第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)

1、第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)(3) 負整數(shù)指數(shù)幕(4) 正分數(shù)指數(shù)幕(5) 負分數(shù)指數(shù)幕(a 0, m,n N ,且n1)、知識點1. 根式的性質(1 )當n為奇數(shù)時，有n an =a(2) 當n為偶數(shù)時，有T/ua =，(a'0)廠 a,(a <0)(3) 負數(shù)沒有偶次方根(4) 零的任何正次方根都是零2. 幕的有關概念(1)正整數(shù)指數(shù)幕：an = a a aa(nN”)n零指數(shù)幕a0 =1(a =0)1a “ p (a 屮 0. p N )aman =n am(a 0,m,n N ,且n1)第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)(6)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0，0的負分數(shù)指

2、數(shù)幕無意義第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)第五講指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)3. 有理指數(shù)幕的運算性質(1) ar a' = ar s,(a0,r,s Q)(ar)s = ars,(a0,r,s Q)(3) (ab)r =ar as,(a0,b0, r Q)4指數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)y二ax(a - 0且a = 1)叫做指數(shù)函數(shù)。5.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質xy0 < a < 1a > 1y圖象一 Vol 二o；定義域R值域(0 , + m)性過定點(0, 1),即x = 0時，y = 1質定點(1) a > 1 ,當 x > 0 時，y> 1 ；當 x < 0 時，0&

3、lt;y< 1。(2) 0 < a < 1，當 x > 0 時，0<y < 1 ;當 x < 0 時，y> 1。單調性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)對稱性y 一 a和y a關于y軸對稱例題精講：指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學中的一個基本初等函數(shù)，有關指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的題目類型較多，同時也是學習后續(xù)數(shù)學內容的基礎和高考考查的重點，本講對此部分題目類型作了初步總結，與大家共同探討.1求解有關指數(shù)不等式例1已知(a2 +2a +5產>(a2 +2a+5)11，則x的取值范圍是 分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解，注意底數(shù)的取值范圍.解：t a2 2a 5 =

4、(a 1)24 > 4 1 ,二函數(shù)y = (a2 2a 5)x在(亠，a)上是增函數(shù),13x .1 -x，解得 x -.4.x的取值范圍是 1,.評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式， 需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式, 并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論.2. 求定義域及值域問題例2 求函數(shù)y = .1 6x°的定義域和值域.解：由題意可得1 -6心> 0,即6心< 1 , x-2 < 0，故x < 2 . 二函數(shù)f(x)的定義域是 ©,2】.令t =6x 2，則y仝口 ,又 T x W 2，二 x _2 W 0 .

5、0 ：:6x - W 1，即 0 ： t W 1 . 0 W 1 _t ：1，即 0 W y ：:1 .函數(shù)的值域是0,1 .評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求值域時，要注意定義域對它的影響.3. 最值問題例3函數(shù)y=a2x 2ax -1(a . 0且a = 1)在區(qū)間-1,1上有最大值14,則a的值是 分析：令t=ax可將問題轉化成二次函數(shù)的最值問題，需注意換元后t的取值范圍.解：令t =ax，則t 0 ,函數(shù)y二a2x - 2ax -1可化為y =(t -1)1 解得a =丄或a =(舍去)， a的值是3或-. 53 評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求最值時注意一些方法的運用，比如：換元法，整體代入等

6、. 4. 解指數(shù)方程 例4解方程3x 2 -32 " =80 . 解：原方程可化為9 (3丫 -80 3x -9 =0 ,令t =3x (t 0),上述方程可化為1 9t2 -80t -9 =0，解得t =9或t -(舍去), 3x =9 , x =2，經檢驗原方程的解是 -2 ,其對稱軸為t = _1 .當 a .1 時，T丨-1,11,- - W ax W a，即丄 W t W a .aa二當 t =a 時，ymax =(a 1)2 -2 =14 .解得a =3或a =-5 (舍去)；當 0 :a ：1 時，T x 丨-1,1 I a W ax W 1，即 a W t W 1 ,

7、aa16:t =時，ymax1 一2 =14 ,aa評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉化成二次方程求解，要注意驗根.5. 圖象變換及應用問題例5為了得到函數(shù)y=9 3x 5的圖象，可以把函數(shù) y=3x的圖象（）.A .向左平移9個單位長度，再向上平移 5個單位長度B .向右平移9個單位長度，再向下平移 5個單位長度C.向左平移2個單位長度，再向上平移 5個單位長度D .向右平移2個單位長度，再向下平移 5個單位長度分析：注意先將函數(shù) y =9 3x 5轉化為 3x2 5，再利用圖象的平移規(guī)律進行判斷.解：T y=9 3x 3x 2 5，二把函數(shù)y=3x的圖象向左平移2個單位長度，再向 上平移5個

8、單位長度，可得到函數(shù) y=9 3x 5的圖象，故選（C）.評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學數(shù)學的重要方法，利用其直觀性實現(xiàn)數(shù)形結合解題，所以要熟悉基本函數(shù)的圖象， 并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等.6求函數(shù)單調區(qū)間例6 求函數(shù)y =的單調區(qū)間分析 這是復合函數(shù)求單調區(qū)間的問題可設y,u = x2-3x+2，其中y =為減函數(shù)丨宀八 S' J /、丨J13丿13丿u = x2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間（即減減t增）u= x2-3x+2的增區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間（即減、增t減）解：設y| ,u = x2-3x+2,y 關于 u 遞減,<3,'3當x （-

9、 a,）時，u為減函數(shù),23y關于x為增函數(shù)；當x , +a）時，u為增函數(shù)，y關于x為減函數(shù).27指數(shù)函數(shù)的綜合問題a _1例7已知函數(shù)f(x) =-(a>0 且a工1).ax +1(1) 求f(x)的定義域和值域；(2)討論f(x)的奇偶性；(3)討論f(x)的單調性.解： 易得f(x)的定義域為 x | x R.a 1v+1v+1v+1設v = x ,解得ax=-T ax>0當且僅當->0時，方程有解.解->0得-1vy<1.ax +1y -1v _1y_1 f(x)的值域為 v | -1 < yv 1.a_11 _ax/f(-x) =-=- = -f

10、(x)且定義域為 R,. f(x)是奇函數(shù).a+11 +ax(ax 1)-22(3)f(x)=1- -a 1a 11°當a>1時，t ax+1為增函數(shù)，且ax+1>0.為減函數(shù)，從而-a 1f(x) = 1-F-a 1為增函數(shù).2。當0<a<1-a 1時，類似地可得f(x)=a 1為減函數(shù).-a 1例8、設函數(shù)f (x) =a 2x -1(a R)，且對任意x R，均滿足f (-x) = - f (x)。(1)求a的值；(2)求f (x)的值域；(3)解不等式:0< f(x2-2)<1517答案：(1)法一 ：f(-x)= -f(x).a 2心 -

11、1 _ a 2x -1 a -2x _ 1 - a 2x-x-1 2 1 2 2 1 1 2即: a-2x=1=1-a 2x a+a 2I1+2X,. a(1+2x)=1+2x -a=1法二：由特殊到一般：先求出a=1可得2分，再驗證f ( -X)二- f (x)得4分。(2)法一： f(x) = 21 2x=f(x) 01 +2x1 - f (x)解得-1 - f (x) < 1 f (x)的值域是(-1,1).法二：f(x)=?11 +2x=121 2x<1即f (x)的值域是(-1,1).(3)法一：令 ： x2 ,X1X2X： x2 2: 22X1 -2X2 : 0 f (

12、xj ：: f(X2) f (x)在 R 上是增函數(shù) 原不等式即 f(0)< f (x2 X-2)< f (4)/ f(x)在R上是增函數(shù) 0<x2-x-2<4解得-2<x<-1 或 2<x<3原不等式的解集是(-2,-1)U(2,3)、亠一人 2& 、2t -115法二：令t=x -x-2原不等式即0t1+217此不等式等價于1 ： 2t : 16由指數(shù)函數(shù)單調性得0<t<4即 0<x2-x-2<4解得-2<x<-1 或 2<x<3原不等式的解集是(-2,-1)U(2,3).課堂練習、選擇

13、題:1 下列各式中成立的一項1( )A.(n)777n m7B.12 (-3)4 =3 -3m3：、9 =3 3C.4 x3y3 = (x y)4D.2111“152.化簡(a3b2)( -3a2b3r: (1a6b6)的結果3( )A.6aB. - aC.2-9aD. 9a3設指數(shù)函數(shù)f (x)二ax(a . 0,a = 1)，則下列等式中不正確的是A f(x+y)=f(x) f(y)C. f (nx)二f (x)n (n Q)104.函數(shù) y = (x -5) (x -2) 2 A. x | x = 5, x 尸2C. x | x 5f (x-y)f(x) f(y)D. f(xy)n 二f

14、(x)nf(y)n (n N )( )B. x |x 2D. x |2 ： x ： 5或 x 55.若指數(shù)函數(shù)y =ax在1,1上的最大值與最小值的差是1,則底數(shù)a等于1.5-1. 51 _ , 5、5 _ 1A.B.C.D.2 2 2 27.函數(shù)f(x) =2»的值域是()A. (0,1B . (0,1)C . (0,二) D . R2 1,x 蘭0&函數(shù)f(x) =1，滿足f(x)>1的x的取值范圍()x2, x 0A .(T,1)B .(T,C .x | x 0或x-2D .x|x 1 或 x-19.函數(shù)1 x2 ： ：!x2y =(；)2得單調遞增區(qū)間是A .T

15、, 2】B .(-二，TC .2,D .1,222x-xe -e10 .已知f(x)，則下列正確的是2A .奇函數(shù)，在 R上為增函數(shù)B.偶函數(shù)，在 R上為增函數(shù)C.奇函數(shù)，在 R上為減函數(shù)D.偶函數(shù)，在 R上為減函數(shù)二、填空題11 .已知函數(shù)f (x)的定義域是(1, 2),則函數(shù)f(2x)的定義域是 12 .當a > 0且a豐1時，函數(shù)f (x)=ax 2 3必過定點 .論a4 _8引ab( Jb13. 計算 1-2 =詛2 +2Q'ab +4'a4J ' a114. 已知一l<a<0，則三個數(shù)3a,a3,a3由小到大的順序是三、解答題15. ( 1

16、2分)求函數(shù)的定義域.-116. (12分)若 a> 0, b> 0，且 a+b=c,求證：(1)當 r> 1 時，ar+brv cr; (2)當 rv 1 時，ar+br> cr.17. (12分)已知函數(shù)y二a2x 2ax -1(a1)在區(qū)間1,1上的最大值是14,求a的值.18.(12分)(1)已知 f (x)=23x -1m是奇函數(shù)，求常數(shù)m的值;(2) 畫出函數(shù)y =|3x-1|的圖象，并利用圖象回答：k為何值時，方程|3X 11= k無解？有一解？有兩解？19. (14分)有一個湖泊受污染，其湖水的容量為V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量現(xiàn)假設下雨和

17、蒸發(fā)平衡，且污染物和湖水均勻混合r用g(t)二E g(o)- Eef(P 一 0)，表示某一時刻一立方米湖水中所含污染物的克rr數(shù)(我們稱其湖水污染質量分數(shù))，g(0)表示湖水污染初始質量分數(shù)(1) 當湖水污染質量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染初始質量分數(shù)；(2) 分析g(0)：衛(wèi)時，湖水的污染程度如何.20.( 14分)已知函數(shù)(a > 1).(1) 判斷函數(shù)f (x)的奇偶性；(2) 求f (x)的值域；(3) 證明f (x)在(一汽 + g)上是增函數(shù)參考答案(6)、DCDDD AAD DA21二、11. (0,1)；12. (2， 2);13. a3;14. a3 :：: a3 ： 3

18、a ;.、15.解：要使函數(shù)有意義必須:x -1 = 0x =1x二i -0x = 0X -1L定義域為：Ixx R且x =0,x16.解：+br1 十b 陣，其中 o c1,0 cl.C=C) G 丿cc當 r > 1時，I'a +I'b +b =1，所以 ar+br< cr;c c "c c _當 r< 1 時，a. b a . b 所以 ar+br > cr. £丿E丿江廠117解：y = a2x - 2ax -1(a -1),換元為 y = t2 2t -1( t a),對稱軸為 t = 一1. a當a 1 , t = a，即x=1時取最大值，略解得a=3 (a