高二數(shù)學(xué)空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用一、基本知識點(diǎn)直線m l ,的方向向量分別為,平面,的法向量分別為21,n n (若只涉及一個(gè)平面,則用n 表示其法向量并在下面都不考慮線線重合、面面重合及線在面內(nèi)的情況。1、平行問題(結(jié)合圖象,直觀感覺 1線線平行k m l =/2線面平行0/=l 3面面平行2121/n k n n n = 2、垂直問題(結(jié)合圖象,直觀感覺 1線線垂直0=m l2線面垂直n k a n a l =/3面面垂直2121=n n n n 3、夾角問題1異面直線CD AB ,所成的角(范圍: 20<cos cos ,.AB CDAB CD AB CD=<>= 2線面角(

2、范圍:20,=><=,cos sin 3二面角(范圍:0A B><-=n a ,22,->=< 4、距離問題1點(diǎn)A到點(diǎn)B222(BABABAzzyyxx-+-+ -= 2點(diǎn)A到線l的距離d在直線l上任取點(diǎn)B=><=,coscos2cos1sin-=,sin=d3點(diǎn)A到面的距離d在平面上任取點(diǎn)B=><=,coscosd=cos4異面直線間ml,間的距離d在直線l上任取點(diǎn)A,在直線m上任取點(diǎn)B向量與異面直線ml,的方向向量,都垂直=><=,coscos><-=21,nn>=<21,nn1212cosn

3、nn n=-1212cosn nn n=FC 1B 1A 1ACBE DD 1 d =cos 5直線l 到平面的距離在直線l 上任取一點(diǎn)A ,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A 到面的距離d 6平面到平面的距離在平面上任取一點(diǎn)A ,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A 到面的距離d二、 典例訓(xùn)練例1、在正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分別是AD 、AB 的中點(diǎn)。1求異面直線E B 1與F C 1所成角的大小; 2求證:異面直線1AC 與C B 1垂直;3求直線1BC 與面11D EFB 所成角的大小。例2、已知四棱錐P ABCD -的底面為直角梯形,AB/CD ,090DAB =,PA 底面ABCD ,且PA=AD=DC

4、=12,AB=1,M 是PB 的中點(diǎn)。1證明:平面PAD 平面 2求AC 與PB 所成的角余弦值的大小3求平面AMC 與平面BMC 所成二面角余弦值的大小D 1C 1B 1A 1A CB D例3、在正方體ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BC 的中點(diǎn)。(1在棱1BB 上是否存在一點(diǎn)M ,使M D 1平面AE B 1,為什么?(2在正方體表面11A ABB 上是否存在點(diǎn)N ,使N D 1平面AE B 1,為什么?例4、如圖所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,3,1,2,9010=AA BC AB ACB (1求三棱柱111C B A ABC -的體積;(2求證111C A

5、B C A 平面(3若D 是1CC 的中點(diǎn),在棱AB 上是否存在一點(diǎn)E ,使11/C AB DE 平面,證明你的結(jié)論 11A 1例5、已知棱長為1的正方體,1AC E ,F 分別是11C B 和11D C 中點(diǎn). (1求證:E 、F 、B 、D 共面; (2求點(diǎn)1A 到平面BDFE 的距離; (3求直線D A 1到平面BDFE 所成的角.例6、如圖,111C B A ABC -是各條棱長均為a 的正三棱柱,D 是側(cè)棱1CC 的中點(diǎn). (1求證:平面D AB 1平面11A ABB ; (2求點(diǎn)C 到平面D AB 1的距離;(3求平面D AB 1與平面ABC 所成二面角(銳角的大小. 1例 7、

6、（2007 浙江卷理）在如圖所示的幾何體中， E A 平面 A B C ， D B 平面 A B C ， A C B C ，且 A C = B C = B D = 2 A E ， M 是 A B 的中點(diǎn) （I）求證： C M E M ； D （II）求 C M 與平面 C D E 所成的角 E A M B C 例 8、2008 浙江卷理） （ 如圖,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直， BE/CF， Ð BCF= Ð CEF= 90 ° ,AD= 3 ,EF=2。 （）求證：AE/平面 DCF； （） AB 的長為何值時(shí),二面角 A-EF-C 的大

7、小為 當(dāng) 60 ° ？ 6 例 9、 （2009 浙江卷理）如圖，平面 P A C 平面 A B C ， D A B C 是以 A C 為斜邊的等 腰直角三角形， E , F , O 分別為 P A ， P B ， A C 的中 點(diǎn)， A C = 16 ， P A = P C = 10 （I）設(shè) G 是 O C 的中點(diǎn)，證明： F G / / 平面 BO E； （II） 證明： D A B O 內(nèi)存在一點(diǎn) M ， F M 在 使 平面 B O E ，并求點(diǎn) M 到 O A ， O B 的距離 例 10、 （2009 寧夏海南卷理）如圖，四棱錐 S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè) 棱

8、的長都是地面邊長的 2 倍， 為側(cè)棱 SD 上的點(diǎn)。 P （）求證：ACSD； （）若 SD平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小 （）在（）的條件下，側(cè)棱 SC 上是否存在一 點(diǎn) E， 使得 BE平面 PAC。 若存在， SE： 求 EC 的值；若不存在，試說明理由。 7 例 11、 （2009 江西卷理）在四棱錐 P - A B C D 中，底面 A B C D 是矩形， P A 平 面 A B C D ， P A = A D = 4 ， A B = 2 . 點(diǎn) M 為 PD 的 中點(diǎn)， AN PC 于 N 點(diǎn). （1）求證：平面 A B M 平面 P C D ； （2）求直線 C D 與平面 A C M 所成的角的大??； （3）求點(diǎn) N 到平面 A C M 的距離. A N M P D O B C 例 12、 （2009 重慶卷理）如圖，在四棱錐 S - A B C D 中， A D / / B C 且 A D C D ； 平 面 C S D 平 面 A B C