2.7 函數(shù)的彈性ppt課件

1、上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.1 2.7 函數(shù)的彈性函數(shù)的彈性一、函數(shù)彈性的定義一、函數(shù)彈性的定義二、二、 彈性在經(jīng)濟分析中的應用彈性在經(jīng)濟分析中的應用三、小結(jié)三、小結(jié)上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.21. 函數(shù)的絕對變化率與相對變化率函數(shù)的絕對變化率與相對變化率前面討論的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率為絕對前面討論的函數(shù)改變量與函數(shù)變化率為絕對改變量與絕對變化率改變量與絕對變化率. 但從實踐中得知但從實踐中得知, 僅僅研究僅僅研究函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是很不夠的函數(shù)的絕對改變量與絕對變化率是很不夠的, 還需還需要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率要研究函數(shù)的相對改變量與相對

2、變化率.一、函數(shù)彈性的定義一、函數(shù)彈性的定義上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.3101例如，每單位價格元，種商品漲價甲元；10001乙種商品每單位價格元，也漲價 元。1絕對改變則兩種商品價的量格都是 元，但各與其原來的價格相比，兩者漲價的10%卻有很大的不同，甲種商品漲了幅度，0.1%而乙種商品價格只漲了.因此我們很有必要研究函數(shù)的相對改變量與相對變化率.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.4設函數(shù)設函數(shù) y = f (x)可導，當自變量可導，當自變量 x 在在 x0處給以增量處給以增量 x 時，相應地，函數(shù)時，相應地，函數(shù) y 有增量有增量 00()().yf xxf x 稱稱

3、 , xy 為函數(shù)自變量與因變量的絕對改變量，為函數(shù)自變量與因變量的絕對改變量， 而稱而稱 00,xyxy 為自變量與因變量的相對改變量為自變量與因變量的相對改變量000000/()(),/()y yf xxf xxx xxf x 稱稱為函數(shù)從為函數(shù)從 的相對變化率的相對變化率00 xxx 到到上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.5如如 2yx 當當 x 由由10變到變到12時時, y 由由100變到變到144. 此時，絕對改變量為此時，絕對改變量為 2,44,xy 而相對改變量為而相對改變量為20%,44%.xyxy 表示當表示當 x 由由10變到變到12時，時，x 產(chǎn)生了產(chǎn)生了20%

4、的改變，的改變， 而而y產(chǎn)生了產(chǎn)生了44%的改變的改變上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.644%2.2%2.2(),20%1%yyxx 表示在表示在(10, 12)內(nèi)內(nèi), x 從從 x=10, 每改變每改變 1%時時, y平均改變了平均改變了2.2%，它為從，它為從 x=10 到到 x=12時時, 函函數(shù)數(shù) y = x2 的相對變化率的相對變化率且且上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.7定義定義2.7.1 設函數(shù)設函數(shù) y = f (x) 在點在點 x = x0處可導，函數(shù)處可導，函數(shù)的相對改變量的相對改變量0000()(),()f xxf xyyf x 與自變量的相對改變量與自

5、變量的相對改變量 0 xx 之比之比000000/()(),/()yyf xxf xxxxxf x 稱為稱為 f (x) 在點在點 x = x0 到到 0 xxx 兩點間的相對兩點間的相對2. 函數(shù)彈性的定義函數(shù)彈性的定義上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.8變化率變化率，或稱為從或稱為從x = x0到到 0 xxx 兩點間的彈性兩點間的彈性 而當而當 0 x , 兩點間相對變化率的極限兩點間相對變化率的極限 000/lim/xyyxx 稱為稱為 f(x)在點在點 x = x0的相對變化率，也稱為的相對變化率，也稱為f(x)在在x0的的彈性彈性. 記作 0000000lim().()xx

6、 xxxyyfxxxyf x 0,x xyx 且且上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.9一般的，如果一般的，如果 y = f (x) 可導，稱可導，稱0/lim( )/( )xyyyxfxxx xf x 為為f (x) 的彈性函數(shù)的彈性函數(shù) 函數(shù)函數(shù) f (x) 在點在點 x的彈性的彈性 yx 反映了函數(shù)反映了函數(shù) f (x) 隨自隨自變量的變化而變化的幅度大小變量的變化而變化的幅度大小(靈敏度靈敏度):當當 x 變化變化1%時，函數(shù)時，函數(shù) y 變化了變化了 %.yx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.10由由ydyxdyydxxxdxy 邊際函數(shù)邊際函數(shù) 平均函數(shù)平均函數(shù) 即

7、，彈性可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之商即，彈性可理解為邊際函數(shù)與平均函數(shù)之商注意注意 兩點間的彈性是有方向性的兩點間的彈性是有方向性的, 因為因為“相對性相對性”是對初始值而言的是對初始值而言的.也就是說也就是說: 1221xxxx與與到到到到兩點間的彈性是不同的兩點間的彈性是不同的.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.11即指數(shù)函數(shù)的彈性為線性函數(shù)即指數(shù)函數(shù)的彈性為線性函數(shù)例例2 求函數(shù)求函數(shù) xyae 的彈性函數(shù)的彈性函數(shù) (0).a 解解 .xxyxxya exxyae 例例1 求函數(shù)求函數(shù) byax 的彈性函數(shù)的彈性函數(shù)(0).ab 解解 1,bbyxxyabxbxyax 即冪函數(shù)

8、的彈性為其冪指數(shù)即冪函數(shù)的彈性為其冪指數(shù)b. 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.12二、彈性在經(jīng)濟分析中的應用二、彈性在經(jīng)濟分析中的應用1. 需求彈性與供給彈性需求彈性與供給彈性定義定義2.7.2 設某商品的需求函數(shù)為設某商品的需求函數(shù)為 Q = f (P), 在在 0PP 處可導，稱處可導，稱000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 為需求函數(shù)為需求函數(shù)Q=f(P) 在在P=P0與與 0PPP 兩點間兩點間 的需求價格彈性，的需求價格彈性， 記作記作 (2.7.3)00(,).P PP 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.13而稱而稱000000/lim(

9、)()/()PQ QPfPPPf P 為需求函數(shù)為需求函數(shù)Q=f(P) 在在P=P0處的需求處的需求(價格價格)彈性，彈性， 記作記作 0().P (2.7.4)價格從價格從 000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 0PP 每每 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.14表示表示: 當商品價格為當商品價格為P0時時, 若價格上漲若價格上漲(下降下降)1%時，時， 當把定義中的當把定義中的 P0 換成換成 P 時，所得結(jié)果分別稱為需時，所得結(jié)果分別稱為需及需求的及需求的(價格價格)彈性函數(shù)彈性函數(shù) .( )P 000000/lim()()/()PQ QPfPPPf P

10、 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.15說明說明 需求彈性是刻畫當商品價格變動時需求彈性是刻畫當商品價格變動時, 需求需求 變動的強弱變動的強弱. 由于需求函數(shù)由于需求函數(shù) Qf (P) 是單調(diào)減少是單調(diào)減少函數(shù)函數(shù), 則則P 與與 Q 異號異號, 而而P0, Q0 是正數(shù)是正數(shù), 于是于是00/,/Q QPP 000()PfPQ 都是負數(shù)都是負數(shù).為了用正數(shù)表示需求彈性為了用正數(shù)表示需求彈性, 于是采用需求函數(shù)于是采用需求函數(shù)相對變化率的反號來定義需求彈性相對變化率的反號來定義需求彈性.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.16例例3 某商品的需求函數(shù)為某商品的需求函數(shù)為 120

11、0,QP 求求（2）P=30的需求彈性的需求彈性解解 （1） 10,(20)(30)20,PQQQ 00/20/ 40(30,20)1.5./10/ 30Q QPP 說明價格從說明價格從30降至降至 20，在此區(qū)間內(nèi)，價格每降，在此區(qū)間內(nèi)，價格每降 1%, 需求量從需求量從40平均增加平均增加 1.5%. 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.17（2） 21200,QP 21200( )1,1200/PPPQQPP 則則 (30)1. 需求的彈性函數(shù)為常數(shù)，說明在任何價格需求的彈性函數(shù)為常數(shù)，說明在任何價格 P處，處，彈性都不變，稱為不變彈性函數(shù)彈性都不變，稱為不變彈性函數(shù), 即價格上漲

12、即價格上漲（下降）（下降）1%需求量就會下降（上漲）需求量就會下降（上漲） 1%.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.18例例4 某商品的需求函數(shù)為某商品的需求函數(shù)為 5,PQe 求求（1）需求彈性函數(shù)；）需求彈性函數(shù)；（2）P=3,5,6時的需求彈性時的需求彈性 解解 （1） 51,5PQe 551().55PPPPPee （2） (3)0.6,(5)1,(6)1.2. 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.19(3)0.61, 說明需求變動的幅度小于價格變動說明需求變動的幅度小于價格變動的幅度的幅度 即即P=3時，價格上漲（下降）時，價格上漲（下降）1%，需求，需求量下降量下降(

13、 上漲上漲 ) 0.6%. 一般的一般的, 當當 1 時時, 稱商品稱商品需求在此處缺乏彈性需求在此處缺乏彈性(5)1, 說明當說明當P=5時需求與價格的變動幅度相同時需求與價格的變動幅度相同, 稱商品需求在此處具有單位彈性稱商品需求在此處具有單位彈性(6)1.21, 說明當說明當P=6時需求變動幅度大于價格時需求變動幅度大于價格上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.20變動幅度即變動幅度即 P=6 時，價格上漲（下降）時，價格上漲（下降）1%, 需需求量下降（上漲）求量下降（上漲）1.2% .一般的，若一般的，若 1, 商品需求在此處富有彈性商品需求在此處富有彈性則稱則稱下面討論供給彈性

14、下面討論供給彈性:00PQPQ 由于供給函數(shù)是單調(diào)增加，所以與同號，因此有下列供給彈性定義：上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.21定義定義2.7.3 設某商品的供給函數(shù)為設某商品的供給函數(shù)為 Q=g(P), 在在0PP 處可導，稱處可導，稱000000/()()/()Q Qg PPg PPP PPg P 為供給函數(shù)為供給函數(shù) Q=g(P)在在P=P0與與 PPP 兩點間的兩點間的 供給彈性，供給彈性， 記作記作 00(,).P PP 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.22而稱而稱000000/lim()/()PQ QPg PPPg P 為供給函數(shù)為供給函數(shù)Qg(P) 在在PP0

15、處的供給彈性，處的供給彈性， 記作記作 0().P 2. 需求彈性與總收益需求彈性與總收益總收益總收益=商品的價格商品的價格需求量需求量 商品的需求彈性會引起總收益如何變化商品的需求彈性會引起總收益如何變化? 由于由于上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.23即即 ().RPQPf P ( )( )Rf PPfP ()1()()Pf PfPf P ( )1( ).Rf PP ()()()PPfPf P 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.24(1)()1P 若若可以看出可以看出: 即該商品為缺乏彈性商品時，即該商品為缺乏彈性商品時， 價格上漲價格上漲, 總收益會增加總收益會增加; 價

16、格下降價格下降, 總收益會減少總收益會減少; (2)()1P 若若0.R 0.R 需求量的變動幅度與價格的變動幅度相等，價格的需求量的變動幅度與價格的變動幅度相等，價格的變動不會引起總收益變化變動不會引起總收益變化 即該商品為單位彈性商品時，即該商品為單位彈性商品時， 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.25(3)()1P 0.R 即該商品為富有彈性商品時，即該商品為富有彈性商品時， 價格上漲，總收益減少；價格下降，總收益增加價格上漲，總收益減少；價格下降，總收益增加 綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，綜上所述，總收益的變化受需求彈性的制約，隨商品需求彈性的變化而變化隨商品需求彈性

17、的變化而變化. 一般來說一般來說, 富有彈性富有彈性商品降低價格可以增大收益商品降低價格可以增大收益, 缺乏彈性商品提高價格缺乏彈性商品提高價格可以增大收益可以增大收益. 下面討論總收益的變化率問題下面討論總收益的變化率問題.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.26(),RPQPf P 由由 則則( )1( )1( ).( )RPPRf PPPPRPf P 例例5 某商品的需求函數(shù)為某商品的需求函數(shù)為10.2PQ 說明當價格變化說明當價格變化 1%時時, 總收益將變化總收益將變化1( )%.P 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.27 （1）求需求彈性函數(shù)；）求需求彈性函數(shù)；（2）

18、求）求P=3時的需求彈性，說明其經(jīng)濟意義；時的需求彈性，說明其經(jīng)濟意義； （3）當P=3時，若價格上漲時，若價格上漲 1%，總收益如何變化？，總收益如何變化？解解 （1） 1()2102PPPQPQ .20PP （2） 33(3)0.176,20317 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.28經(jīng)濟意義為經(jīng)濟意義為: 當價格當價格P=3時，若價格上漲（下降）時，若價格上漲（下降） 1%商品的需求量將下降（上漲）商品的需求量將下降（上漲）0.176%. （3） P=3 時，若價格上漲時，若價格上漲1%, 由于由于 (3)1, 則總則總收益增加，且增加的幅度為收益增加，且增加的幅度為 (10.

19、176)%, 即增加即增加 0.824%.上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.293. 需求彈性與邊際收益需求彈性與邊際收益若將商品的價格若將商品的價格P看成需求量看成需求量Q的函數(shù)的函數(shù) , 則則 1( ),PfQ 總收益為總收益為 1( ),RPQQfQ 邊際收益為邊際收益為11( )( ).dRdfQfQQdQdQ 1( ),fQP 1()1dfQdQdQdP 又又上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.3011(1)dRPQPdQdQ PdQdPdP Q 11.( )PP 從中可以看出：對富有彈性商品，增加產(chǎn)品的從中可以看出：對富有彈性商品，增加產(chǎn)品的銷售量可使總收益增加，而對缺乏彈性的商品，銷售量可使總收益增加，而對缺乏彈性的商品，減少產(chǎn)品的銷售量可使總收益增加減少產(chǎn)品的銷售量可使總收益增加上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回首頁.31例例6 某商品的價格某商品的價格P與銷售量與銷售量Q的函數(shù)關系為的函數(shù)關系為 (0,04),PabQ ab而成本函數(shù)為而成本函數(shù)為 321710050.3CQQQ 當邊際收益當邊際收益 ( )67,R Q 需求彈性需求彈性 8922 時，利潤時，利潤 最大最大（1）求利潤最大時的產(chǎn)量；）求利潤最大時的產(chǎn)量；（2）求）求a,b的值的值 上一頁上一頁下一頁下一頁返回首頁返回