三角形重心性質(zhì)定理

1、三角形重心性質(zhì)定理1、配方法：所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其 中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次暮的和形式。通過(guò)配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方 法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等 方面都經(jīng)常用到它。2、因式分解法：因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積 的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一 種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等的解題中起著重要的作用。因式 分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分

2、組 分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待 定系數(shù)等等。3、換元法：換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解 題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比 較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的 式子，使它簡(jiǎn)化，使問(wèn)題易于解決。4、判別式法與韋達(dá)定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c C R, a0）根的判別式 =b2-4ac,不僅用來(lái)判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程（組），解不等式，研究函數(shù)乃至解析幾 何、三角函數(shù)運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根

3、；已知兩個(gè)數(shù) 的和與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱函數(shù)，計(jì)論二 次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問(wèn)題等， 都有非常廣泛的應(yīng)用。5、待定系數(shù)法：在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種 確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待 定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某 種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué) 數(shù)學(xué)中常用的重要方法之一。6、構(gòu)造法：在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件 和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程（組）、個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起

4、一座連接條件和結(jié)論的橋梁, 從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu) 造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于 問(wèn)題的解決。7、反證法：反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分 為歸謬反證法（結(jié)論的反面只有一種）與窮舉反證法（結(jié)論的反面不只一 種）。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬;（3）結(jié)論反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是 /不是；

5、存在/不存在；平行于/ 不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（?。┯?； 都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有（n 1）個(gè); 至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一 /至少有兩個(gè)。歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出 的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、 公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。8、等（面或體）積法：平面（立體）幾何中講的面積（體積）公式以及 由面積（體積）公式推出的與面積（體積）計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用 于計(jì)算面積（體積），而且用它來(lái)證明（

6、計(jì)算）幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積（體積）關(guān)系來(lái)證明或計(jì)算幾何題的方法，稱為等 （面 或體）積法，它是幾何中的一種常用方法。用歸納法或分析法證明幾何題，其困難在添置輔助線。等（面或體）積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積 （體積）公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算 達(dá)到求證的結(jié)果。所以用等（面或體）積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間關(guān) 系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需 要添置輔助線，也很容易考慮到。9、幾何變換法：在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜 性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問(wèn)題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元 素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。 中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及

7、的變換主要是 初等變換。有一些看來(lái)很難甚至于無(wú)法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換 法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù) 學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來(lái)， 有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱。10.客觀性題的解題方法：選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類題型。 選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活,可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容 量和知識(shí)覆蓋面。填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析

8、判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了 具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技 巧。下面通過(guò)實(shí)例介紹常用方法。(1)直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、 定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題 方法，這種解法叫直接推演法。(2)驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過(guò)驗(yàn)證，找出正確 答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱 為驗(yàn)證法(也稱代入法)。當(dāng)遇到定量命題時(shí)，常用此法。(3)特殊元素法：用合適的特殊元素(如數(shù)或圖形)代入題

9、設(shè)條件或 結(jié)論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。(4)排除、篩選法：對(duì)于正確答案有且只有一個(gè)的選擇題，根據(jù)數(shù) 學(xué)知識(shí)或推理、演算，把不正確的結(jié)論排除，余下的結(jié)論再經(jīng)篩選，從而作出正確的結(jié)論的解法叫排除、篩選法。（5）圖解法：借助于符合題設(shè)條件的圖形或圖象的性質(zhì)、特點(diǎn)來(lái)判 斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。（6）分析法：直接通過(guò)對(duì)選擇題的條件和結(jié)論，作詳盡的分析、歸 納和判斷，從而選出正確的結(jié)果，稱為分析法。湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬1 .三角形重心性質(zhì)定理課本原題（人教八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)習(xí)題19.2第16題）在ABC中，BQ CE是邊AC AB上的中線，BD與CE

10、相交于 Q BO與OD的長(zhǎng)度有什么 關(guān)系？ BC邊上的中線是否一定過(guò)點(diǎn)O?為什么？（提示：作 BO中點(diǎn) M CO的中點(diǎn)No連接EQ EM MN ND分析：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心（第十九章課題學(xué)習(xí)重心）。這道習(xí)題要證明的結(jié)論是三角形重心的一個(gè)重要數(shù)學(xué)性質(zhì)：三角形的重心將三角形的每條中線都分成1 : 2兩部分，其中重心到三角形某一頂點(diǎn)的距離是到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。證法1:（根據(jù)課本上的提示證明）取GA GB中點(diǎn)ML N,連接MN ND DE EM （如圖1）B MN GAB的中位線，MN/ AB, MN= AB2又 ED是 ACB的中位線，DE/ AR DE=1 ABDE/ MN

11、 DE=MN四邊形 MNDE平行四邊形 .GM=GD又 AM=MG則 AG=2GD同理可證：CG=2GF BG=2GE點(diǎn)評(píng)：證法1是利用中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線，從而得到平行四邊形，再利用平行四邊形性質(zhì)得到中線上三個(gè)線段之間的相等關(guān)系。證法2:延長(zhǎng)BE至F,使GF=GB連接FCAG是BF的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn).GD4BFC的中位線，GD/ FC, GD=2 FC由 GD/ FC, AE=CE 易證4 AE CEF1 . AG=FC 即 GD_ AG點(diǎn)評(píng)：利用線段中點(diǎn)，還可以將與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段倍長(zhǎng)，構(gòu)造全等， 從而利用全等 三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)證明結(jié)論。證法3:取EC中點(diǎn)M,連DM利

12、用平行線分線段成比例及 E是AC中點(diǎn)可證得相同的結(jié) 論。（證明過(guò)程略）2.三角形重心性質(zhì)定理的應(yīng)用求線段長(zhǎng)例1 如圖3所示，在RtABC中，/ A=30 ,點(diǎn)D是斜邊 AB的中點(diǎn)，當(dāng)G是RtAABC 的重心，GEL AC于點(diǎn)E,若BC=6cm則GE= cm=解：RtABC中，Z A=30 , BC=6，AB=BC=122D是斜邊 AB的中點(diǎn)，CD=2AB=62G是 RtABC的重心，CG=3 CD=4由 CD=AD / A=30 , / GCE=301RtAGCE, / GCE=30 , CG=4，GE=2 CG=2(cm)求面積例2 在4ABC中，中線 AD. BE相交于點(diǎn) 0,若 BOD勺

13、面積等于5,求 ABC的面積。B解：:。是 ABC的重心， .AO： OD=2： 1Sa aob： S-OF2 ： 1 即 Saao=2 S abo=10二 SaabeF S aob+ S30=10+5=15又AD是 ABC的中線Saabc=2 S abi=30。練習(xí)：1.如圖5, 4ABC中，AD是BC邊上的中線,G是重心，如果AG=6那么線段DG=。2.如圖6,在 ABC中，G是重心，點(diǎn) D是BC的中點(diǎn)，若 ABC的面積為6cR,則 CGD 的面積為。倍角三角形中的一個(gè)結(jié)論湖北省黃石市下陸中學(xué)宋毓彬例1 (天津市中考題)在ABC中，/A、/B、/C所對(duì)應(yīng)的邊分別用a、b、c表示。如圖 1,

14、在 ABC中，/ A=2/B,且/ A=60 。求證：a2=b (b+c)如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍，我們稱這樣的三角形為 “倍角三角形”。本題第一問(wèn)中的三角形是一個(gè)特殊的倍角三角形，那么對(duì)于任意的倍角ABC如圖2, / A=2/ B,關(guān)系式a2=b (b+c)是否仍然成立？并證明你的結(jié)論。圖1圖2分析：在 ABC43, / A=2/ B,且 / A=60 , ABC為 RtA, / C=90 。. 1證法 1: RtACB中 a= 2 c, b= 2 c,J3 3 a113 2c一 一一c所以 a2=(2c)2= 4,b(b+c)= 2 c ( 2c+c)= 4,所以 a2

15、=b (b+c)。對(duì)于任意的倍角 ABC /A=2/B,關(guān)系式a2=b (b+c)仍然成立。 如圖2,延長(zhǎng) BA至D,使AD=AC=b連CD貝叱 CAB=2 D,，/B=/ D, BC=CD=aAD _ CD b_ a由AD/ CDB CD 必，即曲 。所以 a2=b (b+c)。由以上的證明，可以得到關(guān)于倍角三角形的一個(gè)結(jié)論：一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于另一個(gè)角的兩倍，2倍角所對(duì)邊的平方等于一倍角所對(duì)邊乘該邊與第三邊的和。(例2中另外兩種證法同樣可證得a2=b (b+c)。)例2(2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在 ABC中，最大角/ A是最小角/ C的2倍，且AB=7, AC=& 則 BC=()(

16、A) 7 拒(B) 10 (C) 7105 (D) 7 .J分析：此題由例1中的結(jié)論，則 BC2=7 (7+8) =105,所以BC=J105。以下還可以提供幾種解法供參考。解法一：分割法。如圖1,作/ CAB的平分線 AD交BC于 D圖】7 8 x+y ABS DBA 尸=X = 7,r X 8“提畫(huà)5,= 1 -1y 7，* _ 7 .= 49,解得尸石丫x+y= 7105。評(píng)析：解法一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構(gòu)造相似三角形，通過(guò)相似比得到方程組 求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出 BC的長(zhǎng)。但這種方法中，二元二次方程組的計(jì)算較為復(fù)雜。解法二：構(gòu)造法。如圖2,延長(zhǎng) CA至點(diǎn)D,使AD=AB貝U / D=Z ABD=2 / CAB= C,SO CD CBD DAB AB =BD ,. .Bj=AB- CD=7 (8+7) =105, BD=