高中數(shù)學(xué)競賽解題方法篇不等式

1、高中數(shù)學(xué)競賽中不等式的解法摘要：本文給出了競賽數(shù)學(xué)中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的證明過程，并挑選了一些與這幾類不等式相關(guān)的一些競賽題進行了分析和講解。 希望對廣大喜愛競賽數(shù)學(xué)的師生有所幫助。不等式在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽數(shù)學(xué)中的熱門題型.在解決競賽數(shù)學(xué)中的不等式問題的過程中，常常要用到幾個著名的代數(shù)不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就將探討這幾個不等式的證明和它們的一些應(yīng)用.1排序不等式定理1設(shè)，則有 (倒序積和)（亂序積和）（順序積和）其中是實數(shù)組一個排列，等式當且僅當或時成立.（說明

2、： 本不等式稱排序不等式，俗稱倒序積和亂序積和順序積和.）證明：考察右邊不等式，并記。 不等式 的意義：當時，S達到最大值.因此，首先證明必須和搭配，才能使S達到最大值.也即，設(shè)且和某個搭配時有 （1-1）事實上，不等式（1-1）告訴我們當時，調(diào)換和的位置（其余n-2項不變），會使和S增加.同理，調(diào)整好和后，再調(diào)整和會使和增加.經(jīng)過n次調(diào)整后，和S達到最大值，這就證明了.再證不等式左端,由及已證明的不等式右端，得即 .例1 （美國第3屆中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）設(shè)a,b,c是正數(shù)，求證：.思路分析：考慮兩邊取常用對數(shù)，再利用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)，則有根據(jù)排序不等式有：以上兩式相加，兩邊再分別加

3、上 有 即 故 .例2 設(shè)a,b,c，求證：.思路分析：中間式子每項都是兩個式子之和，將它們拆開，再用排序不等式證明.證明：不妨設(shè)，則 且根據(jù)排序不等式，有兩式相加除以2，得再考慮，并且利用排序不等式，兩式相加并除以2，即得綜上所述，原不等式得證.例3 設(shè)，而與是的兩個排列.求證：. （1-2）思路分析：已知條件中有兩組有序?qū)崝?shù)，而式（1-2）具有“積和”形式，考慮使用排序不等式.證明：令 （r=）顯然 因為 ， 且 由排序不等式 又因為 所以 且（注意到0）故 故 原式得證.2.均值不等式定理2 設(shè)是n個正數(shù)，則稱為均值不等式.其中， ， ，分別稱為的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，均方

4、根平均數(shù).證明： 先證 .記 ，令 ，則 原不等式其中 取 使 則 由排序不等式，易證下證 因為 所以 .從上述證明知道，當且僅當時，不等式取等號.下面證明 對n個正數(shù)，應(yīng)用 ，得即 （等號成立的條件是顯然的）.例4已知，求證：.證明：由于 ，有 從而 下證 ， 即 。又因為 ，等號在x=(這時y=)時取得所以 . 例5（IMO）設(shè)a,b,c是正實數(shù)，且滿足abc=1.證明：證明：令 ，其中x,y,z是正實數(shù)，將原不等式變形為 （2-1）記 ，注意到u,v,w任意兩個之和是一個正數(shù)，所以它們中間至多有一個負數(shù).如果恰有一個負數(shù)，那么，（2-1）式成立.如果這三個數(shù)都大于0，由算術(shù)幾何平均不等式

5、同理可證，于是 即 ，（2-1）式得證.例6 已知，且.求證：.思路分析：左邊各項形式較復(fù)雜，首先將其化簡為.左邊為和的形式，但其各項之和難與右邊聯(lián)系，利用算術(shù)平均大于幾何平均難以求證，而左邊各項可看為倒數(shù)形式，嘗試用調(diào)和平均.證明：不等式左邊化為，對，利用有即 所以 .3柯西不等式定理3 設(shè)，（i=1,2,n）,恒有不等式，當且僅當時，等式成立. 構(gòu)造二次函數(shù)證明當或時，不等式顯然成立令 ，當中至少有一個不為零時，可知A>0構(gòu)造二次函數(shù)，展開得： 故的判別式移項得，得證。 向量法證明令.則對向量有，由，得當且僅當，即平行時等號成立。數(shù)學(xué)歸納法證明i ) 當n=1時，有，不等式成立。當n

6、=2時，因為，故有當且僅當，即時等號成立。ii）假設(shè)n=k時不等式成立，即當且僅當時等號成立。那么當n=k+1時，當且僅當時等號成立，即時等號成立。于是n=k+1時不等式成立。由i ) ii）可得對于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。利用恒等式證明 先用數(shù)學(xué)歸納法證明如下恒等式，然后證明柯西不等式：對于兩組實數(shù)有柯西拉格朗日恒等式由實數(shù)性質(zhì)可得柯西不等式成立。 以上給出了柯西不等式的幾種證法。不難看出柯西不等式的重要性。它的對稱和諧的結(jié)構(gòu)、廣泛的應(yīng)用、簡潔明快的解題方法等特點深受人們的喜愛。所以，若將此定理作進一步剖析，歸納它的各類變形，將會有更多收獲?？挛鞑坏仁降耐茝V 命題1若級數(shù)收斂，則有不

7、等式。證明：收斂，收斂，且從而有不等式成立。 命題23若級數(shù)收斂，且對有，則對定義在上的任意連續(xù)函數(shù)有不等式證明：因為函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，所以函數(shù)在上可積，將區(qū)間n等分，取每個小區(qū)間的左端點為，由定積分的定義得：令，則收斂，由柯西不等式得從而有不等式。赫爾德不等式4設(shè)滿足則：，等號成立的充分必要條件是證明：首先證明時，對任何正數(shù)A及B，有.對凹函數(shù)有：令代入以上不等式并對于，把這n個不等式相加.即成立。等號成立的充分必要條件是：即例7 設(shè)，求證：.思路分析：注意到式子中的倒數(shù)關(guān)系，考慮運用柯西不等式來證明.證明：因為0，故由柯西不等式，得所以 .例8 已知實數(shù)，e滿足，求e的取值范圍.思路分析：

8、由聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式.解：因為即 ，即 ，所以，故 .評述：此題十分巧妙地應(yīng)用柯西不等式求最值，十分典型，它是將重要不等式應(yīng)用于求最值問題的一道重要題目.例9 滿足，求的最小值.解：容易猜到時，取最小值.為了證明這一點，利用柯西不等式，得 ，只需要證明 等價于 （3-1）由幾何算術(shù)平均不等式，得 ，同理可證， ， ，以上三式相加，（3-1）式得證，進而證得 的最小值是，當且僅當時。評述：柯西不等式中的的項如何拆成兩個因式和的積，可以說是應(yīng)用此不等式的主要技巧（上例，我們將中的表示為和的積），正因為可以按照我們的需要加以分解，柯西不等式的應(yīng)用更為廣泛.例10 試問：當且僅當實數(shù)滿足什么條件是，

9、存在實數(shù)使得成立，其中，i為虛數(shù)單位，k=0,1,n. 證明你的結(jié)論.（高中聯(lián)賽，1997）思路分析：將成立轉(zhuǎn)換到實數(shù)范圍內(nèi)求解。根據(jù)表達式的特點，結(jié)合柯西不等式尋找的范圍.解：將轉(zhuǎn)化到實數(shù)范圍內(nèi)，即 （3-2）若存在實數(shù)使（3-2）成立，則.由柯西不等式可得 （3-3）如果，由（3-2）可知，從而與 （3-3）矛盾于是得 （3-4）反之若（3-4）成立，有兩種情況：，則取，k=0,1,2,n，顯然（3-2）成立.，記，則不全為0.不妨設(shè)，取 ，并且取 易知（3-2）成立.綜上，所求的條件為 .4切比雪夫不等式定理4 設(shè)，為任意兩組實數(shù)，若且或且，則 （4-1）若且或且，則 （4-2）當且僅當或時，（4-1）和（4-2）中的不等式成立.證明： 設(shè)為兩個有相同次序的序列，由排序不等式有 把上述n個式子相加，得 上式兩邊同除以，得 等號當