第一輪復(fù)習(xí)自己整理絕對(duì)數(shù)列第一輪

1、數(shù)列題型總結(jié)(2016版)一：數(shù)列的概念（由前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)） 數(shù)列是一種特殊函數(shù)，對(duì)于數(shù)列這種特殊函數(shù)，著重討論它的定義域、值域、增減性和最值等方面的性質(zhì)，依據(jù)這些性質(zhì)將數(shù)列分類(lèi)：依定義域分為：有窮數(shù)列、無(wú)窮數(shù)列；依值域分為：有界數(shù)列和無(wú)界數(shù)列；依增減性分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、解析法（通項(xiàng)公式法及遞推關(guān)系法）；數(shù)列通項(xiàng)：例1.數(shù)列的通項(xiàng) 例2.數(shù)列的通項(xiàng) 例3.數(shù)列的通項(xiàng) 例4.數(shù)列的通項(xiàng) 。例5.根據(jù)下列5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第個(gè)圖中有_ 個(gè)點(diǎn)（1） （2） （3） （4） （5）練習(xí)1： 二：等差數(shù)列及其性質(zhì)1.等差數(shù)列定義：一般地

2、，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：說(shuō)明：等差數(shù)列的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列， 為遞減數(shù)列。例6:已知等差數(shù)列中，等于 例7：是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于 例8：已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則 例9：已知數(shù)列的，且,則 真題：【15年福建理科】若 是函數(shù) 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ）A6 B7 C8 D9練習(xí)：2：在等差數(shù)列an中，已知，則3：設(shè)為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則_

3、3. 等差中項(xiàng)的概念 定義：如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。其中 。若，成等差數(shù)列 即：（）例10：設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則 例11：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且三點(diǎn)共線(xiàn)（為該直線(xiàn)外一點(diǎn)），則等于（ ） A2012 B1006 C D真題：【15年廣東理科】在等差數(shù)列中，若，則= 【15年北京理科】設(shè)是等差數(shù)列. 下列結(jié)論中正確的是（ ）A若，則 B若，則C若，則 D若，則4.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列； （3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，；（4）在等差數(shù)列中，若，且，則；例1

4、2：在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則_例13：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為_(kāi)例14：若是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且的值為_(kāi)練習(xí)：4：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)變化時(shí)，若 是一個(gè)定值，那么下列各數(shù)中也是定值的是（ ） 5：在等差數(shù)列中，若，則的值為（ ）A 、20 B、22 C、24 D、285.等差數(shù)列的前和的求和公式：(是等差數(shù)列 )遞推公式：例15：如果等差數(shù)列中，那么_例16：設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，則等于_例17：若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有 例18：已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若 練習(xí)：5：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 6：等差數(shù)

5、列的前項(xiàng)和記為，已知，求通項(xiàng)；若=242，求6. 等差數(shù)列中，若等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，則有例19：在等差數(shù)列an中， 則前23項(xiàng)的和_例20：設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)和，則 練習(xí)：7：設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若（ ）8：已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則 .7.對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列例21：等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）例22：一個(gè)等差數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為 例23：已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為 例24：設(shè)是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，若，則 練習(xí)：9.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和

6、為，且,則（ ） A B C D48.數(shù)列的最值問(wèn)題（1），時(shí)，有最大值；，時(shí)，有最小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值；可用二次函數(shù)最值的求法?；蛘咔蟪鲋械恼?、負(fù)分界項(xiàng)，即：若已知，則最值時(shí)的值（）可如下確定或。例25：等差數(shù)列中，則前 項(xiàng)的和最大例26：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知 求出公差的范圍 指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由例27：已知是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，公差，若,數(shù)列前項(xiàng)和的最大值 例28：在等差數(shù)列中，則的最大值為 練習(xí)：10：數(shù)列an的通項(xiàng)公式是，那么數(shù)列的前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)，n為_(kāi)11：已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，若 則此數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為_(kāi)12：已知各

7、項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前20項(xiàng)和為100，那么的最大值( )A25B50C100D不存在13：等差數(shù)列中，已知，使得的最小正整數(shù)n為（ ） A7 B8 C9 D1014：已知等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則當(dāng)取到最小值時(shí)n的值為（ ）A5 B7 C8 D7或89.判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法定義法：是等差數(shù)列 中項(xiàng)法：是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列 前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列例29：已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無(wú)法判斷例30：已知一個(gè)數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列為（ ）A.等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等差數(shù)列也不是等比

8、數(shù)列 D.無(wú)法判斷三：等比數(shù)列及其性質(zhì)1等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示，即：。2.遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式例31：在等比數(shù)列中,，則 例32：在等比數(shù)列中,則 例33：在等比數(shù)列an中，a28，a164，則公比q為 例34：在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則 3.等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱(chēng)為的等比中項(xiàng)，且為是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例35：和的等比中項(xiàng)為 例36：設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和 真題：【15年廣東文科】若三

9、個(gè)正數(shù)，成等比數(shù)列，其中，則 【15年浙江文科】已知是等差數(shù)列，公差不為零，前項(xiàng)和是，若成等比數(shù)列，則（ ）A. B. C. D. 【15年浙江理科】已知是等差數(shù)列，公差不為零若，成等比數(shù)列，且，則， 4.等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）（2）（3）為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.（4）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例37：在等比數(shù)列中,和是方程的兩個(gè)根,則 例38：在等比數(shù)列，已知，則= 例39：等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，且 例40：已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且，則當(dāng)時(shí)， 真題：【15年新課標(biāo)2文科】已知等比數(shù)列滿(mǎn)足,則（ ）5.前項(xiàng)和公式例41：已知等比數(shù)列的首相，公比，則其前

10、n項(xiàng)和 例42：設(shè)，則等于 例43：設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的公比q為 例44：設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且成等差數(shù)列，則 .5.若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列.如下圖所示：例45：一個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)的和為48，前2項(xiàng)的和為60，則前3項(xiàng)的和為 例46：已知數(shù)列是等比數(shù)列，且 例47：設(shè)等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為，若 =3 ，則= 6. 等比數(shù)列的判定法（1） 定義法：為等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)法：為等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：為等比數(shù)列； （4）前項(xiàng)和法：為等比數(shù)列 為等比數(shù)列例48：已知一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列為（ ）A. 等差數(shù)列 B.等比數(shù)列 C.既不是等

11、差數(shù)列也不是等比數(shù)列 D.無(wú)法判斷例49：已知數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為 四：求數(shù)列的通項(xiàng)1.已知等差等比求通項(xiàng)（一般化為和的式子，解方程組）例50：等差數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，（1）求通項(xiàng)；（2）若=242，求例51：已知是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為.已知,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求;真題：【15北京文科】已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，問(wèn)：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？2.證明類(lèi)題型例52：已知數(shù)列滿(mǎn)足，（），求通項(xiàng)公式例53：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式例54：已知數(shù)列中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，其中，令，求證數(shù)列是等比數(shù)列例55：

12、已知數(shù)列中，.求證：是等差數(shù)列；并求數(shù)列的通項(xiàng)例56：已知數(shù)列中，證明是等比，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式真題：【15年廣東文科】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且當(dāng)時(shí)，求的值；證明：為等比數(shù)列；求數(shù)列的通項(xiàng)公式【15年昆明市統(tǒng)考】已知數(shù)列中，（1） 證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式（2） 設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.由公式（注意：不能忘記討論）求通項(xiàng)例58：已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和滿(mǎn)足,則= .例59：已知數(shù)列前項(xiàng)和，則_.例60：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式例61：若數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足，則，數(shù)列例62：數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，求的通項(xiàng)公式例63：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)0,且第一項(xiàng)、第三項(xiàng)、第十一項(xiàng)分別是等比數(shù)列的

13、第一項(xiàng)、第二項(xiàng)、第三項(xiàng)(I)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(II)設(shè)數(shù)列對(duì)任意的,求數(shù)列的前n項(xiàng)和真題：【15四川文科】設(shè)數(shù)列an(n1，2，3)的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足Sn2ana3，且a1，a21，a3成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn. 【15浙江文科】已知數(shù)列和滿(mǎn)足，.（1）求與;（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.4.累加（形如）、累乘法求通項(xiàng)例64：已知的首項(xiàng)，求的通項(xiàng)公式，并求的值例65：數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)例66：如果數(shù)列中求數(shù)列例67：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式【15江蘇文科】數(shù)列滿(mǎn)足，且（），則數(shù)列的前10項(xiàng)和為 5.兩邊同加系數(shù)法求通項(xiàng)（形如，兩邊同加）

14、例68：數(shù)列中，,，求的通項(xiàng)公式例69：數(shù)列中，求通項(xiàng)公式例70：已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式6.倒數(shù)變換法（同除）例71：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。72：已知是首項(xiàng)為2的數(shù)列，并且，求通項(xiàng)公式練習(xí)：15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，且是的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式16.設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n=1,2,3,)，則它的通項(xiàng)公式是= 17.數(shù)列an中，a1=2, ，則= 7.其它題型分類(lèi)討論例73：，求數(shù)列 例74：，求數(shù)列周期數(shù)列例75： ，求數(shù)列例76：如果已知數(shù)列，求例77：已知數(shù)列滿(mǎn)足，（），則有關(guān)等和與等積例:78：數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式例79：數(shù)列滿(mǎn)足,求數(shù)列

15、an的通項(xiàng)公式例80：已知數(shù)列,求此數(shù)列an的通項(xiàng)公式五：數(shù)列的求和1.公式法:利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。1、 等差數(shù)列求和公式： 2、 等比數(shù)列求和公式：3、 前個(gè)正整數(shù)的和 前個(gè)正整數(shù)的平方和 前個(gè)正整數(shù)的立方和 公式法求和注意事項(xiàng)（1）弄準(zhǔn)求和項(xiàng)數(shù)的值；（2）等比數(shù)列公比未知時(shí)，運(yùn)用前項(xiàng)和公式要分類(lèi)。例81：求數(shù)列的所有項(xiàng)的和 例82：求和()例83：已知，求的前n項(xiàng)和例84：等比數(shù)列中，已知對(duì)任意自然數(shù)n,求的和例85：等差數(shù)列中，公差，且，則 .例86：已知，且，則 .2.分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分

16、為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。例87：已知數(shù)列中，求 例88：求數(shù)列的前n 項(xiàng)和例89：求的和真題：【15福建文科】等差數(shù)列中，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求的值3.錯(cuò)位相減法：（考試重點(diǎn)）主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差和等比. 求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的式子和原式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和。錯(cuò)位相減法注意事項(xiàng)1 ：要考慮當(dāng)公比x為值1時(shí)為特殊情況 2 ：錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng)例90：求和： 例91：已知 ，求的前n項(xiàng)和4.裂項(xiàng)相消法: 實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。例91：求和： 例93：求和例94：數(shù)列中，滿(mǎn)足， 。 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)=，求最大的整數(shù)，使得對(duì)任意，均有成立.例95：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.例96：求的和例97：已知數(shù)列滿(mǎn)足數(shù)列的前項(xiàng)和為. （1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求證：.真題：【15安徽文科】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和。5.絕對(duì)值的前n項(xiàng)和求法：實(shí)質(zhì)是分段求和的思想例:97：已知，求的前