瓦爾拉斯一般均衡的穩(wěn)定性

1、完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡問題完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)廠商行為的研究中通常是作為基準(zhǔn)模型（benchmark model）而存在的。這一模型的數(shù)學(xué)表達(dá)主要涉及無約束極值的求解。對(duì)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的界定通常由以下幾個(gè)要點(diǎn)來完成：市場(chǎng)存在著大量的買者和賣者，都作為價(jià)格的接受者存在；長(zhǎng)期范圍內(nèi)，新的廠商可以無任何障礙地自由進(jìn)入市場(chǎng)；產(chǎn)品同質(zhì)，即所有廠商生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)化的產(chǎn)品；消費(fèi)者和生產(chǎn)者都擁有完全信息。本節(jié)主要通過求解無約束極值來分別討論短期和長(zhǎng)期內(nèi)完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的均衡問題。問題主要集中在對(duì)廠商產(chǎn)出利潤(rùn)最大化的求解，以及這些產(chǎn)出如何隨市場(chǎng)價(jià)格的變化而變化。價(jià)格與單個(gè)廠商之間的關(guān)系通常被定義為其想象的供給函數(shù)（pe

2、rceived supply function）。然后在廠商個(gè)別均衡行為的基礎(chǔ)上考察市場(chǎng)總供給與價(jià)格的關(guān)系。4.3.1 短期情形短期內(nèi)廠商生產(chǎn)函數(shù)中的資本投入固定、勞動(dòng)投入可變，則可以認(rèn)為廠商的成本中有一部分為固定成本，這個(gè)固定成本即為資本投入，它不隨產(chǎn)量的變化而變化，剩下的則是可變成本，隨著產(chǎn)量的變化而變化。這時(shí)可以令廠商短期的成本函數(shù)為CF+C0(Q0)，其中CF為固定成本，C0(Q0)為隨短期產(chǎn)量Q0變化的可變成本。在完全競(jìng)爭(zhēng)情況下，廠商只能接受不變的市場(chǎng)價(jià)格P，其產(chǎn)出不能影響市場(chǎng)價(jià)格。廠商的總收益函數(shù)為R0=PQ0，因此廠商的利潤(rùn)函數(shù)為p(Q0)=R(Q0)-C0(Q0)-CF（4.3

3、.1）根據(jù)無約束最優(yōu)化原理，最大化利潤(rùn)產(chǎn)量Q0*要滿足 一階條件：*p¢(Q0)=R¢(Q0*)-C0¢(Q0*)=P-C0¢(Q0*)=0（4.3.2）二階條件：*p¢¢(Q0)=-C0¢¢(Q0*)<0（4.3.3）*在Q0>0的情況下，一階條件（4.3.2）表明短期邊際成本（SRMC）要等于P（邊*際收益），二階條件（4.3.3）則要求在Q0處SRMC增加。如圖4.3.1，（I）中描繪了總收益、成本和利潤(rùn)函數(shù)；（II）中描繪的是邊際成本和平均成本函數(shù)。其中對(duì)應(yīng)給定價(jià)格P的橫線是需求曲線，反映出廠商

4、關(guān)于其產(chǎn)出變動(dòng)不會(huì)影響市場(chǎng)價(jià)格的看法，同時(shí)它又是廠商的邊際收益。因?yàn)樵诂F(xiàn)存的產(chǎn)量下，更多的產(chǎn)出可以以相同的價(jià)格出售，所以總收益曲線的斜率，即收益隨產(chǎn)出變化的比率，也就是邊際收益不變。處也能滿足，但此時(shí)廠商利潤(rùn)最小，實(shí)際上必要條件（4.3.2）在圖中的Q0因此需要充分條件（4.3.3）來保證利潤(rùn)達(dá)到極大，下面的分析都假定條件（4.3.3）得到滿足。求解（4.3.2）式，可以得到*¢-1(P)=S0(P)， Q0=C0（4.3.4）*¢-1(P)=C0¢¢(Q0這是廠商的短期供給函數(shù)。由于dC0)>0，所以廠商的產(chǎn)量會(huì)隨市場(chǎng)價(jià)格的提高而增加?，F(xiàn)在假設(shè)廠

5、商的固定成本變?yōu)镕1，如圖4.3.1；此時(shí)廠商的總成本為圖中C1線，它全部位于收益曲線的上方，因此短期內(nèi)利潤(rùn)為負(fù)。那么廠商是否要停產(chǎn)呢？這時(shí)，廠商的目標(biāo)是要保證損失最小化（loss minimizing）。注意到固定成本不*管在任何產(chǎn)出水平都要支付，即p(0)=-CF。因此當(dāng)且僅當(dāng)p(Q0)³p(0)時(shí)，廠*商選擇生產(chǎn)Q0。也就是說，如果*p(Q0)=PQ0*-C0(Q0*)-CF³-CF或P³*C0(Q0)*Q0*=AVC(Q0)，（4.3.5）*則廠商應(yīng)該生產(chǎn)Q0。雖然此時(shí)生產(chǎn)不能帶來正的利潤(rùn)，但是能夠抵消一部分固定成本。如果P<*C0(Q0)*Q0*=

6、AVC(Q0)，（4.3.6）則廠商生產(chǎn)帶來的虧損大于固定成本支出，生產(chǎn)毫無意義。此時(shí)其應(yīng)該選擇的最優(yōu)產(chǎn)量Q0=0，即不生產(chǎn)。成廠商短期內(nèi)平均可變成本的最低點(diǎn)為停產(chǎn)點(diǎn)（shut-down point）。令P0=minAVC，則P0就是停車價(jià)格，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格低于P0時(shí)廠商停產(chǎn)。由此，可知短期內(nèi)廠商的供給函數(shù)為0ìï0, 0£P<PQ0=0(P)=í 0ïîS0(P), P³P（4.3.7）（4.3.7）式同時(shí)反映了廠商的短期均衡?，F(xiàn)在考慮整個(gè)市場(chǎng)情況。設(shè)短期內(nèi)市場(chǎng)里有H個(gè)廠商。各廠商有不同的成本情況，設(shè)第i個(gè)廠商的平均可變

7、成本的最低點(diǎn)為Pi0，生產(chǎn)時(shí)的最優(yōu)產(chǎn)量為*-1¢Q0=Ci0(P)=S0i(P)，則由上面分析知短期內(nèi)廠商的供給函數(shù)為0ìï0, 0£P<PQ0i=0i(P)=í 0SP, P³Pïiî0i()而整個(gè)市場(chǎng)的短期供給函數(shù)則為市場(chǎng)中各廠商短期供給函數(shù)的加總Q0=å0i(P)i=1H（4.3.8）顯然在市場(chǎng)價(jià)格地用于所有廠商的平均可變成本的最點(diǎn)點(diǎn)的情況下，市場(chǎng)總供給等于零。當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格上升時(shí)，會(huì)有越來越多的廠商開始生產(chǎn)，并且產(chǎn)量隨著價(jià)格的提高而提高，這樣市場(chǎng)的總供給也增大。另一方面，對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)而言，需求函

8、數(shù)Q0=D(P)是一條傾斜向下的曲線，綜合考慮兩者就能夠得到短期內(nèi)市場(chǎng)的均衡點(diǎn)。此時(shí)平均成本最低點(diǎn)低于該價(jià)格的廠商能夠獲得超額利潤(rùn)。4.3.2 長(zhǎng)期情形長(zhǎng)期內(nèi)廠商可以綜合考慮生產(chǎn)函數(shù)中資本和勞動(dòng)投入，可以隨意調(diào)整要素投入以實(shí)現(xiàn)最大化利潤(rùn)，此時(shí)與短期情形最大的差別就是沒有固定成本。另一方面，廠商的短期決策中價(jià)格給定不變，而在長(zhǎng)期情況，廠商可以根據(jù)未來預(yù)期價(jià)格決定其投入和產(chǎn)出的計(jì)劃，進(jìn)而做出投資決策。如果幾乎的資本投入大于當(dāng)前現(xiàn)有規(guī)模廠商會(huì)增加其資本投入。令廠商長(zhǎng)期的成本函數(shù)為C1(Q1)，P1是廠商預(yù)期的未來產(chǎn)出價(jià)格，則長(zhǎng)期的利潤(rùn)最大化是要解決maxp(Q1)=R1(Q1)-C(Q1)=PQ11

9、-C(Q1)（4.3.9）令Q1*滿足¢*P1-C1(Q1)=0（4.3.10）-C1¢¢(Q1*)<0（4.3.11）則Q1*為使利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量。長(zhǎng)期產(chǎn)出最大化的必要條件（4.3.10）和充分必要條件（4.3.11）表明長(zhǎng)期內(nèi)利潤(rùn)最大化要求廠商預(yù)期價(jià)格P1等于長(zhǎng)期邊際成本LRMC，同時(shí)在該產(chǎn)量邊際成本的變化率要大于零。由（4.3.10）式求出Q1*關(guān)于P1的表達(dá)式，得到廠商想象的長(zhǎng)期供給函數(shù)¢-1(PQ1*=C11)=S1(P1)（4.3.12）由于在長(zhǎng)期內(nèi)成本都是可變的，則零產(chǎn)出意味著零利潤(rùn)。如果廠商未來預(yù)期價(jià)格P1小于最低平均成本，則任何產(chǎn)

10、出都會(huì)帶來虧損，因此廠商必然選擇零產(chǎn)出。令0*0P1=minLRAC=C1(Q1)1，則P1為廠商長(zhǎng)期停產(chǎn)價(jià)格。廠商想象的供給函數(shù)為1ìï0, 0£P<P0Q1=1(P)=í 1SP, P³Pï0î1()（4.3.13）1圖4.3.2刻畫了這一想象的供給函數(shù)：該函數(shù)是一分段函數(shù)，當(dāng)P³P0時(shí)廠10商的供給函數(shù)為L(zhǎng)RAC線；當(dāng)0£P<P0時(shí)為縱軸，(0,P1)是間斷點(diǎn)。雖然廠商認(rèn)為自己在長(zhǎng)期的供給函數(shù)為（4.3.13）的形式，但是廠商的長(zhǎng)期均衡并不一定會(huì)處在這條曲線上。因?yàn)殚L(zhǎng)期內(nèi)要考慮新廠商進(jìn)入

11、市場(chǎng)的可能，故市場(chǎng)的長(zhǎng)期供給曲線并非各廠商想象的供給曲線的水平加總。為了說明該問題，我們做如下假設(shè)：1) 在一定時(shí)期市場(chǎng)中所有的廠商均擁有相同的成本函數(shù)；2) 新進(jìn)入的廠商與市場(chǎng)中已有廠商有相同的生產(chǎn)數(shù)、面臨同樣的要素價(jià)格，因此他們必然有相同的長(zhǎng)期成本函數(shù)；3) 所有的廠商都有相同的預(yù)期價(jià)格。1如圖4.3.2，如果P1³P0，所有廠商將預(yù)期獲取超額利潤(rùn)。于是新的廠商會(huì)進(jìn)入，這將帶來下一期攻擊的擴(kuò)張，從而導(dǎo)致價(jià)格降低。只要下一期的價(jià)格處在LRAC最低點(diǎn)之上，新廠商就會(huì)不斷進(jìn)入，直到價(jià)格等于其最低長(zhǎng)期平均成本。00反之，價(jià)格P1一旦低于P1，市場(chǎng)中就會(huì)有廠商退出，直到P1=P1。所以市場(chǎng)

12、處于長(zhǎng)期均衡狀態(tài)要求：1) 市場(chǎng)中每個(gè)廠商在相同預(yù)期價(jià)格下開展生產(chǎn)以最大化其利潤(rùn)；2) 在于其價(jià)格水平廠商沒有利潤(rùn)或虧損，因而不會(huì)有進(jìn)入或退出行為；3) 廠商在本期的計(jì)劃和預(yù)期在下一期一定會(huì)實(shí)現(xiàn)。*用P1表示長(zhǎng)期均衡價(jià)格，Q1表示每個(gè)廠商的產(chǎn)出。上述要求（1）意味著*¢*P1=C1(Q1)；（4.3.14）要求（2）意味著*P1=C1(Q1)Q1；（4.3.15）要求（3）意味著*D(P1)=nQ1，（4.3.16）其中D(·)是市場(chǎng)需求函數(shù)，n*是均衡狀態(tài)下廠商的數(shù)量。前兩個(gè)條件意味著每個(gè)廠商的均衡必須處于LRAC曲線的最底端，此時(shí)LRMC=LRAC。由于所有廠商的成本函

13、數(shù)相同，則每個(gè)廠商的產(chǎn)量相同，所以市場(chǎng)的供給是每個(gè)廠商的產(chǎn)出乘上廠商數(shù)量。由此得到條件（3），其決定了了均衡狀態(tài)廠商的數(shù)量。這是由于均衡價(jià)格等于廠商LRAC的最小值、完全由技術(shù)和要素價(jià)格決定，不受市場(chǎng)需求影響。當(dāng)要素價(jià)格給定不變時(shí)，長(zhǎng)期的市場(chǎng)供給曲線是一條水平線，市場(chǎng)需求的變化只改變市場(chǎng)交易量的多寡而不改變長(zhǎng)期均衡價(jià)格。如圖4.3.3，（I）部分是廠商的均衡、（II）為市場(chǎng)均衡。（II）中初始市場(chǎng)需求為D0(P)、市場(chǎng)均衡點(diǎn)在E0。假設(shè)一未被預(yù)期的正需求沖擊使D0(P)右移至D1(P)。短期內(nèi)市場(chǎng)中的廠商為利潤(rùn)最大，將沿著短期供給曲線增加產(chǎn)出，短期均衡價(jià)格上升到P1、大于短期平均成本最小值，廠

14、商能夠獲取短期超額利潤(rùn)。市場(chǎng)供給曲線是市場(chǎng)中所有廠商短期邊際成本線的水平加總。市場(chǎng)中已有廠商和潛在進(jìn)入廠商對(duì)預(yù)期價(jià)格的形成方式將起決定性作用。假定這些廠商都天真地認(rèn)為長(zhǎng)期內(nèi)價(jià)格將一直穩(wěn)定在P1，則已有和新進(jìn)入廠1商都計(jì)劃生產(chǎn)圖4.3.3（I）中的產(chǎn)量Q1，相應(yīng)地會(huì) 增加產(chǎn)量。這樣到下一期，相對(duì)于需求D1(P)將會(huì)有大量的過剩供給，產(chǎn)出價(jià)格將下降，天真的廠商將計(jì)劃減產(chǎn)（對(duì)這種不均衡調(diào)整的過程的分析主要差分方程，不是本節(jié)的重點(diǎn)）。然而由長(zhǎng)期均衡條件（4.3.14）（4.3.16）可知，如果達(dá)到新的均衡，價(jià)格必為P*、*產(chǎn)量必為n1。不管出現(xiàn)何種對(duì)長(zhǎng)期均衡的繞動(dòng)，初始均衡Q1，見圖4.3.3（II）

15、下市場(chǎng)中的任一廠商在市場(chǎng)達(dá)到新的狀態(tài)后仍然提供相同數(shù)量的產(chǎn)出，新增的供給是新進(jìn)入廠商各自生產(chǎn)Q1*單位產(chǎn)出的結(jié)果。如果廠商具有理性預(yù)期，市場(chǎng)需求的變化將推動(dòng)市場(chǎng)直接移至新的長(zhǎng)期均衡點(diǎn)。以上分析基于新進(jìn)入廠商和已有廠商有完全相同的生產(chǎn)函數(shù)以及要素投入價(jià)格在產(chǎn)出增加時(shí)保持不變的假定。放松其中的任一條都將帶來長(zhǎng)期市場(chǎng)供給曲線的改變。仍然假設(shè)新進(jìn)入廠商與已有廠商有相同的生產(chǎn)函數(shù)，但勞動(dòng)價(jià)格工資率歲市場(chǎng)的擴(kuò)張而提高，這意味著每個(gè)廠商的邊際成本、平均成本將上升。長(zhǎng)期均衡條件仍然成立，長(zhǎng)期市場(chǎng)供給曲線將是一系列如圖4.3.4（II）中均衡狀態(tài)的軌跡。在初始狀態(tài)，需求函數(shù)為D0(P)，市場(chǎng)均衡價(jià)格為P0，每個(gè)

16、廠商產(chǎn)出為Q10，市場(chǎng)總產(chǎn)出為n0Q10，n0為市場(chǎng)初始均衡時(shí)廠商數(shù)量。如果市場(chǎng)需求增加至D1(P)，短期內(nèi)產(chǎn)出價(jià)格將沿著短期供給曲線上升，帶來廠商的超額利潤(rùn)。生產(chǎn)能力和長(zhǎng)期產(chǎn)出的增加將提升工資率，從而帶來廠商成本曲線的上移，見圖14.3.4（II）。在價(jià)格為P1、總產(chǎn)出為n1Q1的新長(zhǎng)期均衡狀態(tài)，條件（4.3.14）（4.3.16）再次得到滿足。但是此時(shí)每個(gè)廠商的產(chǎn)量有所下降，因?yàn)槌杀咎岣吡??？傊?，在成本遞增的情況下，市場(chǎng)的長(zhǎng)期供給曲線不再是水平的、而具有正斜率。同理可以說明，在成本遞減的情況下，市場(chǎng)長(zhǎng)期供給曲線的斜率為負(fù)。局部市場(chǎng)均衡的穩(wěn)定性分析局部市場(chǎng)均衡分析實(shí)在假定其他因素不變的前提下

17、，研究一種商品或者單獨(dú)一個(gè)系統(tǒng)的均衡問題。穩(wěn)定性問題是指，若市場(chǎng)或系統(tǒng)處于不平衡狀態(tài)，它是否會(huì)自動(dòng)趨于均衡狀態(tài)呢？或者系統(tǒng)處于均衡狀態(tài)，某種干擾打亂了這種均衡，它還會(huì)回到均衡狀態(tài)？現(xiàn)在我們考察下面的連續(xù)價(jià)格調(diào)整的需求與供給模型：Qd=a+bP， b>0（6.4.1）Qs=c+dP， d<0（6.4.2）dP=a(Qd-Qs)dt，（6.4.3）dP其中需求量Qd，供給量Qs和價(jià)格P都被認(rèn)為是連續(xù)時(shí)間變量。dt表示了價(jià)格隨著時(shí)間的變化速度，Qd-Qs表示了超額需求。因此（6.4.3）式表示價(jià)格隨時(shí)間的變化率與超額需求成正比，a的大小反映了這種價(jià)格反饋的靈敏度。由（6.4.1）（6.4

18、.3）有dP=aéë(a-c)+(b-d)Pùûdt.（6.4.4） dP=0dt該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的均衡點(diǎn)由確定，并且在該點(diǎn)處有均衡價(jià)格為P*=c-ab-d，均衡數(shù)量為Q*=bc-adb-d. 我們現(xiàn)在來討論該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)實(shí)際價(jià)格與均衡價(jià)格之偏差為=P-P*，則有dPdP*=-dtdtdt.由（6.4.4）式有*éù=aéa-c+b-dP-aa-c+b-dP=a(b-d)， ù()()()()ëûëûdt解這個(gè)方程，得到通解為=0a(b-d)t， 其中為常數(shù)，表示t=0時(shí)的初始

19、價(jià)格與均衡價(jià)格的偏差。在利他的假定前提下，商品的供給差越大，價(jià)格越下降，即a<0。因此，這是一個(gè)單調(diào)非震蕩的收斂過程。收斂隨度取決于a(b-d)。也就是說對(duì)于該模型中的正常商品，無論實(shí)際價(jià)格偏離均衡價(jià)格多遠(yuǎn)，當(dāng)t®¥時(shí)，都有P®P*。此時(shí)，P*這一均衡點(diǎn)是穩(wěn)定的并且是唯一的均衡點(diǎn)。從以上討論可以看出，保證系統(tǒng)均衡存在的前提條件是dP=0有解，P=P*dt存在。為了更好的研究穩(wěn)定性問題，我們針對(duì)一般的情形來討論，設(shè)x¢(t)=f(x(t).如果x¢(t)=0，則所則有x(t)=x*f(x)=0存在解x*，為系統(tǒng)的解。我們就稱x*為均衡點(diǎn)或是

20、不動(dòng)點(diǎn)、靜止點(diǎn)。在上述的連續(xù)價(jià)格調(diào)整的需求與供給模型（6.4.1）（6.4.3）中有且只有一個(gè)均衡點(diǎn)。我們現(xiàn)在來考察以下的一個(gè)邏輯增長(zhǎng)方程：x¢(t)=kx(a-x).*由x¢(t)=0解得，x1=0，x2=a。與前述的簡(jiǎn)單連續(xù)供求模型不同，這里出現(xiàn)了兩個(gè)均衡點(diǎn)，即多重均衡問天?，F(xiàn)在，我們來研究上述兩個(gè)均衡點(diǎn)。我們分別畫出x¢(t)的圖形，圖6.4.2是它的相線圖。我們作以下分析。*對(duì)于x1在該點(diǎn)的右側(cè)領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)t®dxdt>0，=0點(diǎn)，=0+¥時(shí)，x會(huì)遠(yuǎn)離x1*點(diǎn)。因此，x1=0點(diǎn)不是一個(gè)吸引點(diǎn)，我們稱該點(diǎn)為排斥點(diǎn)。*對(duì)于x2=a，在該

21、點(diǎn)的左側(cè)領(lǐng)域內(nèi)，dxdt>0，當(dāng)t®+=a¥時(shí)，x會(huì)趨近x2*點(diǎn)。因此，x2=a點(diǎn)是一個(gè)吸引點(diǎn)。均衡點(diǎn)是穩(wěn)定的是指，任意一條從均衡點(diǎn)領(lǐng)域開始的軌跡在未來所有時(shí)間里仍保持在均衡點(diǎn)附近。對(duì)滿足上述定義的這種穩(wěn)定的均衡點(diǎn)，我們也說是漸進(jìn)穩(wěn)定的。同樣，對(duì)任意一個(gè)開始時(shí)靠近均衡點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)t®+¥時(shí)到達(dá)均衡點(diǎn)的軌跡*也是漸進(jìn)穩(wěn)定的。很明顯上述邏輯方程中，x2=a點(diǎn)是一個(gè)漸進(jìn)穩(wěn)定均衡點(diǎn)。*圖6.4.2還顯示了有關(guān)均衡點(diǎn)的另一個(gè)特性。初始點(diǎn)x1=0是一個(gè)排斥點(diǎn)而*x2=a是一個(gè)吸引點(diǎn)。在排斥點(diǎn)x1=0的領(lǐng)域內(nèi)，微分方程有一個(gè)正的斜率。在*吸引點(diǎn)x2=a的領(lǐng)域內(nèi)，微分

22、方程有一個(gè)負(fù)的斜率，這是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的典型特征。也就是說，當(dāng)在均衡點(diǎn)領(lǐng)域的微分方程是正的斜率時(shí)，這個(gè)均衡點(diǎn)就是不穩(wěn)定的；當(dāng)均衡點(diǎn)領(lǐng)域的微分方程是負(fù)的斜率時(shí)，這個(gè)均衡點(diǎn)就是穩(wěn)定的。用dxdx>0，右側(cè)有<0。 數(shù)學(xué)表達(dá)式，即在該均衡點(diǎn)左側(cè)有dtdt在上述邏輯增長(zhǎng)方程x¢(t)=kx(a-x)所描述的系統(tǒng)中，存在兩個(gè)均衡點(diǎn)，這是系統(tǒng)穩(wěn)定還是不穩(wěn)定就必須針對(duì)特定的均衡點(diǎn)而言，因而在多個(gè)均衡點(diǎn)的情形下，我們只能說系統(tǒng)局部穩(wěn)定或局部不穩(wěn)定，即只有在特定均衡點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)才論及系統(tǒng)特性。而完全穩(wěn)定或是完全不穩(wěn)定則只針對(duì)單個(gè)均衡點(diǎn)的系統(tǒng)才有意義。例6.4.1 如果所需的貨幣只用來交易，

23、那么Md=kP(t)Q（6.4.5）這里k是一個(gè)常數(shù)，P是價(jià)格水平，Q是實(shí)際產(chǎn)出。假定貨幣供需平衡，即Ms=Md，并且Ms是由金融機(jī)構(gòu)外生決定的。若通貨膨脹或價(jià)格的變化是和社會(huì)上對(duì)產(chǎn)品的超額需求成正比例的，又根據(jù)Walras定理，對(duì)產(chǎn)品的超額需求等于貨幣的過量供給，那么dP(t)=b(Ms-Md) dt（6.4.6）求實(shí)際產(chǎn)出Q為一個(gè)常數(shù)時(shí)，該系統(tǒng)的平穩(wěn)條件。解 將（6.4.5）代入（6.4.6）得dP(t)=b(Ms-kP(t)Q) dt（6.4.7）dP(t)=0可知均衡價(jià)格為 由dtPe=Ms kQ令=p(t)-Pe.（6.4.8）由線性方程的疊加原理知=-， dt求解這個(gè)方程得到=Ae

24、-bkQt，其中A為任意常數(shù)。因?yàn)閎,k,Q>0，當(dāng)t®¥時(shí)，®0。因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例6.4.2 討論方程dk=f(k)=saka-(n+d)k， n>0，d>0，0<a<1 dt所表示的系統(tǒng)均衡的穩(wěn)定性。解 通過求解f(k)=0可以得到兩個(gè)均衡點(diǎn)，即æsaö*=çk1*=0， k2÷èn+døæ1ö-ç÷èa-1ø首先考察k1*=0.f(k)在點(diǎn)k1*=0處的導(dǎo)數(shù)為limk®0+f(k)-f(0)sak

25、-(n+d)k=lim=liméasaka-1-(n+d)ùëû=+¥ +kkk®0k®0而且limf¢(k)=liméëasakk®0+a-1k®0+-(n+d)ùû=+¥，于是在k1*=0的右側(cè)有dk>0.故k1*=0不是穩(wěn)定的均衡點(diǎn)。 dtæ1ö-ç÷èa-1øæsaö*=ç其次考察k2.f(k)在點(diǎn)k2處有一個(gè)負(fù)的斜率。于是在均衡點(diǎn)k2

26、7;èn+dødkdk*>0，均衡點(diǎn)右側(cè)有<0。故均衡點(diǎn)k2的左側(cè)有是局部穩(wěn)定的。 dtdt對(duì)于系統(tǒng)或市場(chǎng)的局部穩(wěn)定性的分析關(guān)鍵在于求出均衡點(diǎn)，然后運(yùn)用我們所討論的方法來討論它的穩(wěn)定條件。瓦爾拉斯一般均衡的穩(wěn)定性傳統(tǒng)的古典經(jīng)濟(jì)學(xué)中考察產(chǎn)品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)的均衡時(shí)，采用的是部分均衡分析法，即假定每一種商品的價(jià)格都是由該商品的供給曲線和需求曲線決定的，那里分析的對(duì)象是單一市場(chǎng)、單種商品的供需與價(jià)格，其他商品的情況被暗中假設(shè)為不變的。但是經(jīng)濟(jì)體作為一個(gè)整體，其各個(gè)組成部分之間總是相互聯(lián)系在一起的，任何局部的變化總會(huì)影響到其他各個(gè)方面，將所有產(chǎn)品市場(chǎng)和要素市場(chǎng)聯(lián)系在一起來

27、分析所有商品價(jià)格相互影響共同達(dá)到均衡的過程及其條件，就是一般均衡的分析方法。根據(jù)這一方法建立的理論就是一般均衡理論。本節(jié)將討論的是一般均衡理論。每種商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)，不僅依賴于該種商品的自身價(jià)格，而其依賴于所有或部分其他商品的價(jià)格。例如，豬肉的需求和供給，不僅依賴于豬肉的自身價(jià)格，而且依賴于牛肉、雞蛋、糧食、化肥、能源等商品的價(jià)格。假設(shè)有m種商品，它們的價(jià)格分別為P1，P2，Pm，這個(gè)m歌價(jià)格是相互影響的，它們的需求函數(shù)為Qdj=Qdj(P1,P2,L,Pm)， j=1,2,L,m，（9.2.1）供給函數(shù)為Qsj=Qsj(P1,P2,L,Pm)， j=1,2,L,m，（9.2.2）超額

28、需求函數(shù)為Ej=Ej(P1,P2,L,Pm)=Qdj-Qsj， j=1,2,L,m，（9.2.3）滿足均衡條件Ej=Ej(P1,P2,L,Pm)=0, j=1,2,L,m，（9.2.4）eee的點(diǎn)Pe=(P1,P2,L,Pm)，稱為價(jià)格體系的均衡點(diǎn)，或均衡狀態(tài)，或何曾為均衡價(jià)格向量。這是，各種商品的超額需求均為零，供需打到平衡。對(duì)于均衡點(diǎn)eeePe=(P1,P2,L,Pm)，我們分別分析兩種穩(wěn)定性：靜態(tài)穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，然后再作比較。9.2.1 瓦爾拉斯一般均衡的靜態(tài)穩(wěn)定性分析一般均衡分析的基本假設(shè)是：某種商品的價(jià)格變化正向依賴于對(duì)它的超額需求；反之，對(duì)某種商品的超額需求反響依賴與它的價(jià)格變

29、化。在作靜態(tài)分析時(shí)，均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件為ædEjççdPèjædEj其中ççdPèjö<0 j=1,2,L,m， ÷÷øe（9.2.5） ödEj¶Eje表示倒數(shù)在均衡點(diǎn)P處的值。這里沒有用偏導(dǎo)數(shù)，是考慮÷÷dP¶Pjjøe到如下的事實(shí)：某種商品價(jià)格的改變，不僅會(huì)影響到對(duì)該種商品的超額需求，原則上也將影響對(duì)其他商品的需求，從而影響其他商品的價(jià)格，（9.2.5）成立的條件可以區(qū)分為兩種情形，分別稱之為不完全穩(wěn)定性

30、和完全穩(wěn)定性。1 不完全的靜態(tài)穩(wěn)定性定義9.2.1 當(dāng)?shù)趈種商品的價(jià)格Pj發(fā)生變化時(shí)，其余m-1種商品的價(jià)格也相應(yīng)地發(fā)生變化，并使這m-1個(gè)市場(chǎng)恢復(fù)均衡（超額需求為零），這時(shí)若有dEjdPj<0，eee則稱（9.2.4）的均衡點(diǎn)Pe=(P，或稱市場(chǎng)1,P2,L,Pm)為不完全穩(wěn)定的（靜態(tài)）體系（9.2.1）（9.2.3）是不完全穩(wěn)定的。部分均衡的假設(shè)是：當(dāng)?shù)趈種商品的價(jià)格Pj發(fā)生變化時(shí)，其余m-1種價(jià)格保持不變，并有¶Ej¶Pj<0。注意兩者的區(qū)別。在均衡點(diǎn)處，求超額需求函數(shù)關(guān)于價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)，記為é¶Ei(Pù1,P2,L,Pm)a

31、ij=êú (i,j=1,2,L,m) ¶Pêújëûe令A(yù)=(aij)，D=aij，Djj=D中ajj的代數(shù)余子式(j=1,2,L,m)，其中D為超額需求函數(shù)Ei(P1,P2,L,Pm)的雅克比行列式。不難證明下列結(jié)論。 定理9.2.1 市場(chǎng)體系（9.2.1）（9.2.3）是不完全穩(wěn)定的的充分必要條件是：雅克比行列式D與其所有m-1階代數(shù)余子式Djj(j=1,2,L,m)異號(hào)，即有D<0 (j=1,2,L,m) Djj證明 考慮商品j.對(duì)于超額需求函數(shù)Ej在均衡點(diǎn)Pe處求全微分，注意到不完全穩(wěn)定性定義中假設(shè)：dEi=

32、0 (i=1,2,L,m,且i¹j)于是，我們有(9.2.6)由此可解得其中Djk是D中元素ajk的代數(shù)余子式。從上式中的第j式知dEjdPj=D<0 (j=1,2,L,m). Djj(9.2.7)因此，當(dāng)且僅當(dāng)D與Djj異號(hào)時(shí)，條件（9.2.5）才能成立。這就證明了：不完全穩(wěn)定的充分必要條件是雅克比行列式D的所有m-1階主子式Djj與D異號(hào)。2 完全的靜態(tài)穩(wěn)定性定義 9.2.2當(dāng)?shù)趈種商品的價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，引起另外k種(k=0,1,L,m-1)商品的價(jià)格也發(fā)生變化（其余m-k-1種商品的價(jià)格不變），并且當(dāng)這k種市場(chǎng)恢復(fù)均衡（超額需求為零）后，若有dEjdPj<0，則稱市

33、場(chǎng)體系（9.2.1）（9.2.3）的eee均衡點(diǎn)Pe=(P1,P2,L,Pm)是完全穩(wěn)定的。在定義9.2.2中，取k=m-1，就是得到不完全穩(wěn)定性；取k=0，即其余m-1種價(jià)格不變，即得到“部分均衡的穩(wěn)定性”。定理9.2.2 市場(chǎng)體系（9.2.1）（9.2.3）完全穩(wěn)定的充分必要條件是：雅克比行列式D的所有r階主子式的符號(hào)與(-1)r相同，r=1,2,L,m，即（9.2.8）其中j,h,s=1,2,L,m為任意不相等的下標(biāo)。稱（9.2.8）為?？怂箺l件，稱滿足（9.2.8）的矩陣(aij)為?？怂咕仃?。證明 （1）當(dāng)k=0時(shí).設(shè)第j種價(jià)格發(fā)生變化，其余m-1種價(jià)格不變。這時(shí)有dPi=0 (i=

34、1,2,L,m;i¹j).因此，對(duì)（9.2.4）微分后，得由上面的第j式和（9.2.5）式可知dEjdPj=ajj<0， j=1,2,L,m這就是說D的一階主子式，其符號(hào)與(-1)1相同。（2）當(dāng)k=1時(shí).設(shè)第j種價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，只引起另外一種價(jià)格（不妨設(shè)為Ph）發(fā)生變化，其余m-2種價(jià)格不變。當(dāng)?shù)趆個(gè)市場(chǎng)恢復(fù)均衡后，有由此解得dPj=ahhdEj，ajjajhahjahhajhahhahh<0.因此有ajjdEjdPj=ahj由（1）知ahh<0，ahh<0h=1,2,L,m.因此，上式分子為正。這就是說D的所有二階主子式(i,j=1,2,L,m;i

35、5;j)的符號(hào)恰與(-1)2相同。（3）當(dāng)k=2時(shí). 設(shè)第j種價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，引起另外兩種價(jià)格（不妨設(shè)為Ph，發(fā)生變化，其余m-3種價(jià)格不變。當(dāng)h，s兩個(gè)市場(chǎng)恢復(fù)均衡時(shí)，對(duì)（9.2.4）Ps）微分，同樣有由此解出dPj，可得dEjdPj=ajjahjasjajhahhashahhashajsahsassahsass<0由（2）知。上式中分母為正，故分子為負(fù)。由于j,h,s=1,2,L,m為任意三個(gè)不相等的下標(biāo)，故根子就是D的任意三階主子式，其符號(hào)與(-1)3相同。（4）用歸納法，可類似地證明，r>3時(shí)，矩陣的r階主子式的符號(hào)也與(-1)相同。因此，定理結(jié)論成立。 瓦爾拉斯一般均衡的

36、靜態(tài)穩(wěn)定條件rdEjdPj<0表明，當(dāng)市場(chǎng)體系（9.2.1）（9.2.3）eee偏離均衡狀態(tài)Pe=(P1,P2,L,Pm)時(shí)，市場(chǎng)體系內(nèi)能產(chǎn)生一種經(jīng)濟(jì)力量，使超額需求與價(jià)格作反向變化，從而將價(jià)格推向均衡狀態(tài)的方向。但是，靜態(tài)穩(wěn)定條件不能告訴我們這種變化的具體時(shí)程，當(dāng)然也不能告訴我們市場(chǎng)體系是否會(huì)隨時(shí)間推移收斂于均衡狀態(tài)。因此，我們必須進(jìn)一步研究市場(chǎng)體系的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性，以便解決靜態(tài)穩(wěn)定性分析中所不能解決的問題。9.2.2 瓦爾拉斯一般均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性分析我們把價(jià)格看作時(shí)間t的函數(shù)P1(t),P2(t),L,Pm(t).瓦爾拉斯假設(shè)的市場(chǎng)機(jī)制是：當(dāng)對(duì)某種商品的超額需求增加（減少）時(shí)，該種商品的價(jià)格將會(huì)上漲（下跌）。這個(gè)機(jī)制可描述為（9.2.9）其中F1,F2,L,Fm都是給定的符號(hào)保留函數(shù)，具有下列性質(zhì)：（1）（2）sgnFjL=sgnLFj0=0； ；