2005線性代數(shù)考研題

1、一、填空題：（1）設(shè)均為3維列向量，記矩陣 ， 如果，那么 2 .【解】 由題設(shè)，有 =，于是有 （2）設(shè)行向量組，線性相關(guān)，且，則a= .【解】 由題設(shè)，有 , 得，但題設(shè)，故二、選擇題：（1）設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個相等的正數(shù)，則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . 【解】 由及，有，其中為的代數(shù)余子式，且或 而，于是，且 （2）設(shè)是矩陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，則，線性無關(guān)的充分必要條件是(A) . (B) . (C) . (D) . 【解】 實際上是考慮，當(dāng)線性無關(guān)時，向量組，何時線性無關(guān)的問題。由結(jié)論知，當(dāng)行列式

2、時，向量組線性無關(guān)。（3）設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第2列得.(D) 交換的第1行與第2行得. 【解】 由題設(shè)，存在初等矩陣（交換n階單位矩陣的第1行與第2行所得），使得 ，于是 ，即 ,可見應(yīng)選(C).注意：結(jié)論.（4）設(shè)A,B,C均為n階矩陣，E為n階單位矩陣，若B=E+AB,C=A+CA，則B-C為(A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A 【解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可見，E-A

3、與B 互為逆矩陣，于是有 B(E-A)=E.從而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 應(yīng)選(A).三、計算題（1）（本題滿分9分）已知二次型的秩為2.（I） 求a的值；（II） 求正交變換，把化成標準形；（III） 求方程=0的解.【解】 （I） 二次型對應(yīng)矩陣為 ，由二次型的秩為2，知 ，得a=0.（II） 這里， 可求出其特征值為.解 ，得特征向量為：，解 ，得特征向量為：由于已經(jīng)正交，直接將，單位化，得：令，即為所求的正交變換矩陣，由x=Qy，可化原二次型為標準形：=（III） 由=0，得（k為任意常數(shù)）.從而所求解為：x=Qy=，其中c為任意常數(shù).（2）（

4、本題滿分9分）已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.【解】 由AB=O知，B的每一列均為Ax=0的解，且（1）若k, 則r(B)=2, 于是r(A), 顯然r(A), 故r(A)=1. 可見此時Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為3-r(A)=2, 矩陣B的第一、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0 的通解為：為任意常數(shù).(2) 若k=9，則r(B)=1, 從而1） 若r(A)=2, 則Ax=0的通解為：為任意常數(shù).2） 若r(A)=1,則Ax=0 的同解方程組為：,不妨設(shè),則其通解為 為任意常數(shù).（3）（本題滿分13分）已知齊次

5、線性方程組 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.【解】 法一、方程組（ii）的未知量個數(shù)大于方程個數(shù)，故方程組方程組（ii）有無窮多解.因為方程組（i）與（ii）同解，所以方程組（i）的系數(shù)矩陣的秩小于3.對方程組（i）的系數(shù)矩陣施以初等行變換 ，從而a=2. 此時，方程組（i）的系數(shù)矩陣可化為 ，故是方程組（i）的一個基礎(chǔ)解系.將代入方程組（ii）可得 或當(dāng)時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時方程組（i）與（ii）同解.當(dāng)時，對方程組（ii）的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有 ，顯然此時方程組（i）與（ii）的解不相同. 綜上所述，當(dāng)a=2,b=1,c=2時，方程

6、組（i）與（ii）同解.法二、求a也可利用行列式，得a=2.本題也可這樣考慮：方程組必存在無窮多解，化系數(shù)矩陣為階梯形，可確定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再對兩組數(shù)據(jù)進行討論即可.（4）（本題滿分13分）設(shè)為正定矩陣，其中A,B分別為m階，n階對稱矩陣，C為矩陣.(I) 計算，其中；（II）利用(I)的結(jié)果判斷矩陣是否為正定矩陣，并證明你的結(jié)論.【解】 (I) 因 ，有 = = =.（II）矩陣是正定矩陣.由(I)的結(jié)果可知，矩陣D合同于矩陣又D為正定矩陣，可知矩陣M為正定矩陣.因矩陣M為對稱矩陣，故為對稱矩陣. 對及任意的，有 故為正定矩陣.【評注】 判定正定矩陣的典型方法有：（1）用順序主子式全大于0；（2）用特征值全大于零；（3）用定義. 對于抽象矩陣，一般用后兩個方法.（5）（本題滿分13分）設(shè)A為三階矩陣，是線性無關(guān)的三維列向量，且滿足，.(I) 求矩陣B, 使得；（II）求矩陣A的特征值；（III）求可逆矩陣P, 使得為對角矩陣.【解】 (I) ,可知 （II）因為是線性無關(guān)的三維列向量，可知矩陣可逆，所以，即矩陣A與B相似，由此可得矩陣A與B有相同的特征值.由 ，得矩陣B的