wèi)星做勻速圓周運 動所需的向心力.萬有引力定律給出了物體問萬有引力的定量關(guān)系. 需要注意的是萬有引 力定律公式只適用于計算兩個質(zhì)點間或兩個均勻球體間的萬有引力.二、大體運動和人造衛(wèi)星運動模型基本思路：認為天體A繞天體B的運動和人造衛(wèi)星繞地球的運動均為 勻速圓周運動，具運動所需向心力由它們間的萬有

2、引力提供， 進而利用萬有 引力定律、牛頓第二定律及向心加速度公式求出各類問題.三、地球上的重力和重力加速度在質(zhì)量為M半彳全為R的天體表面上，如果忽略大體自轉(zhuǎn)的影響，質(zhì)量 為m的物體的重力加速度g,可以認為是由大體對它的萬有引力產(chǎn)生的.由 萬有引力定律和牛頓第二定律有：則該天體表面的重力加速度為:由此式可知，天體表面的重力加速度是由大體的質(zhì)量和半徑?jīng)Q定的.三、地球上物體的重力和地球?qū)ξ矬w的萬有引力的關(guān)系地球上物體的重力是由于地球的吸引而產(chǎn)生的，它并不等于萬有引力.這是因為地球上的物體要隨地球自轉(zhuǎn)而做勻速圓周運動，設(shè)運動半徑r是物體到地軸的距離，所需向心力大小為5需=m,2r,方向垂直指向地軸，物

3、 體隨地球的自轉(zhuǎn)所需的向心力，是由地球?qū)ξ矬w的引力的一個分力提供的， 引力的另一個分力才是通常所說的物體受到的重力.地球上物體的重力會隨緯度變化而變化. 這里的原因有兩個：一是由于 在不同的緯度上物體隨地球自轉(zhuǎn)時的運動半徑不同， 因而所需的向心力有所 不同；另一個是由于地球并不是一個理想的球體， 從精確的測量可知，地球 是一個極半徑比赤道半徑略小的橢球體，因而物體位于不同緯度上，地球?qū)?它的引力也就有所不同.所以隨著緯度的增加，地球?qū)ξ矬w的引力逐漸增大， 物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力逐漸減小，物體的重力逐漸增大.實際上，由于地球的自轉(zhuǎn)很慢，物體隨地球的自轉(zhuǎn)所需的向心力，最大 也不過是地球?qū)λ囊?/p>

4、的千分之幾；而且地球的極半徑與赤道半徑相差極 小，物體的重力在兩極與赤道相差也不過千分之幾，所以在一般情況下，重力和重力加速度隨緯度的變化可忽略不計.四、地球同步衛(wèi)星地球同步衛(wèi)星，它的運行軌道位于赤道上空，運行周期和地球自轉(zhuǎn)周期 相同.它相對于地面靜止在距地面約 36000 km的高空.1 .因為同步衛(wèi)星的軌道必須與地球自轉(zhuǎn)軌道在同一平面內(nèi)才有可能與 地球同步，所以同步衛(wèi)星只能運行在赤道上空.2 .因為同步衛(wèi)星運行周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，依據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律和向心加速度公式可知：由此可以得出同步衛(wèi)星距地表高度為:其中M為地球質(zhì)量，T為地球自轉(zhuǎn)周期，R為地球半徑，代入相關(guān)數(shù)值 可解得h

5、為一定值，即h 毋 36000 km五、衛(wèi)星運行速度與軌道衛(wèi)星運行的圓軌道是橢圓軌道的特殊情況，其軌道速度也稱為環(huán)繞速度，人造地球衛(wèi)星的速度介于7.9 km/s11.2 km/s之間，它的軌道只能是圓形軌道或橢圓軌道.如果衛(wèi)星運行軌道為橢圓軌道，則其軌道上離地球最 近的點為“近地點”，最遠的點為“遠地點”.7.9 km/s是人造地球衛(wèi)星的最大運行速度，也是最小發(fā)射速度。計算靠近地面運行的衛(wèi)星的速度計算靠近地面運行的衛(wèi)星的速度 V,可以用前面提到的等式：GMm/r 2=mV/r式中軌道半徑r約等于地球半徑R地.計算靠近地面運行的衛(wèi)星的速度 v,還可用下式：2 mg = mv/r.即 v = (g

6、r) 1/2.衛(wèi)星從發(fā)射升空到正常運行的連續(xù)過程，一般可分為幾個階段，每個階段對應(yīng)不同的軌道.例如發(fā)射軌道、轉(zhuǎn)移軌道、運行軌道、同步軌道、返回 軌道等.有些衛(wèi)星的發(fā)射并不是直接到達運行軌道，而需要多次變軌.例如地球同步衛(wèi)星就是先發(fā)射到近地的圓軌道上，再變?yōu)闄E圓形轉(zhuǎn)移軌道，最后在橢圓形軌道的遠地點變?yōu)橥杰壍?因此發(fā)射過程需多級火箭推動.六、衛(wèi)星的機械能與軌道半徑由方程GMm/r=mv2/r,可得(1/2)mv 2=GMm/(2r).可見，對于質(zhì)量相等的一些衛(wèi) 星來說,在較高的圓軌道上的衛(wèi)星，動能較小.那末,在較高的圓軌道上的衛(wèi) 星，機械能也較小嗎？如以無窮遠處為引力勢能零點，那末衛(wèi)星的引力勢能

7、表達式是8=-GMm/r.所以衛(wèi)星的機械能為E=Ek+B=GMm/(2r)-GMm/r=-GMm/(2r).可見，對于一些質(zhì)量相等的衛(wèi)星來說，軌道半徑r越大的衛(wèi)星，機械能E越 大.如果取其它位置為引力勢能零點，那末引力勢能日的表達式和機械能E 的表達式將變得復(fù)雜一些，但仍可得到“質(zhì)量相等時，在較高的圓軌道上運 行的衛(wèi)星，機械能較大”.一個作橢圓運動的衛(wèi)星，在近地點時機械能較大，還是在遠地點時機械 能較大？作橢圓運動的衛(wèi)星不滿足 GMm/2=mv2/r,因此不可以照搬上面的方法.衛(wèi)星在沿橢圓運動，離地心的距離不斷變化的過程中，由衛(wèi)星和地球組 成的系統(tǒng)，只有引力做功，因此機械能是守恒的.在近地點和

8、遠地點以及軌 道上其它各點，機械能相等.在遠地點勢能較大，動能較小。例題精選例題1對于太陽的九大行星來說，軌道半徑較大的，周期較大. 冥王星繞太陽運動的軌道半徑約為地球繞太陽運動軌道半徑的40倍，它繞太陽運動一周需要 年.解：設(shè)太陽質(zhì)量為m,某行星(冥王星或地球)質(zhì)量為m,繞太陽公 轉(zhuǎn)的軌道半徑為r.根據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律、向心加速度公式可得GMm/r 2= m 4 兀 2r/T 2T2 = 4 兀 2r3/(GM)所以T冥/ T地 =r冥/r 地所以T冥2 / 1 2 =403所以 T 冥= 40X(40) 1/2 年=40X6.3 = 250年例題2.以下關(guān)于地球同步通信衛(wèi)星的說法

9、正確的是(采用地心-恒星參考系)：(A)所有的同步衛(wèi)星都在赤道平面內(nèi)一個圓周上(B)同步衛(wèi)星的速度大于地面的速度(C)同步衛(wèi)星的速度大于第一宇宙速度(D)同步衛(wèi)星的周期等于一個恒星日解：同步衛(wèi)星和地面作圓周運動的周期是相同的，角速度是相 同的，由v=2tt r/T或 v =r可知，同步衛(wèi)星的速度大于地面的速度.本題選項(A)(B)(D)正確.例題3假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M火和地球的質(zhì)量 M地之比為p,火星的半徑R火和地球的半徑R地之比為q,那么火星表面 處的引力加速度和地球表面處的引力加速度之比等于(A)p/q 2 (B)pq 2 (C)p/q (D)pq解：質(zhì)量為m的物體放在質(zhì)量

10、為M半徑為R的行星附近，受到的萬 有引力為F =GMm/R引力加速度等于引力跟物體質(zhì)量的比值=F/m= GM/R由此可見，引力加速度跟行星的質(zhì)量 M成正比，跟行星半徑 的平方R2成反比.所以2火/g地=p/q選項(A)正確.例題4月球公轉(zhuǎn)周期為Ti,速度為Vi；同步通信衛(wèi)星 的周期為T2,速度為V2；靠近地面運行的衛(wèi)星的周期為 T3,速 度為 V3.貝U Vi:V 2:v 3= .解：設(shè)地球質(zhì)量為M,某衛(wèi)星質(zhì)量為m,繞地球公轉(zhuǎn)的軌 道半徑為r.根據(jù)萬有引力定律、牛頓第二定律、向心加速 度公式可得GMm/r GM v r2=v2rmB/r2兀 r/TvT/(2 九)將(2)式代入(1)式:2九

11、GM= v3T所以v = (2兀 GM)1/3 / T1/3于是v-1/33v i:vzv3= T 1-1/3 : T 21/3 : T1:v 2:v 3= (T2T3) 1/3:(T 1T3) 1/3:(T 1T2)1/3例題5(1)已知地球質(zhì)量為M,引力常量為G,在地心-恒 星坐標系中，地球自轉(zhuǎn)周期為T.求同步衛(wèi)星離地心的距離.(2) 已知地球半徑為R,在地心-恒星坐標系中，地球自轉(zhuǎn) 周期為T,貼近地球運行的衛(wèi)星的周期為T0.求同步衛(wèi)星離地 心的距離.(3)已知地球半徑為R,地面附近引力場強度約等于地面 附近重力加速度g,在地心-恒星坐標系中地球自轉(zhuǎn)周期為T.求同步衛(wèi)星離地心的距離.解：(

12、1)設(shè)同步衛(wèi)星離地心的距離為r.地球?qū)ν叫l(wèi)星 的萬有引力F產(chǎn)生向心加速度a:F=ma而F2=GMm/ra=3 r = 4 冗 r/T所以GMm/r2=4：t2mr/T2即GMTj dr3于是r= GMT/(4 /)21/3(2)同步衛(wèi)星的運行周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期T.設(shè)同步衛(wèi)星離地心的距離為r.由GMm/r 2= 4 tt 2mr/T2可以得到 GMT 2=4冗2r3類似地,貼近地球運行的衛(wèi)星滿足GMT02= 4幾代由以上兩式可得T2/To2 = r3/R3于是r=(T2/To2)1/3R(3)同步衛(wèi)星的運行周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期T.設(shè)同步衛(wèi)星離地球的距離為r.則GMm/r 2=4 兀 2m

13、r/T2即r=GMT/(4 兀2) 1/3(1)2、又g= F/mi = (GMmR )/m i即g= GM/R即GM=gR(2)將(2)式代入(1)式可得r= gR2T/(4 兀 2) 1/3近三年萬有引力高考試題(2001年全國)31. (28分)太陽現(xiàn)正處于主序星演化階段。它主要是由電子和1H、2He等原子核組成。維持太陽輻射的是它內(nèi)部的核聚變反應(yīng)，核反應(yīng)方程是2e+41HT2He十釋放的核能，這些核能最后轉(zhuǎn)化為輻射能。根據(jù)目前關(guān)于恒星演化的理論，若由于聚變反應(yīng)而使太陽中的；H核數(shù)目從現(xiàn)有數(shù)減少10%,太陽將離開主序星階段而轉(zhuǎn)入紅巨星的演化階段。為了簡化，假定目前太陽全部由電子和；H核組

14、成。(1)為了研究太陽演化進程，需知道目前太陽的質(zhì)量 M已知地球半 徑R= 6.4X106 m,地球質(zhì)量m= 6.0Xl024 kg,日地中心的距離r = 1.5 X1011 m,地球表面處的重力加速度 g=10 m/s2 , 1年約為3.2X107秒，試估算 目前太陽的質(zhì)量M(2)已知質(zhì)子質(zhì)量 mp= 1.6726 X 10 27 kg , 2He質(zhì)量 na = 6.6458 X 1027 kg,電子質(zhì)量 m=0.9xi030 kg,光速c = 3xi08 m/s。求每發(fā)生一次題 中所述的核聚變反應(yīng)所釋放的核能。(3)又知地球上與太陽垂直的每平方米截面上，每秒通過的太陽輻射 能w= 1.35

15、 X 103 W/m0試估算太陽繼續(xù)保持在主序星階段還有多少年的壽命。（估算結(jié)果只要求一位有效數(shù)字。）參考解答（1）估算太陽的質(zhì)量M設(shè)T為地球繞日心運動的周期，則由萬有引力定律和牛頓定律可知mM2二 2G =m（） r rT地球表面處的重力加速度-mg 二gr3M = m（）2 -2-T R2g以題給數(shù)值代入，得 M= 2 x 1030 kg（2）根據(jù)質(zhì)量虧損和質(zhì)能公式，該核反應(yīng)每發(fā)生一次釋放的核能為2q E=（4m+2mmi） c代入數(shù)值，得 E= 4,2 X10 12 J（3）根據(jù)題給假設(shè)，在太陽繼續(xù)保持在主序星階段的時間內(nèi)，發(fā)生題中所述的核聚變反應(yīng)的次數(shù)為N10%4mp因此，太陽總共輻射

16、出的能量為E= N E設(shè)太陽輻射是各向同性的，則每秒內(nèi)太陽向外放出的輻射能為 £ = 4 幾 r 2w所以太陽繼續(xù)保持在主星序的時間為Et 二 一由以上各式解得20.1M (4mp 2me - m:.)c，一 24m 4 r w p以題給數(shù)據(jù)代入，并以年為單位，可得t =1X101°年=1百億年評分標準：本題28分，其中第（1）問14分，第（2）問7分，第（3）問 7分。第（1）問中 、兩式各3分，式4分，得出式4分；第（2）問中式4分，式3分；第（3）問中、兩式各2分，式2分，式1分。（2003年全國）24. （15分）中子星是恒星演化過程的一種可能結(jié)果，它的密度很大。現(xiàn)

17、有一中子星，它的自轉(zhuǎn)周期為T=-so同該中子星的最30小密度應(yīng)是多少才難維持該星體的穩(wěn)致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計算時星體可視 為均勻球體。（引力常數(shù)G毛.67 x 10Tn3/）參考解答：24.考慮中子是赤道外一塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬有引力大于或等于它隨 星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設(shè)中子星的密度為P,質(zhì)量為M ,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為6 ,位于赤道處的小塊物為m,則有GM2m =m2R M=4nR2P 由以上各式得R2T3P= 耳 代入數(shù)據(jù)解得P = 1.27M 1034kg.GT2（2003江蘇）14. （12分）據(jù)美聯(lián)社2002年10月7日報道，天文學(xué)家在太 陽系的9大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星， 而且還測 得它繞太陽公