探索勾股定理

1、第二章 勾股定理1.探索勾股定理第一課時 探索勾股定理(一)一教學(xué)目標(biāo)(一)知識點(diǎn)1.體驗(yàn)勾股定理的探索過程，由特例猜想勾股定理，再由特例驗(yàn)證勾股定理.2.會利用勾股定理解釋生活中的簡單現(xiàn)象(二)能力訓(xùn)練要求1.在學(xué)生充分觀察、歸納、猜想、探索勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想2.在探索勾股定理的過程中，發(fā)展學(xué)生歸納、概括和有條理地表達(dá)活動過程及結(jié)論的能力(三)情感與價(jià)值觀要求1.培養(yǎng)學(xué)生積極參與、合作交流的意識2.在探索勾股定理的過程中，體驗(yàn)獲得成功的快樂，鍛煉學(xué)生克服困難的勇氣二教學(xué)重、難點(diǎn)重點(diǎn)：探索和驗(yàn)證勾股定理難點(diǎn)：在方格紙上通過計(jì)算面積的方法探索勾股定理三教學(xué)方法

2、交流探索猜想.在方格紙上，同學(xué)們通過計(jì)算以直角三角形的三邊為邊長的三個正方形的面積，在合作交流的過程中，比較這三個正方形的面積，由此猜想出直角三角形的三邊關(guān)系四教具準(zhǔn)備1.學(xué)生每人課前準(zhǔn)備若干張方格紙.2.投影片三張：第一張：填空(記作1.1.1 A)；第二張：問題串(記作1.1.1 B)；第三張：做一做(記作1.1.1 C).五教學(xué)過程.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課出示投影片(1.1.1 A)(1)三角形按角分類，可分為_、_、_.(2)對于一般的三角形來說，判斷它們?nèi)鹊臈l件有哪些？對于直角三角形呢？(3)有兩個直角三角形，如果有兩條邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形一定全等嗎？師上面三個小問題是

3、我們以前討論過的，我們簡單的回憶一下.生(1)三角形按角的大小來分類可分為：直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形；(2)對于一般三角形來說，我們可以用SAS(邊角邊)、ASA(角邊角)、AAS(角角邊)、SSS(邊邊邊)來判斷兩個三角形全等；而對于直角三角形來說，除以上四種方法外，還可以用HL(即有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等).(3)兩個直角三角形，有兩邊對應(yīng)相等，有兩種情況：第一種情況：兩條直角邊對應(yīng)相等，這時，我們可注意到它們的夾角也對應(yīng)相等，利用SAS可判斷它們?nèi)?第二種情況：一條直角邊和斜邊對應(yīng)相等，利用HL公理即可判斷它們?nèi)?綜上所述，兩個直角三角形，如果有兩邊對

4、應(yīng)相等，則這兩個直角三角形全等.師我們可以注意到直角三角形有它獨(dú)有的一些特征.在我們學(xué)習(xí)和生活中，你是否還發(fā)現(xiàn)直角三角形的其他特征呢？這節(jié)課，我們就來繼續(xù)研究直角三角形.講述新課1.問題串師(出示投影片1.1.1 B)觀察下圖，并回答問題：(1)觀察圖1.正方形A中含有_個小方格，即A的面積是_個單位面積；正方形B中含有_個小方格，即B的面積是_個單位面積；正方形C中含有_個小方格，即C的面積是_個單位面積.(2)在圖2、圖3中，正方形A、B、C中各含有多少個小方格？它們的面積各是多少？你是如何得到上述結(jié)果的？與同伴交流.(3)請將上述結(jié)果填入下表，你能發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C的面積關(guān)系嗎？A的面

5、積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖1圖2圖3生在圖1中，正方形A含1個小方格，所以它的面積是1個單位面積；正方形B含1個小方格，所以B的面積也是1個單位面積；正方形C含2個小方格，所以C的面積是2個單位面積.師如何求得正方形C的面積呢？生正方形C可劃分為四個直角邊長都為1個單位的四個全等的等腰直角三角形，所以C的面積為4(11)=2個單位面積.生我們觀察可發(fā)現(xiàn)，這四個等腰直角三角形重新拼擺，剛好可拼擺成2個小方格，所以C的面積為2個單位面積.生正方形C還可以看成邊長為2個單位的正方形面積的一半，即C的面積為22=2個單位面積.師同學(xué)們能夠不拘一格地積極思考問題，用多種方法

6、去求得圖1中C的面積，值得發(fā)揚(yáng)廣大，那么圖2，圖3中的A，B，C的面積是否可借鑒圖1中的A，B，C的求法獲得呢？請與你的同學(xué)們討論、交流。生圖2中，A含有9個小方格或者說正方形A的邊長是3個單位長度，都可以求得A的面積是9個單位面積；同理可求得B含有9個小方格，所以B的面積為9個單位面積；對于正方形C來說，我們觀察可發(fā)現(xiàn)它含有18個小方格，所以C的面積為18個單位面積.師看來，同學(xué)們已能從圖2中很容易地就求得了A，B，C的面積.是不是在求C的面積時也和圖1相類似，有多種求法呢？生是的.在正方形C中，我們可以把它的邊緣的12個全等的等腰直角三角形拼擺成6個小方格，再加上中間的12個小方格，正方形

7、C共含有18個小方格，所以它的面積為18個單位面積；我們也可以把C分割成四個直角邊為3個單位長度的等腰直角三角形，也可算得C的面積為4(32)=18個單位面積.生如果把組成C的四個等腰直角三角形沿正方形的邊向外翻，我們觀察又可發(fā)現(xiàn)C在邊長為6個單位長度的正方形中，并且C的面積恰好是這個正方形面積的一半即62=18個單位面積.生圖3與圖1，圖2類似，所以我們可用同樣的方法觀察求得A，B，C各含4個，4個，8個小方格，面積分別為4個，4個，8個單位面積.師把三個圖中A，B，C的面積分別填入上面的表格中，你能發(fā)現(xiàn)它們的關(guān)系嗎？生C的面積=A的面積+B的面積.(表格略)師很好！但是A，B，C的面積為什

8、么會有這種關(guān)系呢？我們接著觀察這三個圖，你能發(fā)現(xiàn)什么？生在前面您說過這節(jié)課我們主要研究直角三角形，而在這三個圖中，都是三個正方形圍著一個直角三角形.師的確如此，從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)：三個正方形好像是“長”在直角三角形的三邊上.生這說明三個正方形的邊長分別是以直角三角形的三邊為邊長得到的.師那么，(3)的結(jié)論即C的面積=A的面積+B的面積與三角形有什么關(guān)系？這個關(guān)系說明什么？大家可以討論、交流.生C是斜邊上的正方形，所以C的面積是斜邊的平方；A，B是兩直角邊上的正方形，所以A，B的面積分別是這兩條直角邊的平方.根據(jù)A，B，C的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)：斜邊的平方就等于兩直角邊的平方和.師但是，我們也

9、不難發(fā)現(xiàn)上面3個圖中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形，會不會也有這種三邊關(guān)系呢？2.做一做出示投影片(1.1.1 C)(1)觀察圖4，圖5，并填寫下表：A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖4圖5你是怎樣得到上面結(jié)果的？與同伴交流.(2)三個正方形A，B，C的面積之間的關(guān)系？(讓學(xué)生先獨(dú)立思考，然后填寫上面的表格.最后以小組為單位充分交流各自的想法，特別是在計(jì)算斜邊上的正方形的面積即正方形C的求法)師生共析根據(jù)圖4，圖5可填表如下：A的面積(單位面積)B的面積(單位面積)C的面積(單位面積)圖416925圖54913我們先來觀察

10、圖4，不難看出A，B分別含有16個小方格，9個小方格，所以A、B的面積分別為16個單位面積，9個單位面積，但斜邊上的正方形C的面積的計(jì)算較為復(fù)雜，我們可用以下幾種方法求得：第一種方法：將正方形C分割成4個直角邊長分別為3、4全等的直角三角形和中間的一個小方格，利用計(jì)算三角形面積的公式可得正方形C的面積為4(34)+1=24+1=25個單位面積.第二種方法：直接數(shù)正方形C中含有多少個小方格，但需要適當(dāng)?shù)钠礈?，在第一種方法中，我們將正方形分割成5部分，直角三角形、和一個小方格，其中直角三角形、可拼湊成一個長和寬分別為3和4的長方形，含有12個小方格，同理、也可拼湊成12個小方格，所以正方形C中共有

11、12+12+1=25個小方格即C的面積為25個單位面積.第三種方法：可將直角三角形、沿正方形C的邊外翻，就得到一個邊長為7個單位長度的正方形，這時正方形C的面積就為(491)2+1=25個單位面積.圖5與圖4同理.我們從上表不難發(fā)現(xiàn)16+9=25，4+9=13即C的面積=A的面積+B的面積.師圖4和圖5中的三個正方形A，B，C也是由中間的直角三角形“長”出來的，你能從三個正方形的面積關(guān)系與直角三角形的三邊聯(lián)系嗎？生圖4中的正方形A，B，C的面積分別是直角三角形兩條直角邊的平方和斜邊的平方，根據(jù)三個正方形的面積關(guān)系，我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.由圖5我們也

12、可得出同樣的結(jié)論.3.議一議師我們通過對前面幾個直角三角形的討論，分析，你能歸納出直角三角形三邊長度存在的關(guān)系嗎？用自己的語言表達(dá)你的重大發(fā)現(xiàn)與同伴交流.生在直角三角形中，兩條直角邊長度的平方和等于斜邊的平方.師這是由前面幾個特例猜想出來的，是否合理呢？我們不妨作幾個直角三角形檢驗(yàn)一下.例如，作一個分別以5厘米、12厘米為直角邊的直角三角形，然后測量斜邊的長度，通過計(jì)算看一下直角三角形三邊的規(guī)律還成立嗎？生1.作一個直角MCN；2.以C為圓心，分別以5厘米、12厘米為半徑畫弧交CM、CN于點(diǎn)A，B；3.連結(jié)AB.用刻度尺量出斜邊AB的長度(強(qiáng)調(diào)注意測量的誤差)為13厘米.經(jīng)檢驗(yàn)斜邊AB2=13

13、2=169，兩直角邊平方和AC2+BC2=52+122=25+144=169.即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.師很好.同學(xué)們不妨多作幾個不同的直角三角形，用上面的方法檢驗(yàn)直角三角形三邊的關(guān)系.師生共析通過特例猜想、檢驗(yàn)，我們不難發(fā)現(xiàn)，直角三角形的三邊的規(guī)律是成立的，這就是我們將要介紹的重點(diǎn)內(nèi)容勾股定理：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.4.讀一讀(課本P5)古代人就對勾股定理有過深入的研究，幾大文明古國都有相應(yīng)的勾股定理的記載.我國是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個

14、直角.如果勾(即直角三角形中較短的直角邊)等于3，股(即直角三角形中較長的直角邊)等于4，那么弦(即直角三角形中的斜邊)等于5，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.因此，我們也把勾股定理稱為商高定理，而把商高稱為“勾股先師”.在西方，把勾股定理又稱為“畢達(dá)哥拉斯”定理.相傳二千多年，希臘著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此他們還舉行了一次空前規(guī)模的慶祝活動，宰殺了一百頭牲畜.但因此也引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)來表示.關(guān)于勾股定理的記載還有很多，同學(xué)們?nèi)绻信d趣，

15、可查閱有關(guān)這方面的資料。所以說勾股定理有著悠久的歷史，它反映了古代人民的聰明才智.5.想一想師小明的媽媽買了一部29英寸(74厘米)的電視機(jī).小明量了電視機(jī)的熒屏后，發(fā)現(xiàn)熒屏只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？生我聽爸爸說過，29英寸或74厘米的電視機(jī)，是指熒屏對角線的長度，而不是其長或?qū)?生可是，連結(jié)熒屏的對角線將長方形的熒屏分成全等的兩個直角三角形.根據(jù)勾股定理，長2+寬2=742，可582+462742，這是為什么呢？生因?yàn)闊善吝吙蛘谏w了一部分，所以實(shí)際測量存在一些誤差.師的確如此，但這里我們要知道一個生活常識，29英寸(74厘米

16、)指的是熒屏的對角線的長度，而非熒屏的長或?qū)?6.例題講解例在ABC中，C=90(1)若a=8，b=6，則c=_；(2)若 c=20，b=12，則a=_；(3)若ab=34，c=10，則a=_，b=_.師生共析分析：在ABC中，C=90，所以有關(guān)系：a2+b2=c2.在此關(guān)系式中，涉及到三個量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根據(jù)題意可得a2+b2=c2.(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202122=(20+12)(2012)=328=162，a0，所以a=16；(3)若ab=3

17、4，可設(shè)a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化簡，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x0)，所以a=3x=6；b=4x=8.評注：綜合上述解法可以發(fā)現(xiàn)，形(即ABC為直角三角形)與數(shù)(a2+b2=c2)的統(tǒng)一，所以我們說勾股定理是形與數(shù)的結(jié)合.課時小結(jié)先由學(xué)生自己總結(jié)，然后師生共同完成.這節(jié)課我們主要研究：1.從特例猜想出勾股定理；2.用特例檢驗(yàn)了勾股定理；3.簡單了解了勾股定理的歷史，應(yīng)用.課后作業(yè)1.課本P6，習(xí)題6.1.2.到網(wǎng)上或圖書室查閱關(guān)于勾股定理的資料.活動與探究有一根70 cm的木棒，要放在長、寬、高分別是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放進(jìn)去嗎？過程：在實(shí)際生活中，往往工程設(shè)計(jì)方案比較多，應(yīng)用所學(xué)的知識進(jìn)行計(jì)算方可解決，而此題正是需要我們大膽實(shí)踐和創(chuàng)新，用我們學(xué)過的勾股定理和豐富的空間想像力來解決.我們可注意到木棒