概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：3-4隨機(jī)變量的獨(dú)立性

1、第三章 二維隨機(jī)變量及其分布3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3.10 若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y滿足F(x,y)=FX(x)FY(y)即P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布定理3.1 二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的兩個(gè)分量X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是(X,Y)的聯(lián)合分布律與邊緣分布律滿足pij=pi.p.j例子第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例3.12 已知二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣分布律分別為且P(XY=0)=1. 求(X,Y)的聯(lián)合分布律并判斷X與Y是否獨(dú)立。X101P1/4 1/2 1/4Y01P1/2

2、1/2第三章 多維隨機(jī)變量及其分布定理3.2 二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的兩個(gè)分量X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是在f(x,y)的任意連續(xù)點(diǎn)(x,y)處有f(x,y)= fX(x) fY(y)成立。例子第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例例3.133.13設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量(X,Y)(X,Y) 的的聯(lián)聯(lián)合合密密度度函函數(shù)數(shù)2424y(2x),0 x1,0yxy(2x),0 x1,0yxf(x,y)f(x,y)5 50,0,其其他他試試確確定定X X與與Y Y是是否否相相互互獨(dú)獨(dú)立立。 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布0.5x0.5y0.5(xy)0.5x0.5y0.5(xy)例例3.143.14

3、某某電電子子儀儀器器由由兩兩個(gè)個(gè)部部件件構(gòu)構(gòu)成成，以以X X和和Y Y分分別別表表示示兩兩部部件件的的壽壽命命（單單位位：千千小小時(shí)時(shí)），已已知知的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為1eee,x0,y01eee,x0,y0F(x,y)F(x,y)0,0,其其他他試試確確定定X X和和Y Y的的獨(dú)獨(dú)立立性性。 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例3.15 某地舉行貿(mào)易洽談會(huì)，購貨方到達(dá)會(huì)場的時(shí)間均勻分布于上午8至12時(shí)，供貨方到達(dá)時(shí)間均勻分布于上午7至9時(shí)。設(shè)兩方到達(dá)的時(shí)間是相互獨(dú)立的，試求雙方到達(dá)洽談會(huì)場的時(shí)間相差不超過1/12小時(shí)的概率。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布定理3.3 二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y

4、)的兩個(gè)分量X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是其聯(lián)合密度函數(shù)中的參數(shù)=0.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布定理3.4 若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，f(x)與g(y)均為連續(xù)函數(shù)，則隨機(jī)變量f(X)與g(Y)也相互獨(dú)立。12122211222222112222122212()()()()11exp22(1)21()()11expexp2222 xxyyxy 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布定義3.11 設(shè)x1,x2,xn為n個(gè)實(shí)數(shù),稱n元函數(shù)F(x1,x2,xn)=P(X1x1, X2x2, Xnxn)為n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù).第三章 二維隨機(jī)變量及其分布定義3.12 設(shè)F(x1,x2

5、,xn)為n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x1,x2,xn)，使得則稱(X1,X2,Xn)為n維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f(x1,x2,xn)為(X1,X2,Xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。12121212,.,.,.,.nxxxnnnF x xxf u uu du dudu 第三章 二維隨機(jī)變量及其分布定義3.13 稱n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的k個(gè)(1kn)分量所構(gòu)成的k維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)稱為(X1,X2,Xn)的k維邊緣分布函數(shù)。當(dāng)k=1時(shí)稱為一維邊緣分布函數(shù),記作Fi(xi),(i=1,2,n)，相應(yīng)地一維邊緣密度函數(shù)記作fi(xi),(i=1,2,

6、n)。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布定義3.14 若n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)與其n個(gè)一維邊緣分布函數(shù)滿足：F(x1,x2,xn)=F1(x1) F2(x2)Fn(xn)則稱隨機(jī)變量X1,X2,Xn相互獨(dú)立。定理3.5 n維隨機(jī)變量(X1,X2,Xn)相互獨(dú)立的充分必要條件是聯(lián)合分布密度函數(shù)等于各分量的邊緣密度函數(shù)。作業(yè)例子習(xí)題3.41、3、4第三章 二維隨機(jī)變量及其分布3.5 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、二維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布例子寫出X與Y所有可能取值的組合，由函數(shù)關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的概率。求函數(shù)分布，相當(dāng)于問函數(shù)有幾種取值？對(duì)應(yīng)的概率多少？第三章 二維隨機(jī)變量及其分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布采用分布函數(shù)法，即從分布函數(shù)的定義入手，把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分。例子第三章 二維隨機(jī)變量及其分布對(duì)于ZX+Y，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)可以使用卷積公式。例3.18 設(shè)X，Y獨(dú)立同分布，都服從N(0,1)。試求ZX+Y的密度函數(shù)。 ZXYZYXfzfx fzx dxfzfy fzy dy第三章 二維隨機(jī)變量及其分布例3.