專題1第2講數(shù)形結(jié)合思想Word版

1、 二、數(shù)形結(jié)合 (1)數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)輔形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合(2)數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)2數(shù)

2、形結(jié)合的途徑(1)通過坐標系“形題數(shù)解”借助于直角坐標系、復(fù)平面，可以將幾何問題代數(shù)化這一方法在解析幾何中體現(xiàn)得相當充分(在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考查的)值得強調(diào)的是，“形題數(shù)解”時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運用的技巧(這是因為三角公式的使用，可以大大縮短代數(shù)推理)實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖像的對應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義如等式(x2)2(y1)24，表示坐標平面內(nèi)以(2,1)為圓心，2為半徑的圓(2)通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造“數(shù)題形

3、解”許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著相對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進行巧妙地轉(zhuǎn)化例如，將a(a>0)與距離互化；將a2與面積互化，將a2b2aba2b22|a|b|cos (60°或120°)與余弦定理溝通；將abc>0且bc>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通；將有序?qū)崝?shù)對(或復(fù)數(shù))和點溝通；將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形(平面的或立體的)另外，函數(shù)的圖像也是實現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常相互滲透，演繹出解題捷徑 例1若f(x)1，當x0,1時，f

4、(x)x，若在區(qū)間(1,1內(nèi)g(x)f(x)mxm有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.思維流程利用數(shù)形結(jié)合求方程解應(yīng)注意兩點(1)討論方程的解(或函數(shù)的零點)可構(gòu)造兩個函數(shù)，使問題轉(zhuǎn)化為討論兩曲線的交點問題，但用此法討論方程的解一定要注意圖像的準確性、全面性，否則會得到錯解(2)正確作出兩個函數(shù)的圖像是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則而采用，不要刻意去數(shù)形結(jié)合1函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且x1,1時，f(x)1x2，函數(shù)g(x)則函數(shù)h(x)f(x)g(x)在區(qū)間5,5內(nèi)零點的個數(shù)是( )A5 B7C8 D10例2(1)使log2 (x)<x1

5、成立的x的取值范圍是_(2)若不等式|x2a|xa1對xR恒成立，則a的取值范圍是_思維流程利用數(shù)形結(jié)合解不等式應(yīng)注意的問題解含參數(shù)的不等式時，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導(dǎo)致運算過程繁瑣冗長如果題設(shè)與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結(jié)合的方法，問題將會順利地得到解決2當x(1,2)時，不等式(x1)2<logax恒成立，則a的取值范圍為()A(2,3 B4，)C(1,2 D2,4) 例3(1)如果實數(shù)x，y滿足(x2)2y23，則的最大值為()A. B.C. D.(2)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(ac)·(bc)0，則|c|的最大值是()A1 B2C

6、. D.思維流程利用數(shù)形結(jié)合求最值的方法步驟第一步：分析數(shù)理特征，確定目標問題的幾何意義一般從圖形結(jié)構(gòu)、圖形的幾何意義分析代數(shù)式是否具有幾何意義第二步：轉(zhuǎn)化為幾何問題第三步：解決幾何問題第四步：回歸代數(shù)問題第五步：回顧反思應(yīng)用幾何意義數(shù)形結(jié)合法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：(1)比值可考慮直線的斜率；(2)二元一次式可考慮直線的截距；(3)根式分式可考慮點到直線的距離；(4)根式可考慮兩點間的距離3對于任意xR，函數(shù)f(x)表示x3，x，x24x3中的較大者，則f(x)的最小值是()A2 B3C8 D14當0<x<，函數(shù)f(x)的最小值為()A4 B2C4 D2

7、1應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化(1)集合的運算及韋恩圖；(2)函數(shù)及其圖像；(3)數(shù)列通項及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖像；(4)方程(多指二元方程)及方程的曲線；(5)對于研究距離、角或面積的問題，直接從幾何圖形入手進行求解即可；(6)對于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問題，可通過函數(shù)的圖像求解(函數(shù)的零點、頂點是關(guān)鍵點)，做好知識的遷移與綜合運用2運用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題時，應(yīng)把握以下三個原則(1)等價性原則在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，

8、但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導(dǎo)(2)雙向性原則在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析(或僅對幾何問題進行代數(shù)分析)在許多時候是很難行得通的例如，在解析幾何中，我們主要是運用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化(3)簡單性原則就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單，而不是去刻意追求代數(shù)問題運用幾何方法，幾何問題運用代數(shù)方法一、選擇題1不等式x2logax<0，在x時恒成立，則a的取值范圍是()A

9、0<a<1 B.a1Ca>1 D0<a2已知f(x)則函數(shù)g(x)f(x)ex的零點個數(shù)為()A1 B2C3 D43已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(f(x)1的零點個數(shù)是()A4 B3C2 D14平面向量a、b，|a|1，|b|，且|2ab|，則向量a與向量ab的夾角為()A. B. C. D5以橢圓的右焦點F2為圓心作一個圓，使此圓過橢圓的中心，交橢圓于M，N兩點，若直線MF1(F1為橢圓的左焦點)是圓F2的切線，則橢圓的離心率為()A2 B.1C. D.6已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)二、填空題7如果函數(shù)y1(|x|2)的圖像與函數(shù)yk(x2)4的圖像有兩個交點，那么實數(shù)k的取值范圍是_8已知1(a>0，b>0)，當ab取最小值時，方程x 的實數(shù)解的個數(shù)是_9已知函數(shù)f(x)(a是常數(shù)且a>0)對于下列命題：函數(shù)f(x)的最小值是1；函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)；若f(x)>0在上恒成立，則a的取值范圍是a>1；對任意的x1<0，x2<0且x1x2，恒有f<.其中正確命題的序號是_三、解答題10設(shè)有函數(shù)f(x)a和g(x)x1，已知x4,0時恒有f(x)