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1、第四章 立體的投影§41 平面立體的投影及其表面取點 由于平面立體的表面四有若干個多邊形平面所圍成,因此,繪制平面立體的投影可歸結(jié)為回子它的各表面的投影。平面立體各表面的交線稱為棱線。平面立體的各表面是由棱線所圍成,而每條棱線可由其兩端點確定,因此,繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制各棱線及各頂點的投影。作圖時,應(yīng)判別其可見性,把可見棱線的投影畫成粗實線,不可見棱線的投影畫成虛線。一、棱柱(一) 棱柱的投影圖41所示為一正放(立體的表面、對稱平面、回轉(zhuǎn)軸線相對于投影面處于平行或垂直的位置)的正六棱柱直觀圖及投影圖。正六棱柱由頂面、底面和六個側(cè)棱面圍成。頂面、底面分別由六條底棱線圍成(正六
2、邊形);每個側(cè)棱面又由兩條側(cè)棱線和兩條低棱線圍成的(矩形)。1.投影分析(1)正六棱柱的頂面、底面 均為水平面,其水平投影反映頂面、底面的真形,且互相重合;正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。(2)六個側(cè)棱面 其前后兩個棱面為正平面,其水平投影重合,且反映真形;水平投影和側(cè)面投影都積聚成平行于相應(yīng)軸的直線。其余四個側(cè)棱面都為鉛垂面,其水平投影分別積聚成傾斜直線;正面投影和側(cè)面投影均為類似形(矩形),且兩側(cè)棱面投影對應(yīng)重合。由于六個側(cè)棱面的水平投影均有積聚性,故與頂面、底面邊線(底棱線)的水平投影重合。(3)棱線 頂、底面各有六條底棱線,其總前、后兩條為側(cè)垂線,四條為水平線;而六條
3、側(cè)棱線均為鉛垂線。它們的三面投影,請讀者自行分析。2.作圖步驟畫正放棱柱(如正六棱柱)的投影圖時,一般先畫出對稱中心線,對稱線,再畫出棱柱水平投影(如正六邊形);然后根據(jù)投影關(guān)系畫出它的正面投影和側(cè)面投影。應(yīng)注意當(dāng)棱線投影與對稱重合(如圖中棱線AAo側(cè)面投影aao)時應(yīng)畫成粗實線.(二)棱柱表面上取點在平面立體表面上取點,其原理和方法與平面上取點相同,由于正放棱柱的各個表面都處于特殊位置,因此,在其表面上取點均可利用平面投影積聚性作圖,并表面可見性.例如,在增六棱柱表面上有一點M,已知其正面投影m,要作出水平和側(cè)面投影(圖42).由于點M的正面投影是可見的,所以點M必定的左前方的AaoBoB上
4、(參閱41a).而該棱面的鉛垂面,因此點M的水平投影m必在該棱面有積聚性的水平投影aa%b b直線上,再根據(jù)投影關(guān)系由m和(m)求出m.由于棱面AAoBoB處于左前方,側(cè)面投影可見,所以其上的點M的側(cè)面投影也可見,它的水平投影(m)不可見。又如,已知點N的水平投影n,求n和n.由于n可見,所以點N必定在頂面上,而頂面為水平面,其正面投影和側(cè)面投影都具有積聚性.因此,(n)、(n)也必分別在頂面的正面投影和側(cè)面投影所積聚的直線上,均不可見。二、棱錐(一)棱錐的投影 圖43所示為一正放的正三棱錐直觀圖及投影圖。正三棱錐有地面和三個側(cè)棱面圍成。底面又由三條棱線圍成(正三角形),三個側(cè)棱面由三條側(cè)棱線
5、和三條底棱線圍成(三個真形大小相等的等腰三角形)。1.投影分析(1)正三棱錐底面ABC為水平面,其水平投影a b c反映真形,正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線abc和a(c)b。(2)三個側(cè)棱面中的左右兩個側(cè)棱面SAB和SBC為一般位置平面,其三面投影均不反映真形,且側(cè)面投影重合。(3)后側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面(因含側(cè)垂線AC),其側(cè)面投影積聚成斜向直線sa(c),正面投影sac和水平投影sac均不反映真形,且正面投影sac與sab、 sbc重合。(4)三個側(cè)棱面SAB、SBC、SCA的水平投影s a b、s b c、s c a與底面ABC的水平投影a b c重合。(5)底面的三
6、條底棱線中有兩條是水平線AB和BC,一條是側(cè)垂線AC;而三條側(cè)冷縣總,有兩條是一般位置直線SA和SC,一條是側(cè)平線SB,它們的三面投影,請讀者自行分析。2.作圖步驟畫正放的正三棱錐的投影圖是哦,一般可先畫出底面的水平投影(正三角形)和底面的另兩個投影(均積聚為直線);再畫出錐頂?shù)娜齻€投影;然后將錐頂和底面三個頂點的同面投影連接起來,即得正三棱錐的三面投影。也可先畫出三棱錐(底面和三個側(cè)棱面)的一個投影(如水平投影),再依照投影關(guān)系畫出另兩個投影。(二) 棱錐表面上取點在棱錐表面上取點,其原理和方法與在平面上取點相同,如果點在立體的特殊平面上,則可利用該平面投影有積聚性作圖;如果點在立體的一般位
7、置平面上,則可利用輔助線作圖,并表明可見性。如圖44所示,并參閱圖43a,在正三棱錐表面上有一點E,已知其正面投影e,要作出e和e。其作圖原理與在平面上取點時相同。由于e可見,所以點E在左棱面SAB(一般位置平面)上,欲求點E的另兩個投影e、e,必須利用輔助線作圖,具體方法可有以下三種:(1)過點E和錐頂作輔助直線s I,其正面投影sI必通過e;求出輔助線sI的水平投影s I和側(cè)面投影sI,則點E水平投影e必在s I上,側(cè)面投影也必在sI上。(2)也可過點E作底棱AB的平行線,則23/ab且通過e,求出的水平投影(23/ab,必通過e)和側(cè)面投影(23/ab,也必通過e).(3)也可過欲求點在該點所在的棱面上作任意直線.先求出該輔助直線的投影,再求出點的投影(為使圖形清晰,圖中未示出).由于側(cè)棱面SAB處于左方,側(cè)面投影可見,故其上的點E的側(cè)面投影e水平投影e也可見.又如已知點F的水平投影f,求f和f.由于f可見,所以知點F是在后棱面SAC上,而不是在底面ABC
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