13.4最短路徑問題

1、13.4 課題學(xué)習(xí)課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題最短路徑問題第第10周周2015年年11月月2日日 前面我們研究過一些關(guān)于前面我們研究過一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線兩點(diǎn)的所有連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾柕鹊膯栴}，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?題題 下面我們就下面我們就“將軍飲馬問題將軍飲馬問題”和造橋選址問題一起和造橋選址問題一起來來看看吧！看看吧！引言：引言：問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，

2、一位將軍專程拜訪負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l l 飲馬，然飲馬，然后到后到B B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？BAl將軍飲馬問題將軍飲馬問題精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的 知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為知識(shí)回答了這個(gè)問題這個(gè)問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個(gè)問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個(gè)問

3、題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl想一想想一想這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 BAl想一想想一想你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？為數(shù)學(xué)問題嗎？ （1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，現(xiàn)在的問題是怎樣找出使現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l

4、上的點(diǎn)上的點(diǎn)（3）設(shè)）設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最小（如圖）的和最?。ㄈ鐖D） BAlC想一想想一想作法：作法：（1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)C 則點(diǎn)則點(diǎn)C 即為所求即為所求 問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)，AC 與與CB 的和最??？的和最小？ BlABC

5、想一想，做一做想一想，做一做證明：如圖，在直線證明：如圖，在直線l 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC問題問題3 你能用所學(xué)的知識(shí)證明你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC 在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短想一想，做一做想一想，做一做若直線若直線l 上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C 不

6、重合）與不重合）與A，B 兩點(diǎn)的距離兩點(diǎn)的距離和都大于和都大于AC + +BC，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 BlABCC追問追問1 1證明證明AC AC + +BC BC 最短時(shí)，為什么要在直線最短時(shí)，為什么要在直線l l 上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)C C（與點(diǎn)（與點(diǎn)C C 不重合），證明不重合），證明AC AC + +BC BC ACAC+ +BCBC？這里的？這里的“C C”的作用是什么的作用是什么？ 想一想，做一做想一想，做一做 如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)牛奶站，向如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)牛奶站，向居民區(qū)居民區(qū)A A、B B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才提供牛奶，奶站應(yīng)

7、建在什么地方，才能使從能使從A A、B B到它的距離之和最短到它的距離之和最短 試一試試一試 居民居民B . 居民居民A .街道街道AMNB ABCD試一試試一試 L如圖：如圖：A為馬廄，為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。 作法：作法： 1.作點(diǎn)作點(diǎn)A關(guān)于直線關(guān)于直線 MN 的的 對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)A , 2. 作點(diǎn)作點(diǎn)B關(guān)于直線關(guān)于直線L 的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)B , 3.連接連接A B 分別交

8、直線分別交直線MN、L于點(diǎn)C、D， 則A-C-D-B最短ABMNE.作法：作法： 1.1.將點(diǎn)將點(diǎn)B B沿垂直與河岸沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到的方向平移一個(gè)河寬到E E， 2.2.連接連接AEAE交河對(duì)岸交河對(duì)岸與點(diǎn)與點(diǎn)M,M,則點(diǎn)則點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉?。P86 如圖，如圖，A.BA.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋座橋MNMN，橋造在何處才能使從，橋造在何處才能使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）造橋選址問題造橋選址