二次函數(shù)根與系數(shù)關(guān)系

1、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達(dá)定理，其逆定理也成立，它是由16世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.它揭示了實(shí)系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，它形式簡(jiǎn)單但內(nèi)涵豐富，在數(shù)學(xué)解題中有著廣泛的應(yīng)用.【知識(shí)要點(diǎn)】b匕3T-rYXi+X,=-石1 .如果方程ax+o）的兩根為上，那么a,a,這就是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2 .如果兩個(gè)數(shù)的和為m,積為n,則以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為/-也工+力=0.3 .若已知一元二次方程的一個(gè)根，可不直接解原方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，求出另一根.4 .求一元二次方程根的對(duì)稱式的值，關(guān)鍵在于利用兩根和及兩根積表示所給對(duì)稱式.crr=-<05 .當(dāng)一元二次方

2、程州+B/+t=0（awO）有兩根41,七時(shí)：若a，則方l。6 +M0II1%二一0程有一正一負(fù)根；（2）若】，a,則方程有兩個(gè)正根；（3）若工1+通=-<0內(nèi)=）0a,a,則方程有兩個(gè)負(fù)根.【趨勢(shì)預(yù)測(cè)】利用根與系數(shù)關(guān)系，可以解決許多有關(guān)方程的問(wèn)題，有些非方程類(lèi)的問(wèn)題我們也可以通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，然后用一元二次方程的知識(shí)來(lái)解.因此預(yù)測(cè)以后競(jìng)賽的重點(diǎn)在以下幾個(gè)方面：求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；求代數(shù)式的值；結(jié)合根的判別式，判斷根的符號(hào)特征；構(gòu)造一元二次方程解題；證明代數(shù)等式，不等式；與一元二次方程的整數(shù)根有關(guān)的問(wèn)題.【范例解讀】題1（1997陜西）已知二次方程ax2+bx

3、+C=0（acw0）有兩異號(hào)實(shí)根m和n,且m<n,那么，二次方程CX+（嗯=°的根的情況是（）（A）有兩個(gè)負(fù)根（B）有兩個(gè)正根（C）兩根異號(hào)（D）無(wú)實(shí)數(shù)根分析首先考慮方程ex+（加一線）。彳-弓=°的判別式的符號(hào).如果由判別式符號(hào)確定方程有實(shí)根，還要通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系來(lái)確定兩根的正負(fù)號(hào).解m,n異號(hào)且m<n,匕mn=-(O1'm<。，n>。，從而a，丹一朋0A方程ex+(那-冷酸-a=0的判別式：J=-?a)a+Aac=a2-m)2+=d(a(w+w)a20.白，故方程ex+(m-nax-a=0必有兩實(shí)根.設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為工1,石，則由根與系數(shù)關(guān)

4、系得11+通那)(0XiXo=->0vY6,C，可知勺，勺均為負(fù)數(shù)，故選(A).題2(1997上海)若a和b是方程工，+2pX+3=0的兩個(gè)實(shí)根，c和d是方程/+2/+3=。的兩個(gè)實(shí)根，e和f是方程/+2(p，-q*)x+3=0的兩個(gè)實(shí)根，則(ac)b-“Q+a)+d)國(guó)+/的值為.分析由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q,2*/一一二亶1一夕)，將(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展開(kāi)，把上列數(shù)值代入，可得所求值.但若全部展開(kāi)，結(jié)果很繁，因此考慮局部展開(kāi)，分步代入.解由方程根與系數(shù)關(guān)系得22ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-

5、2q,f7),則(a-c)(b一二)(口+*)(5+d)(ab+ad-be一二d)(處-ac-cd)_(3+ad-be-3)(3+bd-ac(ad-bc)(bd-ac)八f_abd1-a1cd-b2cd+abc2_3(d2-a2-b2+c2)&+f_3b+d)/2"S"尸+2成_3(44/)_6目+j-20'-/)題3 (1996 祖沖之杯)已知&3是方程X-7x+8=0的兩根，”>3,不解方程，求的值.分析待求式中a,3是不對(duì)稱的，但根與系數(shù)的關(guān)系具有對(duì)稱性，應(yīng)設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與待求式相對(duì)應(yīng)的代數(shù)式一起輔助解決問(wèn)題.解由根與系數(shù)的關(guān)系得a+3=7

6、,a3=8,/+r,3+£)'-24=7'-2><8=33,3%=3+仍=因a>3,故。=而，0-a=-而.工=2+3，3=+3/記a，令/，從而.4+5=2(-+-1+3(03+斤)=2(a+33+用與=也+3乂33=皿1a4841_3=2(4_+3(£工_&n)=+3(a+/)()一6J42rr85i,+3x7x(-a/17)=-一屈,84月“十的+(月-嘰*002烏蘇|J03-雙行22144J8.1掰題4（2000江蘇）已知-2切-5=0,5用+2丹-3=0,其中m,n為實(shí)數(shù)，則界分析根據(jù)兩個(gè)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可作恰當(dāng)?shù)淖冃危?/p>

7、兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu).把兩個(gè)變?cè)闯申P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程，然后用根與系數(shù)關(guān)系來(lái)求值.解由已知等式可變形成2由于m,融的關(guān)系沒(méi)有給定，故應(yīng)分兩種情況:掰=一溶_=。當(dāng)川時(shí)，月11穌HA當(dāng)修時(shí)，可知m,用是方程3r-2x-5:0的兩個(gè)根，則由根與系數(shù)關(guān)系1215/+-=一得耳3,n3陽(yáng)-=u綜合，得用|或3.2題5（1996江蘇）設(shè)1-尸彳+0=0的兩個(gè)實(shí)根為“，3,求以。，一為根的一元二次方程；（2）若以為根的一元二次方程仍是力+g=。,求所有這樣的一元二次方程.分析根據(jù)方程根與系數(shù)關(guān)系求口+0和的值，由此即可作出新方程；根據(jù)新方程的一次項(xiàng)系數(shù)等于-p,常數(shù)項(xiàng)等于q,可求得p,q的值.解

8、由根與系數(shù)關(guān)系得a+3=p,a3=q,=0+£>3喇a(chǎn)+=/-3的，/$=位時(shí)=/.所求方程是-f>L3pg)+/=0；（2）由題意得【則p0.11-10,2.20q0I11根據(jù)七種情況的值依次得以下七個(gè)方程：x2=0,-x=0,9+1=0,/+1=0,J-2x+l=0,/+2M1=0,Q-l=0.其中僅犬+1=0無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去.故所有這樣的一元二次方程有六個(gè)，分別為：了二0,x2-x=0,x2+x=0,xq-2x+1=0,x2+2x+1=0,x3-1=0.題6(2000全國(guó))設(shè)關(guān)于x的二次方程-6k+S)d+(2*-6上-4-*+4=0的兩根都是整數(shù).求滿足條件的所有實(shí)

9、數(shù)k的值.分析根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，可先用十字相乘法求出方程兩根，然后利用兩根都是整數(shù)設(shè)法先消去是求得兩根后，再求出是的值.解原方程可化為優(yōu)-4)(上一2祥+(對(duì)-*-4)工-&-2)&+2)=0.(k-4)(k-2)W0,解得方程兩根為k-22上+24工=-1%=-1.k-4k-A,k-2k-224k-4=k-2=(xh_1心h_1)前十1,心十1,消去心得了肉+3%+2=Q,(&+3)=-2.由于辦都是整數(shù)，故Ij-2|12.ri|2_51410對(duì)應(yīng)的k的值分別為6,3,3.【方法指引】1 .構(gòu)造對(duì)偶式法.對(duì)一個(gè)已知代數(shù)式或一個(gè)已知命題，我們構(gòu)造一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)式或

10、對(duì)應(yīng)的命題，然后一起參與運(yùn)算(通常是加、減、乘、除)，從而使問(wèn)題獲得巧解.這種方法稱為構(gòu)造對(duì)偶式法.常用的構(gòu)造方法有利用倒數(shù)關(guān)系、有理化因式、配對(duì)等.2 .解一元二次方程的整數(shù)根問(wèn)題的基本方法有：(1)直接求解法.若根可用有理式表示，則先求出根，再結(jié)合整除性求解.(2)利用判別式法.在二次方程有根的前提下通過(guò)判別式確定字母或根的范圍，運(yùn)用枚舉法討論，不等式分析求解.(3)運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系.由根與系數(shù)的關(guān)系得到待定字母表示的兩根和、積式，從中消去待定字母，再通過(guò)因式分解和整數(shù)性質(zhì)求解.(4)巧換主元法.若運(yùn)用相關(guān)方法直接求解困難時(shí)，可選擇換主元的方法，結(jié)合整除知識(shí)求解.【綜合能力訓(xùn)練】1 .A

11、ABC的一邊長(zhǎng)為5,另兩邊長(zhǎng)恰好是方程2/72l+切=0的兩根，那么m的取值范圍是.2 .設(shè)石,演是方程1-2(一+以+(上,+2)=。的兩實(shí)根，且/+1)(馬+D=8,則k的值是()(A)-3或1(B)-32(C)1(D)不小于2的一切實(shí)數(shù)3 n工2x+=0*4,n3,若方程2的兩根為a,3,它也是方程4+px+g-U的兩個(gè)根，貝Up=.a4.若abi且有小+2009=0,及婚+20013+5=0,則占的值是()95_2001_2001(A):(B):(C)5(D)-5 .在RtAABC中，/C=90°,若sinA和sinB是方程/一%/51一用=0的兩根，求/A和/B的度數(shù)及k的

12、值.6 .求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程+(jt+l)X+jt-l=0的根都是整數(shù)。h3鏟清題完隹皿后再冒咨整！參考答案【綜合能力訓(xùn)練】ab=-1.設(shè)另外兩邊長(zhǎng)為a、b,則&+6=6,2,因?yàn)閍,b是實(shí)數(shù)，所以心。，即10-4'2。20,.明區(qū)由三角形兩邊之差小于第三邊，有a-b=+姬-4成=癡-7她（5,36-2/HC25,.2，故m的取值范圍為2。2.由根與系數(shù)關(guān)系得了1+/=2(k+1),工用=廿+2,而(再+)(,+1)=可心十(11+/)+1=上'+2+2>+1)+1=/+2上+5.由題意得9+2上+5=3,解得上1=13,月=1。而當(dāng)h-3時(shí)

13、，八-2X0,無(wú)實(shí)數(shù)根，舍去；當(dāng)上=1時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為1和3。故選(C)。3.由以/是方程1 2X + 的兩根得&+%2,兇告.；二：一；由公£是方程I4+p/+。=0的兩根，得口*+p/”=0,/+p+q=O。兩式相減，得L0%/)=74。4.原式可變形為5a2+2001。+9=0,5-1+20011+9=0,“八!/b，又向,1即方，1.a,b是方程5f+20011+9=0的兩根。19a9a'-=-h5,即85.故選(A)。5.由根與系數(shù)關(guān)系，得Jsinj4+sin5=也,卜in工sin3=一左za+zb=90°,-sm5=cosj4°于是有sinj4+cosA=由式兩邊平方，得sin J' cos-4 =-2。sinA-cosA=-k由、式知工口-+_=。X=X=又由、式可得sin工，cos幺是方程2的兩根，則有122sin月=CG5