高考球的問題(教師總結(jié)贈送歷年高考真題)(共15頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上“球迷”侃球 “三視圖問題”、“球的問題”、“立體幾何證明題”是數(shù)學(xué)高考立體幾何門派的“三大劍客”，曾秒殺無數(shù)考生，特別是“球的問題”始終是高考的熱點(diǎn)問題，題型為選擇或填空。題目難度跨度大，其中有簡單題，中等題有時(shí)也會有難題。它直接或間接的以球?yàn)檩d體綜合考查空間幾何體的體積、表面積計(jì)算，解題過程中又蘊(yùn)含幾何體線面關(guān)系的識別與論證。所以很少有哪個(gè)知識點(diǎn)能像球那樣微觀上把“數(shù)”與“形”數(shù)學(xué)中兩大基本元素完美契合，宏觀上實(shí)現(xiàn)代數(shù)與幾何平滑過渡。可是這類問題缺乏幾何直觀，具有高度抽象性，區(qū)分度高，得分率低，屬于學(xué)生畏懼，老師頭疼的難點(diǎn)問題。不過這類問題有很強(qiáng)的規(guī)律性，若在平時(shí)

2、解題中探索反思，注意總結(jié)，能找到通法，是我們學(xué)生潛在的得分點(diǎn)；同時(shí)研究它為處理空間幾何體的證明問題鍛煉能力，為解決三視圖問題開拓思路。下面我借助具體問題，談?wù)剬η虻恼J(rèn)識，希望能對大家有所啟發(fā)。球的問題可以從以下四個(gè)角度考慮，直接找球心，化錐為體找球心，線面垂直找球心，作過球心的截面圖。其中直接找球心比較簡單，這里不做講解，我主要談后面幾個(gè)問題。一、 化錐為體找球心總體思想：化錐（或柱）為體。這里的“錐”指的是特殊的棱錐（側(cè)棱與底面垂直的棱錐，側(cè)面與底面垂直的棱錐，正四面體等，“柱”指的是直棱柱，“體”指的是長方體（含正方體）。長方體（或正方體）與球有天然聯(lián)系，長方體的中心是它的外接球的球心，長

3、方體的體對角線是球的直徑。所以通常把幾何體放在長方體中研究，把它看成長方體的一部分，用長方體過渡，尋找突破口。例(13遼寧理10)已知直棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若AB=3，AC=4，則球的半徑為_分析：很顯然2例已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，,AB=2,AC=1, 則球O的表面積為_16_分析：根據(jù)余弦定理由勾股定理故如圖所示可以把幾何體放在長方體中SB為球的直徑即球的表面積二、線面垂直找球心總體思想：若面DAG過小圓的圓心，且與小圓所在的截面垂直則過A，D，G三點(diǎn)的圓是球的大圓，在大圓上由于所以它所對的弦DG為直徑，弦中點(diǎn)O為球心例點(diǎn)A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形

4、，AD=6，AB=3，則該球的體積為_分析：利用正弦定理外接圓半徑球的直徑球的體積例（09全國第15題）直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于_的外接圓的的直徑所以球的直徑，從而可知答案為二、 作過球心的截面圖縱截面（2013全國新課標(biāo)文15）已知是球的直徑上一點(diǎn)，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，則球的表面積為_。 分析：用截面圖（縱截面）分析：,，利用射影定理橫截面（16新課標(biāo)理10）在封閉的直三棱柱ABC-內(nèi)有一個(gè)體積為V的球。若，AB=6，BC=8，則V的最大值是（B）A、 B、 C、 D、分析：要想球的體積最大，則球與柱的三個(gè)側(cè)面相切，或與兩底面相切若為前者：作出

5、橫截面 此時(shí)球在柱外不合題意若為后者，數(shù)學(xué)高考是選拔性考試，所以高考以基礎(chǔ)題為主，注重通式通法，力主“淡化運(yùn)算技巧”，但同時(shí)提倡“優(yōu)化解題路徑”。所以它給懶惰的人以教訓(xùn)，給勤奮的人以出路，給聰明的人以捷徑。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中并非一路坦途，不過山高自有客行路，水深必有渡船人。在此我相信并祝愿同學(xué)們能智慧的應(yīng)對學(xué)習(xí)中各種問題，尋找到更多更好的方法，絕處逢生，柳暗花明，學(xué)海不苦，書山有路。10.6 球一、球心與小圓圓心連線與小圓面垂直例（04全國4）已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點(diǎn).如果AB=AC=2，BC=，則球心到平面ABC的距離為（ A ）A1BCD2提示:用正弦定理求三角形外接圓

6、半徑例（09全國一）15. 直三棱柱的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于_練習(xí)（05全國一）（2）一個(gè)與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（B）（A）（B）（C）（D）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，則此球的表面積等于_.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB=3，BC=2，則棱錐O-ABCD的體積為（）某幾何體的三視圖如右圖，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球面的表面積為( B ) A B C D注：利用正弦定理求外接圓半徑（一般為正三角形或等腰三角形）在表面積為的球面上有A,B,C三點(diǎn),AC=2A

7、B,球心O到平面ABC的距離是,則三棱錐O-ABC的體積是( D)A、 B、 C、8 D、4（94全國）(13) 已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是( D )(A) (B) (C) 4(D) （04遼寧）10設(shè)A、B、C、D是球面上的四個(gè)點(diǎn)，且在同一平面內(nèi)，AB=BC=CD=DA=3，球心到該平面的距離是球半徑的一半，則球的體積是（A）ABCD已知某幾何體的三視圖(單位:m)如圖所示，則這個(gè)幾何體的外接球表面積（單位：）等于（B）A、 B、 C、 D、已知正四棱錐OABCD的體積為54，底面邊長為，則正四棱錐OABCD的外接球的表

8、面積為 .已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，是邊長為3的正三角形，S在內(nèi)的射影點(diǎn)為的中心點(diǎn)D，且SD=3，則三棱錐外接球表面積_16_已知的三個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，AB=1，AC=2，若球心到平面ABC的距離為1，則該球的體積為_球O的半徑R=13，球面上有三點(diǎn)A，B，C，AC=BC=12，則四面體的體積是（）、注：球心在小圓面上的射影是小圓的圓心，也是小圓面內(nèi)接三角形外心,利用正弦定理求外接圓半徑三棱錐P-ABC,若PB=2AB=2BC=4,AC=3,PA=PC=,則該三棱錐外接球表面積為_二、化錐(柱)為體找球心在平行四邊形ABCD中，若將其沿BD折成直二面角A-BD-C，則三棱錐A-B

9、CD的外接球的表面積為（A） A、 B、 C、 D、已知三棱柱ABC -A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球的表面積為 12，AB =2，AC =1，BAC=60°，則此三棱柱的體積為 _ _（95全國）正方體的全面積是a2，它的頂點(diǎn)都在球面上，這個(gè)球的表面積是( B )(A) (B) (C) 2a2(D) 3a2已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(C)A B C D(2015葫蘆島二模)10.四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SA平面ABCD，且SA=2,則此四棱錐的外接球的表面積為DCDD DA12p

10、 B24p C144p D48p例(13遼寧)已知直棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，若AB=3，AC=4，則球的半徑為_例（03全國）12一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ A ）A3B4C3D6提示:化錐為體例已知三棱柱的個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面，則球的半徑為C (A) (B) (C) (D) (12遼寧)已知正三棱錐，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑的球面上，若PA，PB，PC兩兩相互垂直且相等，則截面ABC的面積為_（91全國）在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PAPBPCa那么這個(gè)球面的面積是_21、(2014遼南協(xié)作體二模) 11、設(shè)

11、A，B，C，D是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且滿足ABAC、ADAC、ABAD，則的最大值是_8_A、4 B、8 C、12 D、16.一幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖和左視圖都是等腰直角三角形，直角邊長為1，則該幾何體外接球的表面積為 (A) (B) (C) (D)三、線面垂直找球心例已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，,AB=2,AC=1, 則球O的表面積為_16_注：化錐為體找球心也行例點(diǎn)A，B，D，C均在同一球面上，其中是正三角形，AD=6，AB=3，則該球的體積為_例已知三棱錐P-ABC中，PA面ABC，為等腰直角三角形，AC=2AB=4，則三棱錐外接球表面積為BA、 B、 C、 D、

12、AD=6，AB=3，則該球的體積為_22(2015河南模擬)（5分）已知某棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖為正方形，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，那么該棱錐外接球的體積是（） A B C D 已知三棱錐，在底面中，則此三棱錐的外接球的表面積為（D ）A B. C. D. 已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在直徑為球的球面，且，則三棱柱的的體積為72(2015桂林十八中)15. 是同一球面上的四個(gè)點(diǎn),其中是正三角形, 平面，,則該球的表面積為_32_。(2014葫蘆島二模)如圖所示，一個(gè)三棱錐的三視圖中，其俯視圖是正三角形，主視圖及左視圖的輪廓都是直角三角形，若這個(gè)三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則這個(gè)球的體積為（

13、）答案.四、面面垂直找球心四面體的一條棱長為x，其余棱長為3，當(dāng)該四面體體積最大時(shí)，經(jīng)過這個(gè)四面體所有頂點(diǎn)的球的表面積為D A B C D15如圖，在小正方形邊長為1的網(wǎng)格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為 .圖為某多面體的三視圖，則該多面體體的外接球表面積為已知如右圖所示的三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，和所在的平面互相垂直,，則球的表面積為 五、截補(bǔ)法求體積4、(11遼寧)已知球的直徑SC=4，A，B是該球面上的兩點(diǎn)，AB=，則棱錐的體積為_半徑為1的球面上有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，球心為點(diǎn)O，AB過點(diǎn)O，CA=CB，DA=DB，DC=1，則三棱錐A-BCD的體積為（A）A

14、、 B、 C、 D、已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PC為球O的直徑，且，為等邊三角形，三棱錐P-ABC的體積為，則球O的表面積為8、（12年新課標(biāo)）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ A ） 注：六、最值問題點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，AB=BC=，AC=2若四面體ABCD體積最大值為，則這個(gè)球的表面積為_ 四棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD是正方形且和球O在同一球面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐體積最大時(shí)它的表面積等于，則球O的體積等于_【2015高考新課標(biāo)2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球

15、面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，則三棱柱的體積的最大值為 1 .注：導(dǎo)數(shù)求最值七、正四面體與正棱錐外接球與內(nèi)切球正棱錐在三棱錐A-BCD中，底面BCD的邊長為2的正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影為的中心，若E為BC的中點(diǎn)，且直線AE與底面BCD所成角的正切值為，則三棱錐外接球體積為（07陜西）6一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（ C ）ABCD已知正四棱錐OABCD的體積為54，底面邊長為

16、，則正四棱錐OABCD的外接球的表面積為 .體積為的球放置在棱長為4的正方體上， 且與上表面相切，切點(diǎn)為該表面的中心， 則四棱錐的外接球的半徑為_；已知三棱錐A-BCD中平面ACD，AC=AD=2，AB=4，CD=，則三棱錐A-BCD外接球的表面積與內(nèi)切球表面積的比為（C）A、 B、8 C、24 D、正四面體例已知正四面體ABCD的棱長為，其外接球表面積為，內(nèi)切球的表面積為，則的值為CA B C9 D注：正四面體外接球與內(nèi)切球半徑比為3:11、一個(gè)棱長為5的正四面體（棱長都相等的三棱錐）紙盒內(nèi)放一個(gè)小正四面體，若小正四面體 在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體的棱長的最大值為 2、一個(gè)空心球玩具里面設(shè)計(jì)一個(gè)棱長為4的正四面體，過正四面體上某一個(gè)頂點(diǎn)所在的三條棱的中點(diǎn)做球的截面，則該截面圓面積是八、直接找球心15已知邊長為的菱形中，沿對角線折成二面角為的四面體，則四面體的外接球的表面積為_.九、直棱柱的內(nèi)切球（14湖南理）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削，打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（B）A、1 B、2 C、3 D、4一個(gè)正四棱柱的頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，當(dāng)正四棱柱的側(cè)面積取得最大值時(shí)，正四棱柱的底面邊長為 （ D ）ABCD十、最值問題已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD內(nèi)接于半徑為1的球，頂點(diǎn)P在底面ABCD上的射