初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧：旋轉(zhuǎn)

1、初中數(shù)學(xué)輔助線添加技巧：旋轉(zhuǎn)方法總結(jié)1 .旋轉(zhuǎn)是中考?jí)狠S題中常見題型，在解這類題目時(shí)，什么時(shí)候需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，怎么構(gòu) 造旋轉(zhuǎn).下而，就不同類型的旋轉(zhuǎn)問題，給出構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形的解題方法：遇中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)180。，構(gòu)造中心對(duì)稱；遇90。，旋90。，造垂直：遇60。，旋60。，造等邊：遇等腰，旋等腰.綜上四點(diǎn)得到旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征：等線段，共頂點(diǎn)，就可以有旋轉(zhuǎn).2.圖形旋轉(zhuǎn)后我們需要證明旋轉(zhuǎn)全等，而旋轉(zhuǎn)全等中的難點(diǎn)實(shí)際上是倒角.下面給出 旋轉(zhuǎn)常用倒角，只要是旋轉(zhuǎn)，必然存在這兩個(gè)倒角之一.如圖1,若ZAOB = NCOD,必有ZAOC = /BOD,反之亦然.如圖2,若NA = NO,必有NB = NC.倒角是在

2、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的名詞，其意思是通過(guò)角之間的等量關(guān)系，得到我們所需 要的角度的關(guān)系的過(guò)程.典例精析例1. （1）如圖1,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。到正方形AB'C'D', 圖中我們陰影部分的面積是（）A. 1 .B.立 C一立 D. 13342（2）正方形ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖2所示，將正方形A8CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90。后，8點(diǎn)的坐標(biāo)為 .D'圖1解:(1) A： (2) (4, 0).點(diǎn)撥：本例第2小問是在平面直角坐標(biāo)系中考查旋轉(zhuǎn)變換的作圖，是數(shù)形結(jié)合的完美體 現(xiàn).首先要確定旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)。而不是坐標(biāo)原點(diǎn)。，此處易出現(xiàn)錯(cuò)誤，然后

3、利用平面直角 坐標(biāo)系的特征確定正方形A8CO繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)90。后3的位置，這類題型常見于正方形網(wǎng)格中 的旋轉(zhuǎn)作圖.例2.如圖，E、尸分別是正方形A5C。的邊8C、OC上的點(diǎn)，且NE4F=45。，求證：EF=BE+DF.證明：延長(zhǎng)C8到點(diǎn)G,使得8G=。e，連接AG.四邊形ABC。是正方形，:.ZD = ZABG = 90AB = AD.:.AADFAABG .，AF = AG, ADAF = ZBAG .V NE4 尸= 45。，:.ZDAF + ZBAE = 45Q.A ZDAG + ZBAE = 45° ,即 NE4G = 450.9： AE = AE,：.ZXAFEAAGE .，

4、EF = EG = EB + BG = BE + DF .點(diǎn)撥：旋轉(zhuǎn)圖形可將分散的條件集中到一個(gè)圖形中，從而可充分利用已知條件，找到有 效的解題方法.這種方法在正方形、正三角形以及其它正多邊形中都有著廣泛的應(yīng)用.本題是旋轉(zhuǎn)一個(gè)經(jīng)典模型（半角模型），其中結(jié)論較多.例3.如圖，以/$（7的邊AC、A8為一邊，分別向三角形的外側(cè)作正方形ACEG和 正方形ABDE,連接EC交AB于點(diǎn)，連接BG交CE于點(diǎn)M,求證：BGA.CE.證明：四邊A8O£ AbG是正方形，:.AE = AB,AC = AG,ZEAB = NG4c = 90° .:.ZEAB + ZBAC = ZGAC + A

5、BAC .：.NE4C = ZGAB .，AE4C =AGAB .:.ZAEC = ZABG .V ZAEC + ZAHE = 90°, ZAHE = ZBHM ,:.ZABG + NBHM = 90° .:./EMB = 90° .:.BGLCE.點(diǎn)撥：本題旋轉(zhuǎn)的基本模型，充分體現(xiàn)了利用旋轉(zhuǎn)全等解題，本題是以aABC為基本, 以其兩邊分別向外構(gòu)造正方形，構(gòu)成旋轉(zhuǎn)全等（其中用到了8字倒角），和其類似的還可以 構(gòu)造正三角形以及正五邊形.例4.如圖，在等腰A8C中，AB = AC,ZABC = a ,在四邊形5OEC中，DB=DE,/BDE = 2a, M為CE的中點(diǎn)

6、,連接AM、DM.(1)在圖中畫出£加 關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱的圖形;(2)求證：AM LDM ；(3)當(dāng)夕=時(shí)，AM = DM .解：(2)在(1)中連接A。、AF.由（1）中的中心對(duì)稱可知，OEMdFCW,:.DE = FC = BD.DM = FM"EM = /FCM ,V /BDE = 2a ,：.ZABD = ZABC + /CBD=a + 360。一 /BDE /DEM 一 /BCE=360。- a NDEM 一 /BCE .,: ZACF = 36O0-ZAC£-ZFCM=36O0-a-ZBCE-ZFGW >:.ZABD = ZACF .,: AB

7、 = AC,：.AABD =AACF .:.AD = AF.V DM = FM ,：.AM LDM .（3） a = 45°.V AB = AC. AD = AF.BAC = ZDAF,:.ZADF = ZABC = a .若AM = DM，則AQM為等腰直角三角形，即ZADM =45° ,/. a = 45°點(diǎn)撥：本題中第（1）問已經(jīng)作出了中心對(duì)稱圖形，所以利用中心對(duì)稱證全等的思路很 清晰.本題的難點(diǎn)是利用周角和四邊形的內(nèi)角和為的有關(guān)知識(shí)倒角.初中幾何常用的倒角是 平行線的三線八角、對(duì)頂角、等邊對(duì)等角等.例5.已知:在ABC中，BC=a, AC=h,以AB為邊作

8、等邊三角形A5D.探究下列問題：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，“a=3,且NACN60。，則 CD=；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同惻時(shí)，“4=6,且NAC8=90°,則 CD=；<3）如圖3,當(dāng)NAC8變化，且點(diǎn)。與點(diǎn)。位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及 相應(yīng)的NAC8的度數(shù).圖1圖2佟13(2) 3#-3&；(3)以點(diǎn)。為中心，將DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則點(diǎn)3落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)£聯(lián)結(jié)AE,CE, :.CD=ED, NCOE=60。，AE=CB=u,.,.CDE為等邊三角形，:.CE=CD.當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí)，

9、W CD=CE<AE+AC=a+b；當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CO有最大值，CD=CE=a+b：此時(shí) Z CED= Z BCD= Z ECD=60Q,A NA C8= 120。，因此當(dāng)NAC8=120。時(shí)，CO有最大值是a+從例6.已知NMAN, AC平分NM4M(1)在圖 1 中，若NMAN=120。，NA8C=NAOC=90。，求證：A8+AO=AC：(2)在圖2中，若NM4N=120。，NA3C+NAOC= 180。，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：(3)在圖 3 中：NMAN=60。，NA8C+NAOC=180。，則 A8+AO=AC：

10、若NMA2a (0°<a<180°) , NABC+NAOC= 180。，則 A8+AO=AC (用 含a的三角函數(shù)表示)，并給出證明.圖1圖2解：二證明：AC 平分NM4N, NM42120。，:.NC4B=NCAO=60。，V NA8C=NAOC=90。，:.NAC8=NACO=30。，:.A3 = AO =AC，2：.AB+AD=AC.(2)成立.證法一：如圖，過(guò)點(diǎn)C分別作AM, AN的垂線，垂足分別為E, F,AC 平分 NMAM:.CE=CF,V ZABC+ NAOC=180。，ZADC+ ZCDE=180°,:.NCDE=NABC,V NC

11、ED=/CFB=90。,.CEDACFB,:ED=FB,：.AB+AD=AFBFAE-ED=AF+AE.由（1）知 AF+AE=AC,，A8+AD=AC,證法二：如圖，在AN上截取AG=AC連接CG,V ZCAB=60°, AG=AC.，NAGC=60。，CG=AC=AG,V ZABC+ ZADC= 180°, ZABC+ ZCBG= 180%:.ZCBG=ZADC,AACBGACDA,:BG=AD,，A8+AD=AB+3G=AG=AC：(3)證明：由(2)知，ED=BF, AE=AF.AU在 RlZXAFC 中，cosNCAE = .ACWa /Fcos =，2 ACa:

12、.AF = AC>cos,2：.AB-AD=AFBF+AE-ED=AF+AE=2AF= 2ACcos-2把 a=60°,代入得 A8 + AO = Jl4C. 2cos 2點(diǎn)撥：在第（2）小題中，由題意可知，48 = 60。，有60。角就可把有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)60。, 所以我們作CE_LAM,CF_L4V的實(shí)質(zhì)，就是將CB以頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 60°,從而構(gòu)造了全等三角形，使此題有了解題思路.例7.如圖1,。為正方形A8CD的中心，分別延長(zhǎng)。4、0。到點(diǎn)F、E,使OP=2OA,OE=2OD.連接ER將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到E0&（如圖2）.（1）探究AE

13、i與8n的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)a=30。時(shí)，求證：AAOEi為直角三角形.解：（1） AEi=BFi.證明：.。為正方形ABC。的中心，：OA=OD,9OF=2OA, 0E=20D,：.OE=OF,將EOF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角得到EQFi，%=0A，： /FQB=/EQA, OA=OB,，AE尸BFi；（2）證明：取。田中點(diǎn)G,連接AG,丁 NA。=90。，a=30。，ZEiOA=90°-a=60°,OEi=2OA,：OA=OG,：.ZE OA= ZAGO=ZOAG=60Q,/.AG=GE,，ZGAEi=ZGEiA=30°,，NE】AO=90。，.AOE

14、為直角三角形.例8.如圖，等腰梯形A8CQ中，AD/BC, AD=AB=CD=2, NC=60。，M是8C的中 點(diǎn).<1）求證：MOC是等邊三角形：（2）將MQC繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)（即M。）與AB交于一點(diǎn)E, MC即MC）同時(shí)與AO 交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)、E, F和點(diǎn)A構(gòu)成AEE.試探究AAEF的周長(zhǎng)是否存在最小值.如果不 存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：如果存在，請(qǐng)計(jì)算出AEF周長(zhǎng)的最小值.解:（1）證明：過(guò)點(diǎn)。作。尸_L8C,于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)A作AQ_L5c于點(diǎn)Q,V ZC=ZB=60°/. CP = BQ = AB, CP+BQ=AB又ADP。是矩形，AD=PQ,故 5c=2W,由已知，點(diǎn)M是BC

15、的中點(diǎn)，BM=CM=AD=AB=CD,即MQC中，CM=CD, ZC=60°,故MDC是等邊三角形.（2）解：AAEF的周長(zhǎng)存在最小值，理由如下：連接AM,由（1）平行四邊形A8MO是菱形，AMAB, MAO和MC'。是等邊三角形,ZBMA= Z BME+ ZAME=60Q 9 NEME=NAME+NAME=60。,l NBME=/AMF).在8ME 與 zMMF 中，BM=AM. NEBM=NFAM=60。,/.ABMEAAMF(ASA).：.BE=AF. ME=MFAE+AF=AE+BE=AB.NEME=NOMC=60。，故是等邊三角形，EF=MF.VMF的最小值為點(diǎn)M到

16、AD的距離小,即EF的最小值是小.AEF =AE+AF+EF=AB+EF.A"的周長(zhǎng)的最小值為2 + & .跟蹤訓(xùn)練1 .如怪I,在ABC中,A8=AC,C = 90° ,點(diǎn)D是5。上的任意一點(diǎn)，探究：BD2 + CD2 與A的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2 .如圖，P是等邊A8C內(nèi)一點(diǎn)，若AP=3, PB=4, PC=5,求NA/B的度數(shù).3 .如圖1,在Q4BC£中，AEJ_5c于點(diǎn)£, E恰為8C的中點(diǎn)，tan3 = 2.（1）求證：AD = AEt（2）如圖2,點(diǎn)P在線段8E上，作EF工DP于點(diǎn)、F ,連結(jié)AF.求證：DF - EF = 6f

17、;（3）請(qǐng)你在圖3中畫圖探究：當(dāng)P為線段EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF 垂直直線。P，垂足為點(diǎn)/，連結(jié)心.線段/與4；之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接 寫出你的結(jié)論.4 .請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在RBABC中，ZBAC=90°, A8=A。，點(diǎn)。、E分別為線段8c上兩 動(dòng)點(diǎn)，若ND4E=45。.探究線段8。、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小明的思路是： 把AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到A8E,連接使問題得到解決.請(qǐng)你參考小明 的思路探究并解決下列問題：<1）猜想80、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)

18、點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)在線段C8延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2）,其它條 件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明：（3）已知：如圖（3）,等邊三角形A3C中，點(diǎn)。、E在邊A3上，且NOCE=30。，請(qǐng) 你找出一個(gè)條件，使線段AD.七8能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂 角的度數(shù).圖1圖2圖35 ,請(qǐng)閱讀下列材料:問題：如圖1,在菱形A8CQ和菱形3EFG中，點(diǎn)A B,七在同一條直線上，P是線段。尸的中點(diǎn)，連結(jié)尸G PC.若NABC = /BEF = 60>,探究尸G與PC的位置關(guān)系PGPC的值.小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP交。C于點(diǎn)“，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問題得到解決.請(qǐng)你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：PG（1）寫出上面問題中線段PG與尸C的位置關(guān)系及的值：PC（2）將圖1中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使菱形8EEG的對(duì)角線8歹恰好與 菱形ABCQ的邊A3在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）.你在（1）中 得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.（3）若圖1中乙48C = NBE尸=2。（0'< a <90 ）,將菱形班FG繞點(diǎn)8順時(shí)針旋PG轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出土上的值（用含。的式子表示）.PC6 .在RtZ