幾何證明選知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、等比性質(zhì)：如果？=2=旦b d f(b d f a卷n =0)，那么 nb _aa c i a=一 nb d a b、a + bd - ccc dc - d相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)一一備課人：李發(fā)知識(shí)點(diǎn)1比例線段的相關(guān)概念比例線段：對于四條線段a、b c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即里二上b d （或a:b=cd ）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位.當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式.比例線段是有順序的，如果說a是b,c,d的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為:知識(shí)點(diǎn)2：

2、比例的性質(zhì) 基本性質(zhì)：(1) a : b = c: d ：= ad = be ； (2) a ： c = c ： b = c = a b .反比性質(zhì)（把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）：旦二E = b d .b d a ca ca+b c d合比性質(zhì)：.發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如:b d b d注意：實(shí)際上，由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如ad二be，除了可化為 a:b=c:d，還可化為 a:c=b:d , c:d =a:b , b : d = a : c , b:a=d:c, c:a = d:b, d:c = b:a , d: b =c:a.知識(shí)點(diǎn)3:比例線段的有關(guān)

3、定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等推論1 :經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊（三角形中位線定理的逆定理）推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰（梯形中位線定理的逆定理）平行線等分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.推論：（1）平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.（2）平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.定理：如果一條直線截三角形的兩邊 （或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直

4、線平行于三角形第 三邊.知識(shí)點(diǎn)：4 :黃金分割把線段AB分成兩條線段 AC, BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中 AC二一口 AB、0.618AB .知識(shí)點(diǎn)5：相似圖形21、相似圖形的定義：把形狀相同的圖形叫做相似圖形（即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形）相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）（1 ）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同;（4） 相似用“

5、s”表示，讀作“相似于”；(5) 相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比.2、相似三角形的判定方法預(yù)備定理：平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例.定理的基本圖形語言：數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述是：DE / BC . ADE s .)ABC .判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述 為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理2:如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形 相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角

6、形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡 述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似判定定理4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似.三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS(ASAHL相似三角形的判定兩邊對應(yīng)成比 例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就可得到相 似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌 握的方法3、相似三角形的性質(zhì)定理：(1)

7、相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(2) 相似三角形的周長比等于相似比；(3) 相似三角形的面積比等于相似比的平方；(4) 相似三角形內(nèi)切圓與外接圓的直徑比、周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方4、相似三角形的等價(jià)關(guān)系(1) 反身性：對于任一 厶ABC有 ABC s .ABC .(2) 對稱性：若 ABC s . A BC，則 A BCs ：ABC .(3) 傳遞性：若 ABC s . A BC，且 A BC s 4 B CABC s ：A B C .5、相似直角三角形引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的線段成比例，那么這兩條直線平行于三

8、角形的 第三邊(與三角形的中位線定理類似) 定理：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似 定理：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一直邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似6、直角三角形的射影定理從一定向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影；一條線段在直線上的正射影，是指線段 的兩個(gè)端點(diǎn)在這條直線上的正射影間的線段點(diǎn)和線段的正射影簡稱為射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在 斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)推論：直角三角形中其中一條

9、直角邊是該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)經(jīng)過歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種基本類型平行線型：常見的有如下兩種，DE / BC，則 ADE ABCAeD相交線型：常見的有如下四種情形，如圖，已知.1= B，則由公共角.A得， ADE ABCAA如下左圖，已知.1= B，則由公共角.A得， ADCACB ；如下右圖，已知.B=/D，則由對頂角.1 =/2得， ADE ABC旋轉(zhuǎn)型：已知.BAD =/CAE ,. B二/D，則 ADE ABC，下圖為常見的基本圖形.A母子型：已知.ACB =90 , AB _ CD，則 CBD ABC ACD .解決相似三角形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中

10、分解出（構(gòu)造出）上述基本圖形.知識(shí)點(diǎn)6:與位似圖形有關(guān)的概念1、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比拓展：P5位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形 位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線 2、 位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比._拓展：位似圖形有許多性質(zhì)，它具有相似圖形的所有性質(zhì)3、畫位似圖形畫位似圖形的一般步驟： 確定位似中心； 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長

11、（或截?。?； 根據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置； 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形位似中心的選取： 位似中心可以在圖形外部，此時(shí)位似中心在兩個(gè)圖形中間，或在兩個(gè)圖形之外； 位似中心可取在多邊形的一條邊上； 位似中心可取在多邊形的某一頂點(diǎn)上說明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方法都能把一個(gè)圖形 放大或縮小.圓的章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)備課人：李發(fā)一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3軌跡形式的概念：、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于

12、定長的點(diǎn)的集合；1、圓：至龐點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3 、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5 、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線;、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)2、點(diǎn)在圓上3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)C在圓內(nèi);點(diǎn)B在圓上;點(diǎn)A在圓外;三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離2、直線與圓相切3、直線與圓相交二 d : r = 有

13、兩個(gè)交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系無交點(diǎn)d R r ;有一個(gè)交點(diǎn)d = R r ；有兩個(gè)交點(diǎn)R -r : d :： R r ;有一個(gè)交點(diǎn)d 二R-r ；無交點(diǎn)d ： R - r ；外離（圖1）二外切（圖2）二 相交（圖3）二 內(nèi)切（圖4）二 內(nèi)含（圖5）=五、垂徑定理弦：連接圓上任意兩 垂徑定理：垂直于弦 弧推論1:平分弦（不是弦所對的兩條?。稽c(diǎn)之間的的直徑平直徑）的線段叫做弦分弦且平分弦所對的兩條直徑垂直于弦，并且平分推論2 :弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧;推論3:平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論

14、中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它 3個(gè)結(jié)論.即：AB 是直徑； AB _CD ; CE =DE ; 弧 BC 二弧 BD （ BC）； BD AC =； AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論.推論4:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.即：在O O中，T AB / CD 弧AC二弧BD六、圓心角定理圓心角的定義： 頂點(diǎn)在圓心且兩邊與圓相交的角叫做圓心角D圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)（同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等一一也稱一推三定理）即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的 結(jié)論也即：.AOB =/DOE ; AB =DE ; OC =0F ; BA=ED 推論1：

15、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等； 推論2:在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦也相等； 推論3:在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧也相等；七、圓周角定理圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角圓周角定理：同弧或等弧所對的圓周角相等且都等于它所對的圓心的角的一半符號(hào)語言：在 0中， C、 D都是弧AB所對的圓周角 C = D . AOB和.ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角 AOB =2. ACB圖形語言：OA推論1:同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等推論2:半圓或直徑所對的圓周角是直角；（90的圓周角所對的弧是半圓，

16、所對的弦是直徑）符號(hào)語言：在 O中，AB是直徑 WC=90 ；或三C=90 AB是直徑推論3 :三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形符號(hào)語言：在 ABC中， OA=OB=OCABC是直角三角形或.C=90注：此推論實(shí)際上是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理八、圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形：如果多邊形的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角圖形語言：圓的內(nèi)接四邊形的判定頂點(diǎn)共圓符號(hào)語言：在四邊形符號(hào)語言：/

17、在 . O中，四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形 . C BAD=180, B D=180, . DAE=/C定理1：如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形四個(gè)ABCD 中，.C . BAD =180 , B . D =180A B、C、D四點(diǎn)共圓圓的內(nèi)接四邊形的判定定理2：如果四邊形的一個(gè)外角等于它內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓符號(hào)語言：在四邊形ABCD中，NDAE =NC A、B C 四點(diǎn)共圓 九、切線的性質(zhì)與判定定理 1、切線的定義：當(dāng)直線和圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們把這條直線叫做圓的切線（1）判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線符號(hào)語言:MN _OA且MN過

18、半徑OA外端MN是 O的切線垂直直于經(jīng)過切點(diǎn)的半于切線的直線必經(jīng)弦切角定理：弦切上，且一邊線的夾角叫圖形語言：3、弦切角：頂點(diǎn)在圓叫做弦切角.（弦與切角等于它所1 一 -;.BAC APC和圓相交而另一邊和圓相切的角做弦切角）夾弧所對的圓周角4、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等符號(hào)語言： BAC是圓的一個(gè)弦切角圖形語言：（2）性質(zhì)定理： 圓的切線徑推論1:經(jīng)過圓心且垂經(jīng)過切點(diǎn)推論2:經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)經(jīng)過圓心以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：（1）經(jīng)過圓心（2）經(jīng)過切點(diǎn)（3）垂直于切線以上三個(gè)條件中,知道其中兩個(gè)條件推出最后一個(gè)條件（ T MN是切

19、線 MN丄OA）2、切線長的定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，該點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長叫做該點(diǎn)到圓的切線長切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等且該點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角符號(hào)語言：/ PA、PB是的兩條切線 PA=PB且PO平分.APB符號(hào)語言：在o O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P , PAPB = PC PD圖形語言:BPDC推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)符號(hào)語言:在O O 中，直徑 AB _ CD , CE2 =AE BE5、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到母條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等符號(hào)語言:在O O 中，PB、PE 是割線 PC PB 二 PD PE6、切割線定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)符號(hào)語言：在O O中，PA是切線，PB是割線 PAPC PB圖形語言:切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等且該點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角弦切角定理