圍墻用磚優(yōu)化模型

1、13數(shù)學(xué)建模競賽圍墻用磚優(yōu)化模型利云龍 10級數(shù)控技術(shù)一班數(shù)學(xué)建模協(xié)會組織部 選修數(shù)學(xué)建模課胥麗楠 10級市場營銷一班學(xué)建模協(xié)會組織部 選修數(shù)學(xué)建模課戚龍飛 10級數(shù)控技術(shù)二班學(xué)建模協(xié)會組織部 選修數(shù)學(xué)建模課日 照 職 業(yè) 技 術(shù) 學(xué) 院圍墻所圍面積最大模型摘要通過優(yōu)化知識對圍墻的建法進行討論，在對圍墻的強度進行分析后建立了最貼合實際的數(shù)學(xué)圍墻用磚優(yōu)化模型。一： 由于題目中沒有告訴磚的厚度，通過標(biāo)準(zhǔn)磚的長、寬、高之比為4：2：1確定了磚的寬度運用為0.1m，為了更貼合實際考慮了門口的存在，將其寬度設(shè)置為了2 m.，利

2、用AutoCAD作出了相關(guān)的方案圖。二：利用了層次分析法對圍墻的強度進行了分析，同時利用Matlab進行編程，最終確定了二分之一磚墻的圍墻建法。并利用了AutoCAD畫出了圍墻的拐角處連接，以及整個圍墻的俯視圖。三：通過對題目的分析列出了相關(guān)的方程，對方程進行求導(dǎo)，求出了面積的最大值。同時又求出了不考慮門口的情況時圍墻面積的最大值，將這兩種情況進行了對比。最后記對模型進行了評價與推廣。關(guān)鍵詞：二分之一磚墻 數(shù)學(xué)優(yōu)化 層次分析法 AutoCAD Matlab1 問題重述在長江中有一個風(fēng)景秀麗的小島，某集團承包下該小島的開發(fā)權(quán)以后想在島上建一個度假村。開發(fā)的過程中，按照慣例，要先用磚圍城一個矩形圍

3、墻，以便存放建筑材料。島上的建筑拆遷時，恰好留下了一批舊磚，可以利用這批舊磚來建圍墻，舊磚的長度是0.2m，厚度是0.05m，磚的總數(shù)量是12000塊。在建圍墻時，要求圍墻的高度不能低于2m，圍墻圍住的面積越大越好。試問該如何來建圍墻？2 問題分析本題要求，在小島上建造一個矩形圍墻，以便存放建筑材料。磚的總數(shù)量是12000塊，長度是0.2m，厚度是0.05m。要求圍墻的高度不能低于2m，建立圍墻圍住的面積最大的一般數(shù)學(xué)模型與建造的方案。首先，我們需對磚墻的鋪法進行討論，來確定一種鋪墻方法來用來建造本題中的矩形圍墻。其次，我們對各種墻體在一定的用磚量的前提下分別進行討論，以此用來確定最好的鋪墻方

4、法。最后，列出面積方程，并進行相關(guān)求解。3模型的假設(shè)1、 假設(shè)所建圍墻處的地面較平整，無太大的溝壑之處，以及其他外界因素對圍墻的影響。2、 假設(shè)所有的磚都是等大的、規(guī)則的、完整的，無破裂現(xiàn)象。3、 建設(shè)所建的圍墻是標(biāo)準(zhǔn)的矩形，無彎曲偏離現(xiàn)象。4、 假設(shè)磚與磚之間的空隙省略不計。4符號說明符號說明圍墻的長圍墻的寬磚的長度磚的寬度磚的厚度磚的總數(shù)門口的寬度門口所用磚的總數(shù)圍墻的高度圍墻的周長圍墻所圍成的面積5模型的建立與求解1.模型的規(guī)定（1）由于題目中并沒有告訴磚塊的寬度，因此按照標(biāo)準(zhǔn)磚塊來看，即磚的長、寬、高之比為4:2:1，也就是磚塊的寬度按0.1m計算。如圖5-1圖5-1（2）由于圍墻的高

5、度不能低于2m，為了節(jié)約材料則按2m計算。（3）由于所建圍墻是用于存放建筑材料，因此必須考慮門口的存在，由于建筑材料相對較重且比較龐大，因此門口的寬度不能小于2m,為了節(jié)省材料，門口的寬度按2m計算。（4）由于所建的圍墻是矩形，則必須考慮拐角的建法，為了節(jié)約材料，則矩形圍墻的各邊都采用如圖5-2所示的建法。由于矩形的各邊都采用了如圖所示的建法，因此首尾相接就可以將矩形連接起來圖5-2（5）由于存在門口，則需考慮用磚情況，如圖5-3為門口用磚的示意圖圖5-32.層次分析法確定鋪墻方法由于砌墻的方式有很多，四分之一磚墻、二分之一磚墻一磚墻等。如圖5-4所示。. 四分之一磚墻 二分之一磚墻一磚墻圖5

6、-4（1） 當(dāng)采用四分之一磚墻建時，則圍墻的周長為：（2） 當(dāng)采用二分之一磚墻建時，則圍墻的周長為：（3）當(dāng)采用一磚墻建時，則圍墻的周長為：由以上可以看出當(dāng)圍墻的寬度越寬時，圍墻的周長約短。圍成的面積越小，然而為了獲取最大的面積則圍墻的寬就應(yīng)該最小。因此圍墻的的寬度越窄越好。在此基礎(chǔ)上我們用層次分析法進行考慮。（1）根據(jù)問題的分析，將決策問題分解為3個層次，最上層為目標(biāo)層，即選擇墻體鋪法；最下層為方案層，有、3個供選擇建法，中間為準(zhǔn)則層，有墻體牢固程度、墻體用磚量兩個準(zhǔn)則。各層次之間用直線連接如圖5-5所示：圖5-5（2）準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的比較矩陣則 故第二層元素排序總權(quán)重為（3）方案層對準(zhǔn)則層

7、的比較矩陣 則第三層的成對比較矩陣的權(quán)向量、最大特征根和一致性檢驗指標(biāo)，結(jié)果如下表所示。 （4）組合權(quán)重四分之一磚墻對目標(biāo)層的組合權(quán)重為：二分之一磚墻對目標(biāo)層的組合權(quán)重為；一磚墻對目標(biāo)層的組合權(quán)重為；因此選擇二分之一磚墻為鋪設(shè)方法。3.建立方程并求解由已知可列出方乘組為：由以上公式可得：把帶入上式得：對上式進行求導(dǎo)得：令，得把代入原式得：當(dāng)不考慮門口的存在時可列出方程組為：整理以上公式可得：把代入上式可得：對上式進行求導(dǎo)得：令，得：把代入原式可得綜合上述得：情況1：考慮墻門，則情況2：不考慮墻門，則6模型的評價6.1模型的優(yōu)點1、本文從實際問題出發(fā)，首先分析了建圍墻的不同方法，建立了所圍面積最

8、大的數(shù)學(xué)模型，然后利用層次分析法分析了不同圍墻的強度，最終制定了比較貼合實際的圍墻的建法。2、模型依據(jù)了矩形中正方形的面積最大的理論，從而確定了圍墻的形狀為正方形，通過求出正方形的周長最終確定了正方形的邊長，最后求出了圍墻所圍成的面積。3通過畫的圖可以使圍墻的的形狀與建法更明顯，利用數(shù)學(xué)軟件Matlab求解，使結(jié)果精確合理。6.2模型的缺點1、假設(shè)中不考慮地形、磚與磚之間的空隙以及其他因素對圍墻的影響，而實際問題中所建的圍墻必然會受到地形，磚與磚之間的空隙的影響。所以模型的求解有一定的誤差。2、假設(shè)中提到所建的圍墻是標(biāo)準(zhǔn)的矩形，無彎曲偏離現(xiàn)象。從而給施工人員帶來了較大的技術(shù)要求，這也與實際生活

9、有較大的差距。7模型推廣本文是利用優(yōu)化知識建立模型，來解決生活中的優(yōu)化問題。生活中有許多方面都用到了最優(yōu)化問題，比如建一個建筑物時在保證強度合格的情況下怎樣用料最省，以及易拉罐的設(shè)計生活中的優(yōu)化問題。參考文獻1、 2、 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型，第三版.北京：高等教育出版社M，1999.25（3）3、 安莉 高等數(shù)學(xué) 高等教育出版社 2003附錄1、MATLAB程序1> O=1 1/3;3 1;>> v,d=eig(O)v = 0.3162 -0.3162 0.9487 0.9487d = 2 0 0 0>> b=sum(O);>> w=O/bw

10、 = 0.2500 0.75002、MATLAB程序2>> C1=1 1/2 4;2 1 3;1/4 1/3 1;>> v,d=eig(C1)v = 0.5590 -0.2795 + 0.4841i -0.2795 - 0.4841i 0.8062 0.8062 0.8062 0.1938 -0.0969 - 0.1678i -0.0969 + 0.1678id = 3.0078 0 0 0 -0.0539 + 0.5764i 0 0 0 -0.0539 - 0.5764i>> C1=v(:,1);>> b=sum(C1);>> w=C1/bw = 0.3586 0.5171 0.12433、MATLAB程序3>> C2=1 2 3;1/2 1 2;1/3 1/2 1;>> v,d=eig(C2)v = 0.8468 -0.8468 -0.8468 0.4660 0.2330 - 0.4036i 0.2330 + 0.4036i 0.2565 0.