銳角三角函數(shù)--講義

1、銳角三角函數(shù) 講義一、基礎知識點：1.定義：如圖在ABC中，C為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記作；把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記作；把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記作；2、三角函數(shù)值（1）特殊角的三角函數(shù)值角度三角函數(shù)030456090sinA01cosA10tanA01不存在（2）銳角三角函數(shù)值的變化：（1）當為銳角時，各三角函數(shù)值均為正數(shù)，且0sin1，0cos1，當045時，sin，tan隨角度的增大而_，cos隨角度的增大而_（3）當045時，sin_cos；當4590時，sin_cos3、 同角、互余角的三角函數(shù)關系：（1）同角三角函數(shù)關系：.；

2、 ；（2）互余銳角的三角函數(shù)關系：，。1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的兩個已知元素（其中至少有一條邊），求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。直角三角形的可解條件及解直角三角形的基本類型如下表：已知條件解法一條邊和一個銳角斜邊c和銳角A直角邊a和銳角A兩條邊兩條直角邊a和b，直角邊a和斜邊c備注：a、b、c為三角形的三邊；A、B、C為三角形的三個內角、S為三角形的面積三、典型例題：1 銳角三角函數(shù)的相關概念例1、如圖1，在RTABC中，C=90，sinA=，則tanB的值為（）ACB圖1ABCDABCDO例2例5例2、如圖，O是ABC的外接圓，AD是O的直徑，若O的半徑是，A

3、C=2，則sinB的值是（ ）ABCD例3：已知在中，C為直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sinA =例4：在中，分別是的對邊，若，則 例5：如圖，在RtABC中，C90，AB5，AC2，則cosA的值是（）A B C DBACDE例6：如圖2，在ABC中，C90，AB10cm，sinA，則BC的長為 _cm.ACBDABO 例7ACB例6變式2圖變式1圖 例7：正方形網(wǎng)格中，如圖3放置，則的值為（）典型例題題型一：求銳角三角函數(shù)的值例1 在RtABC中，C=90，sinB=，點D在BC邊上，且ADC=45，DC=6，求BAD的正切值變式訓練1 如圖，在中，于，若，則的值為（ ）A.

4、 B. C. D.變式訓練2如圖，在等邊ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且ADE=60，BD=4，CE=，則ABC的面積為（ ）A B15C D題型三：化簡計算例1（1）計算：.變式：已知是銳角，且sin(+15)=。計算。特殊角的三角函數(shù)值例1菱形在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則點的坐標為（ ）A B C D變式訓練2. 如圖，直徑為10的A經(jīng)過點C(0,5)和點O (0,0)，B是y軸右側A優(yōu)弧上一點,則OBC 的余弦值為( ). A B C D變式1圖例1圖ABO第4圖第3圖概念鞏固練習1.已知中，AC=4，BC=3，AB=5，則（ ）A. B. C. D. 2.已知為

5、銳角，且，則等于（ ）ABCD3.如圖，已知直角三角形的斜邊長為，則直角邊的長是（ ）ABCD4.正方形網(wǎng)格中，如圖放置，則=（）A B C D5.在ABC中，C90，tanA，則sinB（ ） AB C D6.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點與點重合，折痕為，則的值是（ ）ABCD7、如圖，AB是O的直徑，C、D是圓上的兩點（不與A、B重合），已知BC2，tanADC1，則AB_ 68CEABD（第6題）例1圖第7圖2、銳角三角函數(shù)的應用性問題(1)求線段長、面積、周長例1如圖，測量河寬AB（假設河的兩岸平行），在C點測得ACB30，D點測得ADB60，又CD6

6、0m，則河寬AB為 m（結果保留根號）. 變式1如圖，一個小球由地面沿著坡度i=12的坡面向上前進了10 m，此時小球距離地面的高度為( )A5 m B2m C4m Dm變式2 如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為O，直徑AB是河底線，弦CD是水位線，CDAB，且CD = 24 m，OECD于點E已測得sinDOE =（1）求半徑OD；（2）根據(jù)需要，水面要以每小時0.5 m的速度下降，則經(jīng)過多長時間才能將水排干？AOBECD例2如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DEAB，則這個菱形的面積= cm2（2）測量問題例2、某學校宏志班的同學們五一期間去雙塔寺觀賞牡丹，同時對文宣塔的高度進行了測

7、量，如圖2，他們先在A處測得塔頂C的仰角為30；再向塔的方向直行80步到達B處，又測得塔頂C的仰角為60，請用以上數(shù)據(jù)計算塔高。（學生的身高忽略不計，1步=0.8m，結果精確到1m）（3）、航海問題ABO北東西南)55例3、如圖3，燈塔A在港口0的北偏東55的方向，且與港口的距離為80海里，一艘船上午9時從港口0出發(fā)向正東方向航行，上午11時到達B處，看到燈塔A在它的正北方向，試求這艘船航行的速度（精確到0.01海里/小時）（供選數(shù)據(jù)：sin55=0.8192,cos55=0.5736,tan55=1.4281）四、鞏固練習：1. 如圖，在中，則下列結論正確的是（ ）BCA（第1題）ABC D

8、2. 如圖，在坡屋頂?shù)脑O計圖中，AB=AC，屋頂?shù)膶挾萳為10米，坡角為35，則坡屋頂?shù)母叨萮為 米（結果精確到01米）3. ABC中，C=90，AB=8，cosA=，則AC的長是 ；4.先鋒村準備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（ ）A. B. C. D. DBC5.如圖10，已知RtABC中，AC=3，BC= 4，過直角頂點C作CA1AB，垂足為A1，再過A1作A1C1BC，垂足為C1，過C1作C1A2AB，垂足為A2，再過A2作A2C2BC，垂足為C2，這樣一直做下去，得到了一組線段CA1，A1C1，則CA1= ，BAEDC30圖10

9、ABCD6米5235(第7題圖) 第5題圖 填空第1題圖 填空第2題圖6.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這個破面的坡度為_.7.如圖所示，小華同學在距離某建筑物6米的點A處測得廣告牌B點、C點的仰角分別為52和35，則廣告牌的高度BC為_米(精確到0.1米)(sin350.57，cos350.82，tan350.70；sin520.79，cos520.62，tan521.28)8. =_9. (1) 計算= （2）計算：= 五、課后練習 1如圖，小穎利用有一個銳角是30的三角板測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的水平距離BE為5m，AB為1.5m （即小

10、穎的眼睛距地面的距離），那么這棵樹高是（ ） A（）m B（）m C m D4m2如圖，在等腰RtABC中，C=90o，AC=6，D是AC上一點，若tanDBA=，則AD的長為（ ）（A） 2 （B） （C） （D）1 3已知在中，設，當是最小的內角時，的取值范圍是ABCD4如圖，每個小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點，則ABC的度數(shù)為（ ）A90 B60 C45 D30第11題圖（第5題）第4題圖第7題圖5如圖，矩形ABCD中，ABAD，AB=a，AN平分DAB，DMAN于點M，CNAN于點N則DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）( ) Aa B C D6在ABC中，C90，s

11、inA，則tanB（）ABCD7在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則的值為（ ）ABCD8計算sin45的結果等于_.9在RtABC中,C=90,若AC=2BC,則sin A的值是( )A B2 C D10在RtABC中，C=90，AC=2，BC=1，則tanB= ，sinA= 。11直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，BCAD，AD2，AB4，點E在AB上，將CBE沿CE翻折，使得B點與D點重合，則BCE的正切值為 12如圖，在ABC中，B=45，cosC=，AC=5a，則ABC的面積用含的式子表示是 13.如圖，某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊的A點處發(fā)現(xiàn)海中的B點有人求救，便立即派三名救

12、生員前去營救1號救生員從A點直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊看成是直線)向前跑到C點，再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑3 0 O米到離B點最近的D點，再跳人海中救生員在岸上跑的速度都是6米秒，在水中游泳的速度都是2米秒若BAD=4 5，BCD=6 0，三名救生員同時從A點出發(fā)，請說明誰先到達營救地點B (參考數(shù)據(jù)1.4，1.7)MNBOADOC304514.如圖13，某數(shù)學興趣小組在活動課上測量學校旗桿高度已知小明的眼睛與地面的距離是1.7m，看旗桿頂部的仰角為；小紅的眼睛與地面的距離是1.5m，看旗桿頂部的仰角為兩人相距28米且位于旗桿兩側（點在同一條直線上）請求出旗桿的高度（參考數(shù)據(jù)：，結果保留整數(shù)）15.小剛有一塊含有30角的直角三角板，他想測量其短直角邊的長度，而手中另外只有一個量角器，于是他采用了如下的辦法，并獲得了相關數(shù)據(jù)：第一步，他先用三角板標有刻度的一邊測出量角器的直徑AB的長度為9