不等式恒成問題

1、九招破解不等式恒成立問題綿陽東辰國(guó)際學(xué)校冷世平不等式恒成立問題求解的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用 構(gòu)造函數(shù)法、變量分離法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法求解.解題過程本身滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起 到了重要的作用，因此也成為歷年各地高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容.解決恒成立問題主要有以下幾種方法，供各位同行參考. 一、反客為主法此方法又稱為改變主元法.有一些數(shù)學(xué)題，題中涉及到若干個(gè)量，其中有常量，也有變量，學(xué)生 在解答時(shí)，由于思維定勢(shì)，不太習(xí)慣把其中的常量暫視為變量，把其中的變量暫視為常量的做法，

2、 結(jié)果導(dǎo)致求解過程異常復(fù)雜甚至難以解出.其實(shí)，常量與變量是相對(duì)的，是辯證統(tǒng)一的關(guān)系，根據(jù)需要可以將它們的地位調(diào)換，即“反客為主”，改變主元，常常使許多難題巧妙獲解.例1 對(duì)于?黃足p 2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式x2 px 1 p 2x恒成立的x的取值范圍.【分析】在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及p ,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù).顯然可將p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2,2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.【解析】不等式即 (x 1)p x2 2x 1 0,設(shè)f (p) (x 1)p x2 2x 1,則f (p)在 2,2上2恒大于0,故有，即X X從而解得x 1

3、或x 3.f(2) 0 x2 1 0【點(diǎn)評(píng)】在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：x及p,而我們都習(xí)慣把x看成是一個(gè)變量，p作為常數(shù).本題轉(zhuǎn)換視角，可將 p視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在2,2內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題.此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是一條線段，故只需保證該線段兩 端點(diǎn)均在x軸上方(或下方)即可.【總結(jié)】給定一次函數(shù)f (x) ax b(a 0),若y f (x)在m,n內(nèi)恒有f(x) 0 ,則根據(jù)函數(shù)的圖a 0a 0f (m) 0象(直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于或，亦可合并成 ()；同理，若在m,nf (m) 0 f (n) 0f (n) 0內(nèi)恒有f (x) 0

4、,則有f(m) 0. f(n) 0二、單調(diào)性法利用函數(shù)單調(diào)性解題是歷年高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).如何攻克這個(gè)難點(diǎn)呢？一個(gè)詞：去殼.利用函數(shù)單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵就是：準(zhǔn)確判斷出函數(shù)單調(diào)性，成功去掉f這層外殼，把關(guān)于因變量之間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量之間的不等關(guān)系，然后解關(guān)于x的簡(jiǎn)單不等式即可.例2 定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，且當(dāng)0- 時(shí)，有2 _2f (cos 2msin ) f( 2m 2) 0恒成立，求頭數(shù) m的取值氾圍.【解析】由 f(cos22msin ) f ( 2m 2) 0得到 f (cos22msin ) f ( 2m 2),因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，故有 f (co

5、s22msin ) f (2m 2)恒成立，又因?yàn)閒 (x)為R減函數(shù)，從而有cos2 2msin 2m 2對(duì) 0,一 恒成立，設(shè) sin t,t (0,1),則 t2 2mt 2m 1 0對(duì)于2t (0,1)恒成立，再設(shè)函數(shù) g(t) t2 2mt 2m 1,對(duì)稱軸為t m.當(dāng)tm 0,0；m 0時(shí)，函數(shù)y1 2m 1 0 ,即 m ,又 2當(dāng) t m 0,1 ,即 0 m 1 時(shí)，g(t)min g(t)m22m 1 0,即m2 2m 1 0, 1 乏 m 1 亞又 m 0,1 , 0 m 1；當(dāng)t m 1時(shí)，函數(shù)y g(t)在t (0,1)上單調(diào)遞增，g(t)min g(1) 1 2m

6、2m 1 2 0恒成立，m 1.1綜上所述，實(shí)數(shù) m的取值范圍為m 1.2【點(diǎn)評(píng)】此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)的軸動(dòng)區(qū)間定的問題，對(duì)軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論.對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問題常采用判別式法，而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為 求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題.三、變量分離法若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且 容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值 問題求解.x2 2x a例3已知函數(shù)f(x) ,x 1,)，若對(duì)任意x 1,), f(x) 0恒成立，試求實(shí)數(shù)ax的取值范圍.【分析】此題可

7、經(jīng)過等價(jià)轉(zhuǎn)化為在區(qū)間1,)上x2 2x a 0恒成立，再將轉(zhuǎn)化后的不等式分離參數(shù)得g(a) h(x)恒成立，再求得h(x)得最大值hmax(x),由g(a) h(x)max可得實(shí)數(shù)a的取值范 圍.【解析】在區(qū)間1,)上，f(x) 0恒成立x2 2x a2x(x例32x a 0恒成立，只需1)2 1 3,故只需a已知二次函數(shù)f(x)a3, ax222x 2x (x 1)1恒成立，故所示實(shí)數(shù)a的取值范圍為ax(a值范圍.【解析】當(dāng)x0時(shí),有f (0)0時(shí),2ax2r ax1,即 2axt (1,，即當(dāng)t(1,a時(shí)恒有a0在區(qū)間1,)上恒成立，要使 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得R,a 0),若 x 0,1時(shí)

8、,1恒成立;1-,分離參數(shù)可得1t2t ,2。當(dāng) t (1,(t2 t)3.總有f(x)1，試求實(shí)數(shù)a的取1F x目x1x-) x令 xt,Qx (0,1,時(shí)，(t2 t)min0, (t2t) max 2 ，,又因?yàn)閍 0 ,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,0).2【點(diǎn)評(píng)】將所求變量與其他變量分離開，通過研究式中另外一個(gè)變量的已知范圍來確定所求變量的范圍.若所求變量為a ,則根據(jù)a f(x)恒成立 a f (x)max ； a f(x)恒成立 a f (x) min. 此題一般性解法是利用根的分布對(duì)1 ax2 x 1進(jìn)行討論，其解題過程復(fù)雜性顯而易見， 而將參數(shù)從恒成立不等式中分離出來，可以避免較為

9、復(fù)雜的討論例4 已知當(dāng)x R時(shí)，不等式a cos2x 5 4sin x J5a 4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析】在不等式中含有兩個(gè)變量a及x,其中x的范圍已知，另一變量 a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離.【解析】原不等式等價(jià)于4sin x cos2x V5a_4 5 a,要使上式恒成立，只需J504 5 a 大于4sin x cos2x的最大值，故上述問題轉(zhuǎn)化成求 f(x) 4sin x cos2x的最值問題.Q 4sin x cos2x 2sin2 x 4sin x 1 2(sin x 1)2 3 3, 05a 4 5 a 3,即a 2 0a 2 04J5a 4 a 2,上式等價(jià)

10、于5a 4 0 或，解得a 8. 5a 4 055a 4 (a 2)2【點(diǎn)評(píng)】注意到題目中出現(xiàn)了 sinx及cos2x,而cos2x 1 2sin2 x ,故若把sin x換元成t,則可 把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型.【總結(jié)】含參數(shù)不等式分離后的形式因題、因分法而異，因此解決含參數(shù)不等式恒成立的問題需把握住以下一般性結(jié)論： f(x)g(a)恒成立fmax (x)g(a)； f (x)g(a)恒成立fmax(x)g(a)； f(x)g(a)恒成立fmin (x)g(a)； f(x)g(a)恒成立fmin (x)g(a).四、數(shù)形結(jié)合法某些含參不等式恒成立問題，我們?cè)诮忸}過程中，可以把不等

11、式進(jìn)行合理的變形后，將不等式兩端的式子分別看作兩個(gè)函數(shù)，且正確作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象(特別是交點(diǎn)時(shí)) 的位置關(guān)系，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，以達(dá)到求解的目的例5 設(shè)x 0,4,若不等式'x(4x) ax恒成立，求a的取值范圍.【解析】設(shè)y1Jx(4x),則(x2)2y124(y1Q),它表示的是以(2,0)為圓心，2為半徑的上半圓(如圖所示)，設(shè)y2 ax,它的幾何意義是一條經(jīng)過原點(diǎn)，斜率為 a的直線，將兩者圖像畫在同一坐標(biāo)系下，根據(jù)不等式7x(4 x) ax的幾何意義，要使得半圓恒在直線l的上方(包括相交)，當(dāng)且僅當(dāng)a 0時(shí)才成立，所以a的取值范圍就是a 0.【點(diǎn)評(píng)】此題

12、還可以利用變量分離法求解，略解如下：當(dāng)x 0時(shí)，不等式顯示恒成立；當(dāng)x 0,4時(shí)，不等式7x(4x)ax恒成立等價(jià)于4 1a恒成立，令y 4 1 ,顯然函數(shù)yJ-1在xx, x區(qū)間0,4上是單調(diào)遞減函數(shù)，故 ymin J! 1 0,故a的取值范圍就是a 0.例6 當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2 logax恒成立，求a的取值范圍.【分析】若將不等號(hào)兩邊分別設(shè)成兩個(gè)函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為常見 的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，故可以通過圖象求解.【解析】設(shè)y1 (x 1)2, y2 loga x,則y的圖象為如圖所示的拋物線，要使對(duì)一切x (1,2), y1 loga 2 a 1y2

13、恒成立，顯然 a1,從而可得1 a1,并且必須也只需當(dāng)x 2時(shí)y2的函數(shù)值大于等于 y1的函數(shù)值.故2.【點(diǎn)評(píng)】我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難 入彳；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合包括兩個(gè)方面：第一種情形是以數(shù)解形”，而第二種情形是 以形助數(shù)”.本題是數(shù)形結(jié)合思想中的“形”中覓“數(shù)”，“數(shù)”上構(gòu)“形”的充分體現(xiàn)， 由表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征，能讓我們聯(lián)系到用其幾何意義去處理五、構(gòu)造向量法向量是數(shù)形結(jié)合的重要工具，對(duì)于形式、結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的不等式恒成立問題，可以巧妙的構(gòu)造 向量，使數(shù)學(xué)問題增添新的活力且簡(jiǎn)單易解.例7【分析】之間的關(guān)系若不等式Jx2

14、 5 Jx2 2&10 a對(duì)于任意的 w由題目的結(jié)構(gòu)形式可聯(lián)想到平面向量，于是令mivvivvmnmn5,求得實(shí)數(shù)a的取值范圍x R，q成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(x, V5), n (J5 x, 75),由向量的模ivm【解析】令 u Jx25 Jx2 2& 10Jx2 5電 x)25,* (x,75), v (石x,75),v (后2 對(duì)，ml,v j(芯x)2 5,m v 5, u&二 4 2疝10 |ivvw vm n 5故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a 5.【總結(jié)】本題還可以根據(jù)結(jié)構(gòu)聯(lián)想到兩點(diǎn)間的距離公式，將不等式左邊看作函數(shù)yJx25Jx22“15x10J(x0)2(0

15、75?J(x)2(0人)2,所求問題轉(zhuǎn)化為平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) A(x,0)到兩定點(diǎn)B(0,#),C(押,J5)的距離之和的最小值，易求出點(diǎn) B關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱的點(diǎn)B'(0,非),顯然B'C 5即為所求，故實(shí)數(shù) a的取值范圍是a 5.六、構(gòu)造函數(shù)法根據(jù)題目中所給的含參不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，并利用函數(shù)的性質(zhì)來求參數(shù)的范 圍.例8 若函數(shù) f(x) J(a2 1)x2 (a 1)x【分析】該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)(a2 1)x2 次項(xiàng)系數(shù)的討論.【解析】依題意，當(dāng) x R時(shí)，(a2 1)x2當(dāng)a2 1 0時(shí)，有, 1 0,解得aa 1 02a2 1 0當(dāng)a2 1 0時(shí)，22(a 1

16、)2 4(a2 1綜上所述，f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)2 七、集合思想法的定義域?yàn)镽 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.a 12 、，一、一.(a 1)x 0在R上恒成立問題，并且注意對(duì)二 a 12 一(a 1)x 0恒成立，a 12221 ，此時(shí)(a2 1)x2 (a 1)x 1 0, a 1 a 1a2 12 ，即有 0 a，解得1 a 9;0 a2 10a 9 0a 1的取值范圍為1,9.集合是高中數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終，其中所包含的子集思想和補(bǔ)集思想 在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用十分廣泛，在不等式恒成立問題中巧妙利用這兩種解題思想，能達(dá)到意想不 到的效果.一一一 5. o 例9 已知x

17、 - a時(shí)，不等式x 5 4恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍2【分析】若記x 5 a的解集是A, x2 5 4的解集是B,則x 5 a成立時(shí)x2 5 4成立, 22則應(yīng)有A B ,根據(jù)子集的知識(shí)可求得a的取值范圍 ,55521或1 x 3 .記5a a 3,從 2【斛析】由 x a,可得一2* 2,由*5 4 ,可得 3 x22255555A(a,-a),B ( 3, 1) (1,3),則 A B, 3-a-a 1或 1222221 而解得0a一.2【點(diǎn)評(píng)】不等式在集合 A中恒成立等價(jià)于集合A是不等式解集B的子集，通過研究集合間的關(guān)系便可求出參數(shù)的取值范圍 八、絕對(duì)值幾何意義法在不等式中，常會(huì)遇到

18、含有絕對(duì)值的不等式求解問題，處理這類問題的關(guān)鍵在于如何去掉絕對(duì) 值符號(hào)，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的常規(guī)問題來解決，這是解含絕對(duì)值不等式問題的一般解法，下面來探求這類問題的另一種解法-利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義來求解.例10 x R時(shí)，關(guān)于x的不等式x 1 x 3 a恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.【分析】由|x 1 |x 3 a恒成立，即x 1 |x 3的最小值大于a,再由絕對(duì)值得幾何意義 知|x 1 |x 3的最小值是4,故可求得a的取值范圍.【解析】|x 1 |x 3 a恒成立，即|x 1 |x 3的最小值大于a,又x 1 |x 3表示數(shù)軸 上點(diǎn)x到兩點(diǎn)1和3的距離之和，當(dāng) 3 x 1時(shí)，這個(gè)距離和最小且等于 4,故實(shí)數(shù)a的取值范圍 是a 4.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一些絕對(duì)值內(nèi)為關(guān)于x的一次式的不等式，我們?？梢愿鶕?jù)絕對(duì)值的基本性質(zhì)，采用等價(jià)轉(zhuǎn)化法或零點(diǎn)分段脫去絕對(duì)值符號(hào)，將問題轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的常規(guī)問題來求解，另 外也可以根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合的方法直觀、快速、準(zhǔn)確地求解這類含有絕對(duì)值的不等 式.九、三角代換法根據(jù)題目的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)娜谴鷵Q，能達(dá)到化難為易，