反證法教學(xué)案例設(shè)計[1]

1、反證法 教學(xué)設(shè)計與反思 “反證法”是九年級上冊第二十四章圓和圓的位置關(guān)系中的一部分內(nèi)容。它是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的證明方法，對于一些證明體它有著獨(dú)特，簡便，實用的方法。故反證法的學(xué)習(xí)非常重要。本節(jié)課主要目標(biāo)是了解反證法的基本原理，掌握反證法的一般步驟，會用反證法證明數(shù)學(xué)中的一些簡單命題。一、首先從課程分析和學(xué)情分析著手。 綜合法和分析法，是直接證明中最基本的兩種證明方法，是解決數(shù)學(xué)問題時常用的思維方式。 反證法是間接證明的一種基本方法，但反證法的應(yīng)用需要逆向思維，是學(xué)習(xí)和掌握中的一個難點(diǎn)，所以本節(jié)課的重點(diǎn)是使學(xué)生在動腦思考，動手證明的過程中體會這種證明方法的內(nèi)涵，建立應(yīng)用反證法的感覺。反證法

2、的本質(zhì)就是通過證明逆否命題的真來肯定原命題。2、 讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。 先巧用趣味故事引入，并以視頻的形式呈現(xiàn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并從故事中體會反證法的內(nèi)涵。學(xué)生共同探討總結(jié)出反證法的含義： 反證法是指“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā)，根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理，得出與已知事實（條件、公理、定義、定理、法則、公式等）相矛盾的結(jié)果。這樣，就證明了結(jié)論的否定不成立，從而間接地肯定了原命題的結(jié)論成立。”這種證明的方法，叫做反證法。附： 故事一南方某風(fēng)水先生到北方看風(fēng)水，恰逢天降大雪。乃作一歪詩：“天公下雪不下雨，雪到地上變成雨；早知雪要變成雨

3、，何不當(dāng)初就下雨?！彼耐嵩娪智”灰荒镣牭?，亦作一打油詩諷刺風(fēng)水先生：“先生吃飯不吃屎，飯到肚里變成屎；早知飯要變成屎，何不當(dāng)初就吃屎。”實際上，小牧童正是巧妙運(yùn)用了反證法，駁斥了風(fēng)水先生否定事物普遍運(yùn)動的規(guī)律，只強(qiáng)調(diào)結(jié)果，不要變化過程的形而上學(xué)的錯誤觀點(diǎn)：假設(shè)風(fēng)水先生說的是真理，只強(qiáng)調(diào)變化最后的結(jié)果，不要變化過程也可，那么，根據(jù)他的邏輯，即可得出先生當(dāng)初就應(yīng)吃屎的茺唐結(jié)論。風(fēng)水先生當(dāng)然不會承認(rèn)這個事實了。那么，顯然，他說的就是謬論了。這就是反證法的威力，一個原本非常復(fù)雜難證的哲學(xué)問題被牧童運(yùn)用了“以其人之道，還其人之身”的反證法迎刃而解了。如果說這則故事還尚不能讓我們明白反證法的思路的話，

4、不妨再看看故事二。故事二相傳在古代有一個賢臣被奸臣坑害，判了死罪，皇上念他過去對國有功，采用了一個由命運(yùn)來最后裁定的辦法，用兩張紙片，一張上寫活字，一張上寫死字，處決前由它來抽，抽到活字可赦免，而奸臣陰險歹毒，命人用兩張紙片上都寫上死字，湊巧這個詭計被賢臣的朋友知道了，悲痛地告訴了他，并表示要和他一起揭露奸臣的陰謀，這個賢臣想了想，高興地說：“我有救了！”他叫這個朋友不要聲張，處決前抽紙片時，只見他抽出一張紙片誰也不讓看就吞了下去，監(jiān)斬官只好看剩下的紙片是什么字了。剩下的字無疑是個“死”字，于是這個賢臣就被赦免了。賢臣為什么能死里逃生？賢臣運(yùn)用了反證法?！八馈弊值姆疵媸恰吧弊?。三、從生活實際

5、問題出發(fā)： 問題1、13個人中至少有兩個人的生日在同一個月。這一結(jié)論是否正確？ 問題2、A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊。則C必定是在撒謊，為什么？（分析:假設(shè)C沒有撒謊, 則C話為真.那么A話為假且B話為假，由A話為假, 知B話為真. 這與B話為假矛盾.那么假設(shè)C沒有撒謊不成立;則C必定是在撒謊.） 讓學(xué)生感受到了反證法處處可在，也從這些具體的例子中更加熟悉反證法的步驟。 接著給出問題：通過以上幾個練習(xí)，大家已經(jīng)初步體會到反證法的作用，你能不能總結(jié)一下應(yīng)用反證法的步驟？ 經(jīng)過小組討論學(xué)生不難總結(jié)其步驟，教師對其不完整的地方給以補(bǔ)充。四、反證法的基本步驟： （1）、反

6、設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原命題的反面為真。 （2）、歸謬從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果。 （3）、存真由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立.讓學(xué)生在體驗，探究中學(xué)到了知識，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。5、 在此基礎(chǔ)上又開始應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)問題： 例：求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。 已知：ABC , 求證：ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60° 證明： 假設(shè)ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°則A>60°,B>60°,C>60°A+B+C>60

7、76;+60°+60°=180°即A+B+C>180°，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60° 思考：應(yīng)用反證法的情形： 直接證明困難; 需分成很多類進(jìn)行討論 結(jié)論為“至少”、“至多”、“有無窮多個”-類命題； 結(jié)論為 “唯一”類命題； 反證法的思維方法：正難則反反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的.例如：正面詞等于大于小于是都是至少一個至少n個否定不等于不大于（小于或等于）不小于（大于或等于）不是不都是一個也沒有至多n-1個六、練習(xí)題1、一個三角形中

8、不能有兩個角是直角。 練習(xí)題2、兩直線平行，同位角相等。 通過兩個練習(xí)題，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問題的過程中鞏固方法。七、我對設(shè)計的反思和分析：(1).教學(xué)通過豐富的實例展開，這一方面可以使學(xué)生體會反證法思想與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，另一方面，活生生的例子也會增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)反證法的興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感，使他們感受到反證法思想離自己很近，反證法很有用。 (2).在寬松愉快的環(huán)境中學(xué)生完成了學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生的主體地位得到了體現(xiàn)，主動性得到了充分發(fā)揮，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情空前高漲，就連平時不愛說話的學(xué)生也敢于站起來回答問題了。所有的學(xué)生都動起來了，每個人都學(xué)有所得。誘思探究教學(xué)對大面積提高教學(xué)質(zhì)量的巨大作用

9、，更加堅信學(xué)生的潛力無窮，要給予學(xué)生充分的信任，相信他們解決問題的能力。(3).在組織討論時應(yīng)給足夠的時間給學(xué)生，不僅僅是為了討論而討論，學(xué)生應(yīng)在討論中體會問題的實質(zhì)，并最終形成自己的認(rèn)識，哪怕是很膚淺的認(rèn)識。 (4).抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時也是難點(diǎn)。如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面應(yīng)包括以下三種情況：（1）AB平分CD但CD不平分AB；（2）CD平分AB但AB不平分CD；（3）AB不平分CD且CD不平分AB.統(tǒng)稱為“AB，CD不互相平分”，而學(xué)生往往只考慮第（3）種情況，即AB，CD互相不平分。 在用反證法證明的命題中 經(jīng)常會出現(xiàn)文字命題。如證明命題“梯形的對角線不能互相平分”時切記一定要先