第四章 立體的投影

1、第四章 立體的投影§41 平面立體的投影及其表面取點(diǎn) 由于平面立體的表面四有若干個多邊形平面所圍成，因此，繪制平面立體的投影可歸結(jié)為回子它的各表面的投影。平面立體各表面的交線稱為棱線。平面立體的各表面是由棱線所圍成，而每條棱線可由其兩端點(diǎn)確定，因此，繪制平面立體的投影可歸結(jié)為繪制各棱線及各頂點(diǎn)的投影。作圖時，應(yīng)判別其可見性，把可見棱線的投影畫成粗實(shí)線，不可見棱線的投影畫成虛線。一、棱柱（一） 棱柱的投影圖41所示為一正放（立體的表面、對稱平面、回轉(zhuǎn)軸線相對于投影面處于平行或垂直的位置）的正六棱柱直觀圖及投影圖。正六棱柱由頂面、底面和六個側(cè)棱面圍成。頂面、底面分別由六條底棱線圍成（正六

2、邊形）；每個側(cè)棱面又由兩條側(cè)棱線和兩條低棱線圍成的（矩形）。1.投影分析（1）正六棱柱的頂面、底面 均為水平面，其水平投影反映頂面、底面的真形，且互相重合；正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線。（2）六個側(cè)棱面 其前后兩個棱面為正平面，其水平投影重合，且反映真形；水平投影和側(cè)面投影都積聚成平行于相應(yīng)軸的直線。其余四個側(cè)棱面都為鉛垂面，其水平投影分別積聚成傾斜直線；正面投影和側(cè)面投影均為類似形（矩形），且兩側(cè)棱面投影對應(yīng)重合。由于六個側(cè)棱面的水平投影均有積聚性，故與頂面、底面邊線（底棱線）的水平投影重合。（3）棱線 頂、底面各有六條底棱線，其總前、后兩條為側(cè)垂線，四條為水平線；而六條

3、側(cè)棱線均為鉛垂線。它們的三面投影，請讀者自行分析。2.作圖步驟畫正放棱柱（如正六棱柱）的投影圖時，一般先畫出對稱中心線，對稱線，再畫出棱柱水平投影（如正六邊形）；然后根據(jù)投影關(guān)系畫出它的正面投影和側(cè)面投影。應(yīng)注意當(dāng)棱線投影與對稱重合（如圖中棱線AAo側(cè)面投影aao）時應(yīng)畫成粗實(shí)線.(二)棱柱表面上取點(diǎn)在平面立體表面上取點(diǎn),其原理和方法與平面上取點(diǎn)相同,由于正放棱柱的各個表面都處于特殊位置,因此,在其表面上取點(diǎn)均可利用平面投影積聚性作圖,并表面可見性.例如,在增六棱柱表面上有一點(diǎn)M,已知其正面投影m,要作出水平和側(cè)面投影(圖42).由于點(diǎn)M的正面投影是可見的,所以點(diǎn)M必定的左前方的AaoBoB上

4、(參閱41a).而該棱面的鉛垂面,因此點(diǎn)M的水平投影m必在該棱面有積聚性的水平投影aa%b b直線上,再根據(jù)投影關(guān)系由m和(m)求出m.由于棱面AAoBoB處于左前方，側(cè)面投影可見，所以其上的點(diǎn)M的側(cè)面投影也可見，它的水平投影（m）不可見。又如，已知點(diǎn)N的水平投影n，求n和n.由于n可見,所以點(diǎn)N必定在頂面上,而頂面為水平面,其正面投影和側(cè)面投影都具有積聚性.因此,(n)、（n）也必分別在頂面的正面投影和側(cè)面投影所積聚的直線上，均不可見。二、棱錐（一）棱錐的投影 圖43所示為一正放的正三棱錐直觀圖及投影圖。正三棱錐有地面和三個側(cè)棱面圍成。底面又由三條棱線圍成（正三角形），三個側(cè)棱面由三條側(cè)棱線

5、和三條底棱線圍成（三個真形大小相等的等腰三角形）。1.投影分析（1）正三棱錐底面ABC為水平面，其水平投影a b c反映真形，正面投影和側(cè)面投影均積聚為平行于相應(yīng)投影軸的直線abc和a（c）b。（2）三個側(cè)棱面中的左右兩個側(cè)棱面SAB和SBC為一般位置平面，其三面投影均不反映真形，且側(cè)面投影重合。（3）后側(cè)棱面SAC為側(cè)垂面（因含側(cè)垂線AC），其側(cè)面投影積聚成斜向直線sa（c）,正面投影sac和水平投影sac均不反映真形，且正面投影sac與sab、 sbc重合。（4）三個側(cè)棱面SAB、SBC、SCA的水平投影s a b、s b c、s c a與底面ABC的水平投影a b c重合。（5）底面的三

6、條底棱線中有兩條是水平線AB和BC，一條是側(cè)垂線AC；而三條側(cè)冷縣總，有兩條是一般位置直線SA和SC，一條是側(cè)平線SB，它們的三面投影，請讀者自行分析。2.作圖步驟畫正放的正三棱錐的投影圖是哦，一般可先畫出底面的水平投影（正三角形）和底面的另兩個投影（均積聚為直線）；再畫出錐頂?shù)娜齻€投影；然后將錐頂和底面三個頂點(diǎn)的同面投影連接起來，即得正三棱錐的三面投影。也可先畫出三棱錐（底面和三個側(cè)棱面）的一個投影（如水平投影），再依照投影關(guān)系畫出另兩個投影。（二） 棱錐表面上取點(diǎn)在棱錐表面上取點(diǎn)，其原理和方法與在平面上取點(diǎn)相同，如果點(diǎn)在立體的特殊平面上，則可利用該平面投影有積聚性作圖；如果點(diǎn)在立體的一般位

7、置平面上，則可利用輔助線作圖，并表明可見性。如圖44所示，并參閱圖43a，在正三棱錐表面上有一點(diǎn)E，已知其正面投影e,要作出e和e。其作圖原理與在平面上取點(diǎn)時相同。由于e可見，所以點(diǎn)E在左棱面SAB（一般位置平面）上，欲求點(diǎn)E的另兩個投影e、e，必須利用輔助線作圖，具體方法可有以下三種：（1）過點(diǎn)E和錐頂作輔助直線s I,其正面投影sI必通過e;求出輔助線sI的水平投影s I和側(cè)面投影sI，則點(diǎn)E水平投影e必在s I上，側(cè)面投影也必在sI上。（2）也可過點(diǎn)E作底棱AB的平行線，則23/ab且通過e,求出的水平投影(23/ab,必通過e)和側(cè)面投影(23/ab,也必通過e).（3）也可過欲求點(diǎn)在該點(diǎn)所在的棱面上作任意直線.先求出該輔助直線的投影,再求出點(diǎn)的投影(為使圖形清晰,圖中未示出).由于側(cè)棱面SAB處于左方,側(cè)面投影可見,故其上的點(diǎn)E的側(cè)面投影e水平投影e也可見.又如已知點(diǎn)F的水平投影f,求f和f.由于f可見,所以知點(diǎn)F是在后棱面SAC上,而不是在底面ABC