高中絕對(duì)值不等式精華適合高三復(fù)習(xí)用可直接打印

1、絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式，基本的絕對(duì)值不等式：|a|-|b|a±b|a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函數(shù)的最小值是5，沒(méi)有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|5得-5y5即函數(shù)的最小值是-5，最大值是5也可以從幾何意義上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之和，顯然當(dāng)-2x3時(shí)，距離之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2這兩點(diǎn)的距離之差，當(dāng)x-2時(shí)，取最小值-5，當(dāng)x3時(shí)，取最大值5 變題1解下列不等式

2、：(1)|+1|>2；(2)|26|<3思路利用f(x)<g(x) -g(x)<f(x)<g(x)和f(x)>g(x) f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉絕對(duì)值后轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次、一元二次不等式組來(lái)處理。解：(1)原不等式等價(jià)于+1>2或+1<(2)解得>或無(wú)解，所以原不等式的解集是|>(2)原不等式等價(jià)于3<26<3即2<<6所以原不等式的解集是|2<<6 1解不等式（1）x-x2-2>x2-3x-4；（2）1解：（1）分析一 可按解不等式的方法來(lái)解.原不等式等

3、價(jià)于：x-x2-2>x2-3x-4或x-x2-2<-(x2-3x-4)解得：1-<x<1+解得：x>-3故原不等式解集為xx>-3分析二 x-x2-2x2-x+2而x2-x+2(x-)2+>0所以x-x2-2中的絕對(duì)值符號(hào)可直接去掉.故原不等式等價(jià)于x2-x+2>x2-3x-4解得：x>-3 原不等式解集為x>-3（2）分析 不等式可轉(zhuǎn)化為-11求解，但過(guò)程較繁，由于不等式1兩邊均為正，所以可平方后求解.原不等式等價(jià)于19x2(x2-4)2 (x±2)x4-17x2+160x21或x216-1x1或x4或x-4注意：在解絕對(duì)

4、值不等式時(shí)，若f(x)中的f(x)的值的范圍可確定(包括恒正或恒非負(fù)，恒負(fù)或恒非正)，就可直接去掉絕對(duì)值符號(hào)，從而簡(jiǎn)化解題過(guò)程.第2變 含兩個(gè)絕對(duì)值的不等式變題2解不等式（1）|1|<|+|；（2）x-2+x+3>5.思路（1）題由于兩邊均為非負(fù)數(shù)，因此可以利用f(x)g(x)f2(x)g2(x)兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)。（2）題可采用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解。解題（1）由于|1|0，|+|0，所以兩邊平方后有：|1|<|+|即有2+1<+2+，整理得(2+2)>1當(dāng)2+2>0即>1時(shí)，不等式的解為>(1)；當(dāng)2+2=0即=1時(shí)，不等式無(wú)解；當(dāng)2+2

5、<0即<1時(shí)，不等式的解為<（2）解不等式x-2+x+3>5.解：當(dāng)x-3時(shí)，原不等式化為(2-x)-(x+3)>5-2x>6x<-3.當(dāng)-3<x<2時(shí)，原不等式為(2-x)+(x+3)>55>5無(wú)解.當(dāng)x2時(shí)，原不等式為(x-2)+(x+3)>52x>4x>2.綜合得：原不等式解集為xx>2或x<-3.請(qǐng)你試試421 解關(guān)于的不等式(>0且1)解析：易知1<<1，換成常用對(duì)數(shù)得：于是1<<10<1<1(1)<0<0解得0<<12不等

6、式|x+3|-|2x-1|<+1的解集為 。解： |x+3|-|2x-1|= 當(dāng)時(shí) x>2 當(dāng)-3<x<時(shí)4x+2<+1 當(dāng)時(shí) 綜上或x>2故填。3求不等式的解集.解：因?yàn)閷?duì)數(shù)必須有意義，即解不等式組，解得又原不等式可化為 (1)當(dāng)時(shí)，不等式化為即 綜合前提得：。(2)當(dāng)1<x2時(shí)，即. 。(1) 當(dāng)時(shí)，(2) ，結(jié)合前提得：。綜合得原不等式的解集為第3變 解含參絕對(duì)值不等式變題3解關(guān)于x的不等式 思路本題若從表面現(xiàn)象看當(dāng)含一個(gè)根號(hào)的無(wú)理根式不等式來(lái)解，運(yùn)算理較大。若化簡(jiǎn)成，則解題過(guò)程更簡(jiǎn)單。在解題過(guò)程中需根據(jù)絕對(duì)值定義對(duì)的正負(fù)進(jìn)行討論。解題原不等式等

7、價(jià)于 當(dāng)即時(shí)， 當(dāng)即時(shí)， x¹-6當(dāng)即時(shí)， xÎR請(qǐng)你試試431解關(guān)于的不等式：分析：本例主要復(fù)習(xí)含絕對(duì)值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關(guān)鍵不是對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，而是去絕對(duì)值時(shí)必須對(duì)末知數(shù)進(jìn)行討論，得到兩個(gè)不等式組，最后對(duì)兩個(gè)不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。解：當(dāng)。2關(guān)于的不等式|1|5的解集為|32，求的值。按絕對(duì)值定義直接去掉絕對(duì)值符號(hào)后，由于值的不確定，要以的不同取值分類處理。解：原不等式可化為46當(dāng)>0時(shí)，進(jìn)一步化為，依題意有，此時(shí)無(wú)解。當(dāng)=0時(shí)，顯然不滿足題意。當(dāng)<0時(shí)，依題意有綜上，=2。第4變 含參絕對(duì)值不等式有解、解集為空與恒成立問(wèn)

8、題變題4若不等式|4|+|3|<的解集為空集，求的取值范圍。思路此不等式左邊含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，可考慮采用零點(diǎn)分段法，即令每一項(xiàng)都等于0，得到的值作為討論的分區(qū)點(diǎn)，然后再分區(qū)間討論絕對(duì)值不等式，最后應(yīng)求出解集的并集，這是按常規(guī)去掉絕對(duì)值符號(hào)的方法求解，運(yùn)算量較大。若仔細(xì)觀察不等式左邊的結(jié)構(gòu)，利用絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合方法或聯(lián)想到絕對(duì)值不等式|+|+|，便把問(wèn)題簡(jiǎn)化。解題解法一 (1)當(dāng)0時(shí)，不等式的解集是空集。(2)當(dāng)>0時(shí)，先求不等式|4|+|3|<有解時(shí)的取值范圍。令4=0得=4，令3=0得=3 當(dāng)4時(shí)，原不等式化為4+3<，即27<解不等式組，>1

9、 當(dāng)3<<4時(shí)，原不等式化為4+3<得>1 當(dāng)3時(shí)，原不等式化為4+3<即72<解不等式，>1綜合可知，當(dāng)>1時(shí)，原不等式有解，從而當(dāng)0<1時(shí)，原不等式解集為空集。由(1)(2)知所求取值范圍是1解法二由|4|+|3|的最小值為1得當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等式解集為空集。解法三： >|4|+|3|4+3|=1當(dāng)>1時(shí)，|4|+|3|<有解從而當(dāng)1時(shí)，原不等式解集為空集。請(qǐng)你試試441對(duì)任意實(shí)數(shù)，若不等式|+1|2|>恒成立，求的取值范圍。思維點(diǎn)撥：要使|+1|2|>對(duì)任意實(shí)數(shù)恒

10、成立，只要|+1|2|的最小值大于。因|+1|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1的距離，|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到2的距離，|+1|2|的幾何意義為數(shù)軸上點(diǎn)到1與2的距離的差，其最小值可求。此題也可把不等式的左邊用零點(diǎn)分段的方法改寫成分段函數(shù)，通過(guò)畫出圖象，觀察的取值范圍。解法一 根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P、A、B，則原不等式即求|PA|PB|>成立|AB|=3，即|+1|2|3故當(dāng)<3時(shí)，原不等式恒成立解法二 令=|+1|2|，則O-33要使|+1|2|>恒成立，從圖象中可以看出，只要<3即可。故<3滿足題意。2對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式|x+

11、1|+|x-2|>a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：經(jīng)過(guò)分析轉(zhuǎn)化，實(shí)質(zhì)上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a應(yīng)比最小值小。解： 由絕對(duì)值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)(x+1)(x-2)0, 即時(shí)取等號(hào)。故a<3說(shuō)明：轉(zhuǎn)化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立問(wèn)題、定義域?yàn)镽等問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問(wèn)題。（在這些問(wèn)題里我們要給自己提問(wèn)題，怎樣把一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到某個(gè)特殊的值的問(wèn)題，常問(wèn)的問(wèn)題是：要使，只要）3已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|<a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍分析（一）|x-4|+|x-

12、3|x-4(x-3)|=1 當(dāng)|x-4|+|x-3|<a在實(shí)數(shù)R上非空時(shí)，a須大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>1（二）如圖，實(shí)數(shù)x、3、4在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P、A、B則有：y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|PA|+|PB|1 恒有y1數(shù)按題意只須a>1 A B P 0 3 4 x（四）考慮|z-4|+|z-3|<a(zc)的幾何意義（五） 可利用零點(diǎn)分段法討論.以上三種情況中任一個(gè)均可滿足題目要求，故求它們的并集，即仍為a>1.變題：1、若不等式|x-4|+|x-3|>a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍2、若不等式|x-4|-|

13、x-3|<a的解集在R上不是空集，求a的取值范圍3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范圍第5變 絕對(duì)值三角不等式問(wèn)題變題5已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：；，則當(dāng)時(shí)，求證：。思路本題中所給條件并不足以確定參數(shù)，的值，但應(yīng)該注意到：所要求的結(jié)論不是的確定值，而是與條件相對(duì)應(yīng)的“取值范圍”，因此，我們可以用 、來(lái)表示,。因?yàn)橛梢阎獥l件得，。解題證明：(1)由，從而有(2)由 從而 將以上三式代入，并整理得請(qǐng)你試試45c高中不等式習(xí)題精選精解一、求取值范圍2、已知，且，求的取值范圍。解：由已知條件，顯然綜上所述的取值范圍是3、正數(shù)滿足，求的最小值。解： （為正數(shù)）5、已知

14、函數(shù)滿足，求的取值范圍。解：由習(xí)已知得： 設(shè)：所以的取值范圍是8、若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。oyxoy解一：設(shè)，原題轉(zhuǎn)換為求方程在上有解。 共有兩種情況，一種是有兩個(gè)根，一種是只有一個(gè)根（如圖所示），由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得方程在上有實(shí)數(shù)解的充要條件為： 注：兩組不等式分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)圖解得所以的取值范圍是解二：由方程得 函數(shù)的值域就是的取值范圍。所以的取值范圍是二、解不等式1、解：不等式與或同解，也可以這樣理解： 符號(hào)“”是由符號(hào)“>”“=”合成的，故不等式可轉(zhuǎn)化為 或。 解得：原不等式的解集為2、.解：+，用根軸法（零點(diǎn)分段法）畫圖如下： 原不等式的解集為。3、解：原式等

15、價(jià)于 ，即 注：此為關(guān)鍵原不等式等價(jià)于不等式組解得：4、解：當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得； 當(dāng)時(shí)，原不等式化為，得 綜合上面各式，得原不等式的解集為：5、關(guān)于的不等式的解集為，求的解集。解：由題意得：，且 則不等式與不等式組同解 得所求解集為6、已知且，關(guān)于的不等式的解集是，解關(guān)于的不等式的解集。解：關(guān)于的不等式的解集是，或 原不等式的解集是。三、證明題2、設(shè),為偶數(shù),證明 證： . 當(dāng)時(shí), ,0 , 0 ,故 ; 當(dāng)有一個(gè)負(fù)值時(shí),不妨設(shè),且,即 . 為偶數(shù)時(shí),0 ,且0 ,故 . 綜合可知,原不等式成立 注：必須要考慮到已知條件，分類討論，否則不能直接得出0 3、求證： 證：設(shè)向量 ,由 ,得注意：當(dāng)時(shí)，即，、方向相同，取等號(hào)。當(dāng)利用公式證明時(shí)，會(huì)得： 的錯(cuò)誤結(jié)論，因?yàn)檫@里取等號(hào) 的條件是，且、方向相反，根據(jù)題設(shè)條件，時(shí)，方向相同，故取不到等號(hào)， 計(jì)算的結(jié)果也使不等式范圍縮小了。4、求證： （）證一：（） 原不等式成立，證畢。證二：當(dāng)時(shí)，原不等式為：，顯然成立； 假設(shè)當(dāng)取-1時(shí)，原不等式成