初二年級數(shù)學動點問題歸類復習含例題練習及答案解析(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二數(shù)學動點問題歸類復習（含例題、練習及答案）所謂“動點型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點,它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運用有關(guān)數(shù)學知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學思想：分類思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想本文將初一至二學習過的有關(guān)知識，結(jié)合動點問題進行歸類復習，希望對同學們能有所幫助。一、等腰三角形類：因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題例1：（2013年上海市虹口區(qū)中考模擬第25題）如圖1，在RtABC中，A90°，AB6，AC8，點D為邊BC的中點，DEBC交邊AC于點E，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊

2、AC上的一動點，且PDQ90°（1）求ED、EC的長；（2）若BP2，求CQ的長；（3）記線段PQ與線段DE的交點為F，若PDF為等腰三角形，求BP的長圖1 備用圖思路點撥1第（2）題BP2分兩種情況2解第（2）題時，畫準確的示意圖有利于理解題意，觀察線段之間的和差關(guān)系3第（3）題探求等腰三角形PDF時，根據(jù)相似三角形的傳遞性，轉(zhuǎn)化為探求等腰三角形CDQ解答：（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如圖2，過點D作DMAB，DNAC，垂足分別為M、N，那么DM、DN是ABC的兩條中位線，DM4，DN3由PDQ90°，MDN90

3、°，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，圖2 圖3 圖4如圖3，當BP2，P在BM上時，PM1此時所以如圖4，當BP2，P在MB的延長線上時，PM5此時所以（3）如圖5，如圖2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90°，CDE90°，可得PDFCDQ因此PDFCDQ當PDF是等腰三角形時，CDQ也是等腰三角形如圖5，當CQCD5時，QNCQCN541（如圖3所示）此時所以如圖6，當QCQD時，由，可得所以QNCNCQ（如圖2所示）此時所以不存在DPDF的情況這是因為DFPDQPDPQ（如圖5，圖6所示）圖5 圖6考點伸展：如圖6，當CDQ是

4、等腰三角形時，根據(jù)等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解二、直角三角形：因動點產(chǎn)生的直角三角形問題例2：（2008年河南省中考第23題）如圖1，直線和x軸、y軸的交點分別為B、C，點A的坐標是（-2，0）（1）試說明ABC是等腰三角形；（2）動點M從A出發(fā)沿x軸向點B運動，同時動點N從點B出發(fā)沿線段BC向點C運動，運動的速度均為每秒1個單位長度當其中一個動點到達終點時，他們都停止運動設(shè)M運動t秒時，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點M在線段OB上運動時，是否存在S4的情形？若存在，求出對應(yīng)的t值；若不存在請說明理由；在運動過程中，當MON為直角

5、三角形時，求t的值圖1思路點撥：1第（1）題說明ABC是等腰三角形，暗示了兩個動點M、N同時出發(fā)，同時到達終點2不論M在AO上還是在OB上，用含有t的式子表示OM邊上的高都是相同的，用含有t的式子表示OM要分類討論3將S4代入對應(yīng)的函數(shù)解析式，解關(guān)于t的方程4分類討論MON為直角三角形，不存在ONM90°的可能解答：（1）直線與x軸的交點為B（3，0）、與y軸的交點C（0，4）RtBOC中，OB3，OC4，所以BC5點A的坐標是（-2，0），所以BA5因此BCBA，所以ABC是等腰三角形（2）如圖2，圖3，過點N作NHAB，垂足為H在RtBNH中，BNt，所以如圖2，當M在AO上時，

6、OM2t，此時定義域為0t2如圖3，當M在OB上時，OMt2，此時定義域為2t5 圖2 圖3把S4代入，得解得，（舍去負值）因此，當點M在線段OB上運動時，存在S4的情形，此時如圖4，當OMN90°時，在RtBNM中，BNt，BM ，所以解得如圖5，當OMN90°時，N與C重合，不存在ONM90°的可能所以，當或者時，MON為直角三角形 圖4 圖5考點伸展：在本題情景下，如果MON的邊與AC平行，求t的值如圖6，當ON/AC時，t3；如圖7，當MN/AC時，t2.5 圖6 圖7三、平行四邊形問題：因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例3：（2010年山西省中考第26題）在直

7、角梯形OABC中，CB/OA，COA90°，CB3，OA6，BA分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系（1）求點B的坐標；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點F求直線DE的解析式；（3）點M是（2）中直線DE上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一點N，使以O(shè)、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由 圖1 圖2思路點撥：1第（1）題和第（2）題蘊含了OB與DF垂直的結(jié)論，為第（3）題討論菱形提供了計算基礎(chǔ)2討論菱形要進行兩次（兩級）分類，先按照DO為邊和對角線分類，

8、再進行二級分類，DO與DM、DO與DN為鄰邊解答：(1)如圖2，作BHx軸，垂足為H，那么四邊形BCOH為矩形，OHCB3在RtABH中，AH3，BA，所以BH6因此點B的坐標為(3,6)(2) 因為OE2EB，所以，E(2,4)設(shè)直線DE的解析式為ykxb，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，所以直線DE的解析式為(3) 由，知直線DE與x軸交于點F(10,0)，OF10，DF如圖3，當DO為菱形的對角線時，MN與DO互相垂直平分，點M是DF的中點此時點M的坐標為(5,)，點N的坐標為(5,)如圖4，當DO、DN為菱形的鄰邊時，點N與點O關(guān)于點E對稱，此時點N的坐標為(4,8)如圖5，

9、當DO、DM為菱形的鄰邊時，NO5，延長MN交x軸于P由NPODOF，得，即解得，此時點N的坐標為 圖3 圖4 考點伸展如果第（3）題沒有限定點N在x軸上方的平面內(nèi)，那么菱形還有如圖6的情形 圖5 圖6四、相似三角形：因動點產(chǎn)生的相似三角形問題例4：（2013年蘇州中考28題）如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動在運動過程中，EBF關(guān)于直線EF的對

10、稱圖形是EBF設(shè)點E、F、G運動的時間為t（單位：s）（1）當t= s時，四邊形EBFB為正方形；（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；（3）是否存在實數(shù)t，使得點B與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由 思路點撥：（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF與FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計算；（3）本問為存在型問題假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在解答：（1）若四邊形EBFB為正方形，則BE=BF，即：10t=3t，解得t=2.5；（2）分兩種情況，討

11、論如下：若EBFFCG，則有，即，解得：t=2.8；若EBFGCF，則有，即，解得：t=142（不合題意，舍去）或t=14+2當t=2.8s或t=（14+2）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似（3）假設(shè)存在實數(shù)t，使得點B與點O重合如圖，過點O作OMBC于點M，則在RtOFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M=BCBF=63t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（63t）2=（3t）2解得：t=；過點O作ONAB于點N，則在RtOEN中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62

12、+（5t）2=（10t）2解得：t=3.93.9，不存在實數(shù)t，使得點B與點O重合考點伸展：本題為運動型綜合題，考查了矩形性質(zhì)、軸對稱、相似三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、解方程等知識點題目并不復雜，但需要仔細分析題意，認真作答第（2）問中，需要分類討論，避免漏解；第（3）問是存在型問題，可以先假設(shè)存在，然后通過推導出互相矛盾的結(jié)論，從而判定不存在拓展練習：1、如圖1，梯形ABCD中，AD BC，B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點P從A開始沿AD邊以1cm/秒的速度移動，點Q從C開始沿CB向點B以2 cm/秒的速度移動，如果P，Q分別從A，C同時出發(fā)，設(shè)移動時

13、間為t秒。當t= 時，四邊形是平行四邊形； 當t= 時，四邊形是等腰梯形. （1題圖） 備用圖2、如圖2，正方形ABCD的邊長為4，點M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點，則DN+MN的最小值為 。 （2題圖） （3題圖）3、如圖，在中，點是的中點，過點的直線從與重合的位置開始，繞點作逆時針旋轉(zhuǎn)，交邊于點過點作交直線于點，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為（1）當 度時，四邊形是等腰梯形，此時的長為 ；當 度時，四邊形是直角梯形，此時的長為 ；（2）當時，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由ACBEDNM圖3ABCDEMN圖24、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且A

14、DMN于D，BEMN于E.CBAED圖1NM(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：ADCCEB；DE=ADBE；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明.5、數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平行線CF于點F，求證：AE=EF經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證，所以在此基礎(chǔ)上，同學們作了進一步的研究：（1）小穎提出：如圖2，如果把“點

15、E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由； （2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由 6、如圖, 射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點,AB=5且A到射線MB的距離為3,動點P從M沿射線MB方向以1個單位/秒的速度移動，設(shè)P的運動時間為t. 求（1） PAB為等腰三角形的t值；（2） PAB為直角三角形的t值；（3

16、） 若AB=5且ABM=45 °，其他條件不變，直接寫出 PAB為直角三角形的t值。7、如圖1，在等腰梯形中，是的中點，過點作交于點，.求：（1）求點到的距離；（2）點為線段上的一個動點，過作交于點，過作交折線于點，連結(jié)，設(shè).當點在線段上時（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；當點在線段上時（如圖3），是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM（第25題）8、如圖，已知中，厘米，厘米，點為的中點(1）如果

17、點P在線段BC上以3cm/s的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使與全等？（2）若點Q以中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在的哪條邊上相遇？ （8題圖） （9題圖）9、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動，

18、總有BE=CF；（2）當點E、F在BCCD上滑動時，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值10、如圖，在AOB中，AOB=90°，OA=OB=6，C為OB上一點，射線CDOB交AB于點D，OC=2點P從點A出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿AB方向運動，點Q從點C出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿CD方向運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達到點B時停止運動，點Q也隨之停止過點P作PEOA于點E，PFOB于點F，得到矩形PEOF以點Q為直角頂點向下作等腰直角三角形QMN，斜邊MNOB，且MN=QC設(shè)運動時間為t（單位：秒）（1）求

19、t=1時FC的長度（2）求MN=PF時t的值（3）當QMN和矩形PEOF有重疊部分時，求重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式（4）直接寫出QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個公共點時t的值參考答案：1、解：（1）要使四邊形PQCD為平行四邊形，則PD=CQ，AD=18cm，即18-t=2t，解得：t=6；（2）設(shè)經(jīng)過ts，四邊形PQCD是等腰梯形過Q點作QEAD，過D點作DFBC，四邊形PQCD是等腰梯形，PQ=DC又ADBC，B=90°，AB=EQ=DFEQPFDCFC=EP=BC-AD=21-18=3又AE=BQ=21-2t，EP=t-AE，EP=AP-AE=t-（21-2t

20、）=3得：t=8經(jīng)過8s，四邊形PQCD是等腰梯形2、5；3、解：（1）30，1；60，1.5；（2）當=900時，四邊形EDBC是菱形.=ACB=900，BC/ED. CE/AB, 四邊形EDBC是平行四邊形在RtABC中，ACB=900，B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=2. AO= .在RtAOD中，A=300，AD=2.BD=2. BD=BC. 又四邊形EDBC是平行四邊形，四邊形EDBC是菱形 4、解：（1） ACD=ACB=90° CAD+ACD=90° BCE+ACD=90° CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB

21、CE=AD，CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD，CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 當MN旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90° ACD=CBE， 又AC=BC， ACDCBE， AD=CE，CD=BE， DE=CD-CE=BE-AD. 5、解：（1）正確證明：在上取一點，使，連接，是外角平分線， ， （ASA） （2）正確 證明：在的延長線上取一點使，連接 四邊形是正方形， （ASA） 6

22、、解：解：（1）作AEBM于E。則AE=3，AB=5，BE=（AB²-AE²）=4 MP=t, BP=9-t若AP=AB,9-t=2×4t=1若PA=PB，BP/(1/2AB)=AB/BP（9-t)²=1/2*5*5t=9-5/2(9+5/2舍去）若BA=BP，|9-t|=5t=4 、14綜上，t=1、4、9-5/2、14（2）若APB=90°9-t=4t=5若PAB=90°BP/BA=BA/BE(9-t)/5=5/4t=11/4綜上，t=5、11/4。7、解：（1）如圖1，過點作于點 為的中點， 在中， 即點到的距離為 圖1ADEB

23、FCG（2）當點在線段上運動時，的形狀不發(fā)生改變 ， 同理 如圖2，過點作于，圖2ADEBFCPNMGH 則在中，的周長= 當點在線段上運動時，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當時，如圖3，作于，則類似， 是等邊三角形，此時， 當時，如圖4，這時 此時，當時，如圖5， 則又 因此點與重合，為直角三角形 此時，綜上所述，當或4或時，為等腰三角形 8、解：AQCDBP解：（1）秒， 厘米，厘米，點為的中點， 厘米又厘米， 厘米， 又， ， ， ， 又，則，點，點運動的時間秒， 厘米/秒。（2）設(shè)經(jīng)過秒后點與點第一次相遇， 由題意，得，解得秒點共運動了厘米 ，點、點在邊上相遇，經(jīng)過秒點與點第一次在邊

24、上相遇9、解：（1）證明：如圖，連接AC，四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。 （2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。

25、作AHBC于H點，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短故AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時CEF的面積就會最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。【考點】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先求證AB=AC，進而求證ABC、ACD為等邊三角形，得ACF =60°，AC=AB，從而求證ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故

26、根據(jù)S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，根據(jù)SCEF=S四邊形AECFSAEF，則CEF的面積就會最大。10、考點：相似形綜合題 分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形，可得，OF=EP=t，再將t=1代入求出FC的長度；（2）根據(jù)MN=PF，可得關(guān)于t的方程6t=2t，解方程即可求解；（3）分三種情況：求出當1t2時；當2t時；當t3時；求出重疊（陰影）部分圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（4）分M在OE上；N在PF上兩種