65 異步電動機的動態(tài)數(shù)學(xué)模型和坐標(biāo)變換

1、 6.5 異步電動機的動態(tài)數(shù)學(xué)模型和坐標(biāo)變換 本節(jié)提要 異步電動機動態(tài)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) 三相異步電動機的多變量非線性數(shù)學(xué)模型 坐標(biāo)變換和變換矩陣 三相異步電動機在兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 三相異步電動機在兩相坐標(biāo)系上的狀態(tài)方程 一、 異步電動機動態(tài)數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) 2. 交流電機數(shù)學(xué)模型的性質(zhì) （1）異步電機變壓變頻調(diào)速時需要進行電壓（或電流）和頻率的協(xié)調(diào)控制，有電壓（電流）和頻率兩種獨立的輸入變量。在輸出變量中，除轉(zhuǎn)速外，磁通也得算一個獨立的輸出變量。因為電機只有一個三相輸入電源，磁通的建立和轉(zhuǎn)速的變化是同時進行的，為了獲得良好的動態(tài)性能，也希望對磁通施加某種控制，使它在動態(tài)過程中盡量保持恒定，才

2、能產(chǎn)生較大的動態(tài)轉(zhuǎn)矩。 多變量、強耦合的模型結(jié)構(gòu) 由于這些原因，異步電機是一個多變量（多輸入多輸出）系統(tǒng)，而電壓（電流）、頻率、磁通、轉(zhuǎn)速之間又互相都有影響，所以是強耦合的多變量系統(tǒng)，可以先用圖來定性地表示。圖6-43 異步電機的多變量、強耦合模型結(jié)構(gòu) 模型的非線性 （2）在異步電機中，電流乘磁通產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)速乘磁通得到感應(yīng)電動勢，由于它們都是同時變化的，在數(shù)學(xué)模型中就含有兩個變量的乘積項。這樣一來，即使不考慮磁飽和等因素，數(shù)學(xué)模型也是非線性的。模型的高階性 （3）三相異步電機定子有三個繞組，轉(zhuǎn)子也可等效為三個繞組，每個繞組產(chǎn)生磁通時都有自己的電磁慣性，再算上運動系統(tǒng)的機電慣性，和轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)角的

3、積分關(guān)系，即使不考慮變頻裝置的滯后因素，也是一個八階系統(tǒng)。 總起來說，異步電機的動態(tài)數(shù)學(xué)模型是一個高階、非線性、強耦合的多變量系統(tǒng)。 二、 三相異步電動機的多變量非線性數(shù)學(xué)模型 假設(shè)條件： （1）忽略空間諧波，設(shè)三相繞組對稱，在空間互差120°電角度，所產(chǎn)生的磁動勢沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布； （2）忽略磁路飽和，各繞組的自感和互感都是恒定的； （3）忽略鐵心損耗； （4）不考慮頻率變化和溫度變化對繞組電阻的影響。 1. 電壓方程 三相定子繞組的電壓平衡方程為 ： 電壓方程（續(xù)） 與此相應(yīng)，三相轉(zhuǎn)子繞組折算到定子側(cè)后的電壓方程為： 電壓方程的矩陣形式 將電壓方程寫成矩陣形式，并以微分算

4、子 p 代替微分符號 d /dt 或?qū)懗桑?-67b） 2. 磁鏈方程 每個繞組的磁鏈?zhǔn)撬旧淼淖愿写沛満推渌@組對它的互感磁鏈之和，因此，六個繞組的磁鏈可表達為 ： 或?qū)懗桑?-68b） 電感矩陣 式中，L 是6×6電感矩陣，其中對角線元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有關(guān)繞組的自感，其余各項則是繞組間的互感。 實際上，與電機繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過氣隙的漏磁通，前者是主要的。 電感的種類和計算 定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所對應(yīng)的電感，由于繞組的對稱性，各相漏感值均相等； 轉(zhuǎn)子漏感

5、Lk 轉(zhuǎn)子各相漏磁通所對應(yīng)的電感。 定子互感 Lms與定子一相繞組交鏈的最大互感磁通； 轉(zhuǎn)子互感 Lmr與轉(zhuǎn)子一相繞組交鏈的最大互感磁通。 由于折算后定、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)相等，且各繞組間互感磁通都通過氣隙，磁阻相同，故可認(rèn)為： 自感表達式 對于每一相繞組來說，它所交鏈的磁通是互感磁通與漏感磁通之和，因此，定子各相自感為： 轉(zhuǎn)子各相自感為 ： 互感表達式 兩相繞組之間只有互感?；ジ杏址譃閮深悾?（1） 定子三相彼此之間和轉(zhuǎn)子三相彼此之間位置都是固定的，故互感為常值； （2） 定子任一相與轉(zhuǎn)子任一相之間的位置是變化的，互感是角位移 的函數(shù) 第一類固定位置繞組的互感 三相繞組軸線彼此在空間的相位差是&#

6、177;120°，在假定氣隙磁通為正弦分布的條件下，互感值應(yīng)為， 于是， 第二類變化位置繞組的互感 定、轉(zhuǎn)子繞組間的互感，由于相互間位置的變化（見圖6-44），可分別表示為： 當(dāng)定、轉(zhuǎn)子兩相繞組軸線一致時，兩者之間的互感值最大，就是每相最大互感 Lms 。 磁鏈方程 將式（6-69）式（6-75）都代入式（6-68a），即得完整的磁鏈方程，顯然這個矩陣方程是比較復(fù)雜的，為了方便起見，可以將它寫成分塊矩陣的形式 式中 值得注意的是，和兩個分塊矩陣互為轉(zhuǎn)置，且均與轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，它們的元素都是變參數(shù)，這是系統(tǒng)非線性的一個根源。為了把變參數(shù)轉(zhuǎn)換成常參數(shù)須利用坐標(biāo)變換，后面將詳細討論這個問題。

7、 電壓方程的展開形式 如果把磁鏈方程（6-68b）代入電壓方程（6-67b）中，即得展開后的電壓方程 ： 式中，項屬于電磁感應(yīng)電動勢中的脈變電動勢（或稱變壓器電動勢），項屬于電磁感應(yīng)電動勢中與轉(zhuǎn)速成正比的旋轉(zhuǎn)電動勢。 3. 轉(zhuǎn)矩方程 根據(jù)機電能量轉(zhuǎn)換原理，在多繞組電機中，在線性電感的條件下，磁場的儲能和磁共能為 ： 而電磁轉(zhuǎn)矩等于機械角位移變化時磁共能的變化率（電流約束為常值），且機械角位移，于是 轉(zhuǎn)矩方程的矩陣形式 將式（6-81）代入式（6-82），并考慮到電感的分塊矩陣關(guān)系式（6-77）（6-79），得： 又由于 代入式（6-83）得： 該方程適用變壓變頻器供電含有電流諧波三相異步電動機

8、 轉(zhuǎn)矩方程的三相坐標(biāo)系形式 以式（6-79）代入式（6-84）并展開后，舍去負號，意即電磁轉(zhuǎn)矩的正方向為使 q 減小的方向，則 4. 電力拖動系統(tǒng)運動方程 在一般情況下，電力拖動系統(tǒng)的運動方程式是 TL 負載阻轉(zhuǎn)矩； J 機組的轉(zhuǎn)動慣量； D 與轉(zhuǎn)速成正比的阻轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)； K 扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩系數(shù)。 運動方程的簡化形式 對于恒轉(zhuǎn)矩負載，D = 0 ， K = 0 ，則 5. 三相異步電機的數(shù)學(xué)模型 將式（6-76），式（6-80），式（6-85）和式（6-87）綜合起來，再加上，便構(gòu)成在恒轉(zhuǎn)矩負載下三相異步電機的多變量非線性數(shù)學(xué)模型，用結(jié)構(gòu)圖表示出來如下圖所示：異步電機的多變量非線性動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

9、三、 坐標(biāo)變換和變換矩陣 上節(jié)中雖已推導(dǎo)出異步電機的動態(tài)數(shù)學(xué)模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實際應(yīng)用中必須設(shè)法予以簡化，簡化的基本方法是坐標(biāo)變換。 1. 交流電機的物理模型 直流電機物理模型簡單（勵磁繞組d軸上，電樞繞組在q軸上），如果能將交流電機的物理模型（見下圖）等效地變換成類似直流電機的模式，分析和控制就可以大大簡化。坐標(biāo)變換正是按照這條思路進行的。 在這里，不同電機模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動勢完全一致。 （1）交流電機繞組的等效物理模型 （2）等效的兩相交流電機繞組 （3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機模型 再看圖c中的兩個匝數(shù)相等且互相垂直

10、的繞組 M 和 T，其中分別通以直流電流和，產(chǎn)生合成磁動勢 F ，其位置相對于繞組來說是固定的。 如果讓包含兩個繞組在內(nèi)的整個鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動勢 F 自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動勢。 把這個旋轉(zhuǎn)磁動勢的大小和轉(zhuǎn)速也控制成與圖 a 和圖 b 中的磁動勢一樣，那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時，在他看來，M 和 T 是兩個通以直流而相互垂直的靜止繞組。 如果控制磁通的位置在 M 軸上，就和直流電機物理模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時，繞組M相當(dāng)于勵磁繞組，T 相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。 等效的概念 由此可見，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動

11、勢為準(zhǔn)則，圖a的三相交流繞 組、圖b的兩相交流繞組和圖c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f，在三相坐標(biāo)系下的，在兩相坐標(biāo)系下的和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動勢。 現(xiàn)在的問題是，如何求出與和之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的任務(wù)。 2. 三相-兩相變換（3/2變換） 現(xiàn)在先考慮上述的第一種坐標(biāo)變換在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組之間的變換，或稱三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡稱 3/2 變換。 三相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動勢的空間矢量 : 設(shè)磁動勢波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動勢與二相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在軸上的投影都應(yīng)相等， 寫成矩

12、陣形式，得: 考慮變換前后總功率不變，在此前提下，可以證明匝數(shù)比應(yīng)為: 為求兩項到三項的變換陣將三項到兩項的變換陣增廣成可逆的方陣，物理意義在兩項系統(tǒng)上人為加入零軸磁動勢并定義 滿足功率不變的條件 可以求得如下關(guān)系： 這表明保持坐標(biāo)變換前后的功率不變，又要維持磁鏈相同，變換 前后兩項繞組每相匝數(shù)應(yīng)為原三項繞組匝數(shù)的倍于此同時利用上述關(guān)系得三項/兩項變換方陣： 如要從兩相坐標(biāo)系變換到三相坐標(biāo)系2/3變換可求反變換： N3 /N2 值代入式（6-89），得： 3. 兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換） 從上圖等效的交流電機繞組和直流電機繞組物理模型的圖 b 和圖 c 中從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)

13、系 M、T 變換稱作兩相兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡稱 2s/2r 變換，其中 s 表示靜止，r 表示旋轉(zhuǎn)。 把兩個坐標(biāo)系畫在一起，即得下圖。 兩相靜止和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與磁動勢（電流）空間矢量 2s/2r變換公式 兩相旋轉(zhuǎn)兩相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣 寫成矩陣形式，得： 式中 是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣。 對式（6-96）兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得 ： 兩相靜止兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣 則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是 ： 電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動勢）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。 四、 三相異步電動機在兩相坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 前已指出，異步電機的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，坐標(biāo)變換的目

14、的就是要簡化數(shù)學(xué)模型。第6.6.2節(jié)的異步電機數(shù)學(xué)模型是建立在三相靜止的ABC坐標(biāo)系上的，如果把它變換到兩相坐標(biāo)系上，由于兩相坐標(biāo)軸互相垂直，兩相繞組之間沒有磁的耦合，僅此一點，就會使數(shù)學(xué)模型簡單了許多。 1.異步電機在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（dq坐標(biāo)系）上的數(shù)學(xué)模型 兩相坐標(biāo)系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的，其中以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系為最一般的情況，有了這種情況下的數(shù)學(xué)模型，要求出某一具體兩相坐標(biāo)系上的模型就比較容易了。 變換關(guān)系 設(shè)兩相坐標(biāo)軸與三相坐標(biāo)軸的夾角為， 而為坐標(biāo)系相對于定子的角轉(zhuǎn)速，為坐標(biāo)系相對于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速。 變換過程 具體的變換運算比較復(fù)雜， 根據(jù)式（6-98）另0軸為假想軸d軸

15、和A軸夾角為 可得： 寫成矩陣形式： 合并以上兩個方程式得三相靜止ABC坐標(biāo)系到兩項旋轉(zhuǎn)dq0坐標(biāo)系的變換式 （1）磁鏈方程 利用變換將定子的三項磁鏈和轉(zhuǎn)子的三項磁鏈變換到dqo坐標(biāo)系中去，定子磁鏈的變換陣是其中d軸與A軸的夾角為，轉(zhuǎn)子磁鏈的變換陣是是旋轉(zhuǎn)三相坐標(biāo)系變換到不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系。其中 d 軸與 軸的夾角為 。 則磁鏈的變換式為： 把定子和轉(zhuǎn)子的磁鏈表達成電感陣和電流向量乘積，在用和的反變換陣把電流變換到dq0坐標(biāo)上： 磁鏈的零軸分量為 它們各自獨立對dq軸磁鏈沒有影響，可以不考慮則可以簡化。 控制有關(guān)。 代入?yún)?shù)計算，并去掉零軸分量則dq坐標(biāo)系磁鏈方程為 或?qū)懗?式中 dq坐

16、標(biāo)系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感； dq坐標(biāo)系定子等效兩相繞組的自感； dq坐標(biāo)系轉(zhuǎn)子等效兩相繞組的自感。 異步電機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型圖6-50 異步電動機在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型 （2）電壓方程 利用上式A得定子電壓變換的關(guān)系為 先討論A相的關(guān)系 同理 在ABC坐標(biāo)系下A相的電壓方程， 代入得 為dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系對于定子的角速度 由于為任意值因此下式三式成立 同理轉(zhuǎn)子電壓方程為 式中為dq0旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系相對于轉(zhuǎn)子的角速度 同理利用B相和C相的電壓方程求出的結(jié)果與上面一致。 （2）電壓方程 上面的方程整理有定子和轉(zhuǎn)子的電壓方程 令 旋轉(zhuǎn)電動勢向量 則式（6-106a）變成

17、 這就是異步電機非線性動態(tài)電壓方程式。與第6.6.2節(jié)中ABC坐標(biāo)系方程不同的是：此處電感矩陣 L 變成 44 常參數(shù)線性矩陣，而整個電壓方程也降低為4維方程。 （3）轉(zhuǎn)矩和運動方程 dq坐標(biāo)系上的轉(zhuǎn)矩方程為 運動方程與坐標(biāo)變換無關(guān)，仍為 其中電機轉(zhuǎn)子角速度。 階數(shù)下降，但非線性、強耦合、多變量性質(zhì)未變。 異步電機在dq坐標(biāo)系上的動態(tài)等效電路 2. 異步電機在坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 在靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型是任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)速等于零時的特例。當(dāng)時，即轉(zhuǎn)子角轉(zhuǎn)速的負值，并將下角標(biāo)改成，則式（6-105）的電壓矩陣方程變成 而式（6-103a）的磁鏈方程改為 利用兩相旋轉(zhuǎn)變換陣，可得 代

18、入式（6-107）并整理后，即得到坐標(biāo)上的電磁轉(zhuǎn)矩 式（6-108）式（6-110）再加上運動方程式便成為坐標(biāo)系上的異步電機數(shù)學(xué)模型。這種在兩相靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型又稱作Kron的異步電機方程式或雙軸原型電機（Two Axis Primitive Machine）基本方程式。 3. 異步電機在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型 另一種很有用的坐標(biāo)系是兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸仍用d，q表示，只是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)速度等于定子頻率的同步角轉(zhuǎn)速。而轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為，因此 dq 軸相對于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速，即轉(zhuǎn)差。代入式（6-105），即得同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程 在二相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程 磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運動方程均不變。 兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的突出特點是，當(dāng)三相ABC坐標(biāo)系中的電壓和電流是交流正弦波時，變換到dq坐標(biāo)系上就成為直流。 4、按轉(zhuǎn)子磁場定向下的數(shù)學(xué)模型 在dq坐標(biāo)系放在同步旋轉(zhuǎn)磁場下使d軸與轉(zhuǎn)子磁場的方向重合此時轉(zhuǎn)子的d軸的磁通分量為0，既有下式。帶入式（6-111） 三四行出現(xiàn)零元素，減少了耦合，簡化了模型 上式中解得，帶入dq坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)矩方程有如下結(jié)果， 這個關(guān)系和直流電機的轉(zhuǎn)矩方程非常接近了，如果