2011年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 專題推理與證明 理

1、2011年高考試題數(shù)學(xué)（理科）推理與證明一、選擇題:1. (2011年高考江西卷理科7)觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，則的末四位數(shù)字為 A3125 B5625 C0625 D8125【答案】D【解析】觀察發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)是奇數(shù)的,結(jié)果后三位數(shù)字為125,故排除B、C選項(xiàng);而,故A也不正確, 所以選D.2(2011年高考江西卷理科10)如右圖，一個(gè)直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是答案：A 解析：由題意可知，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，黨小圓沿

2、著大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M沿著直線向右移動(dòng)，而點(diǎn)N先沿著直線向下移動(dòng)，再沿著直線向上移動(dòng)，故選A.二、填空題:3. (2011年高考山東卷理科15)設(shè)函數(shù),觀察:,所以歸納出分母為的分母為,故當(dāng)且時(shí)，.4.(2011年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_（寫出所有正確命題的編號(hào)）.存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn)直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線【答案】【命題意圖】本題考查直線方程，考查邏輯推

3、理能力.難度較大.【解析】正確，令滿足；錯(cuò)誤，若，過整點(diǎn)（1,0）；正確，設(shè)是過原點(diǎn)的直線，若此直線過兩個(gè)整點(diǎn)，則有，兩式相減得，則點(diǎn)也在直線上，通過這種方法可以得到直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，通過上下平移得對(duì)于也成立；錯(cuò)誤，當(dāng)與都是有理數(shù)時(shí)，令顯然不過任何整點(diǎn)；正確. 如：直線恰過一個(gè)整點(diǎn)【解題指導(dǎo)】：這類不定項(xiàng)多選題類型，難度非常大，必須每一個(gè)選項(xiàng)都有足夠的把握確定其正誤，解題時(shí)須耐心細(xì)致。5. (2011年高考湖北卷理科15)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：n=1n=2n=3n=4由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形

4、互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰的著色方案共有 種.（結(jié)果用數(shù)值表示） 答案：21，43解析：根據(jù)著色方案可知，n=6時(shí)，若有3個(gè)黑色正方形則有3種，有2個(gè)黑色正方形有4+3+2+1+1=11種，有1個(gè)黑色正方形有6種；有0個(gè)黑色正方形有1種，所以共有3+11+6+1=21種.n=6時(shí)，當(dāng)至少有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，畫出圖形可分為：有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共23種，有3個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共12種，有4個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共5種，有5個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共2種，有6個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共1種.故共有23+12+5+2+1=43種.6(2011年高考陜西卷理科13)觀察下列等

5、式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此規(guī)律，第個(gè)等式為 【答案】【解析】：第個(gè)等式是首項(xiàng)為，公差1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，即7、(2011年高考安徽卷江蘇3)設(shè)復(fù)數(shù)i滿足（i是虛數(shù)單位），則的實(shí)部是_【答案】1【解析】因?yàn)?，所?故的實(shí)部是1.8. (2011年高考湖南卷理科16)對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為或.記為上述表示中為的個(gè)數(shù)（例如：，故，），則（1） ；（2） .答案：2; 1093答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進(jìn)制的位數(shù)中，沒有0的有1個(gè)，有1個(gè)0的有個(gè)，有2個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)。故對(duì)所有2進(jìn)制為位

6、數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進(jìn)制的最大7位數(shù)，所以。三、解答題:9(2011年高考上海卷理科19)（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，求。解： （4分）設(shè)，則，（12分） ， （12分）10.(2011年高考安徽卷理科19)（本小題滿分12分）（）設(shè)證明，（），證明.【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)式恒定變形能力和推理論證能力?！咀C明】：()由于，所以要證明：只要證明：只要證明：只要證明：只要證明：由于，上式顯然成立，所以原命題成立。（）設(shè)=，=，則=，=，=，=，所要證明不等式即為，1，1，由（）知所證

7、明的不等式成立.11. (2011年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：， ，且（）求的值；（）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（）設(shè)證明：【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法.（）解:由,可得, 又當(dāng)n=1時(shí),由,得;當(dāng)n=2時(shí),可得.當(dāng)n=3時(shí),可得.（）證明:對(duì)任意,-得 ,將代入,可得即(),又,故,因此,所以是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對(duì)任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由式得從而所以，對(duì)任意，對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意12

8、. (2011年高考湖南卷理科22)（本小題滿分13分）已知函數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；設(shè)數(shù)列滿足證明：存在常數(shù)使得對(duì)于任意的都有解：由知，而且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)由零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn).解法1 記則當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn).所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而則在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).解法2 由，記則當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn).記的正零點(diǎn)為，即（1）

9、當(dāng)時(shí)，由得，而，因此.由此猜測(cè)：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，由知因此，當(dāng)時(shí)，成立故對(duì)任意的成立（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的，成立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.13. (2011年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足,(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,【解析】（1）由令，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng) （2）當(dāng)時(shí)，（欲證），當(dāng)綜上所述14(2011年高考廣東卷理科21)（本小題滿分14分）（2）設(shè)是定點(diǎn)，其中滿足

10、.過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，與分別交于.線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)集記為.證明：；【解析】解：（1）證明：切線的方程為當(dāng)當(dāng) （2）的方程分別為求得的坐標(biāo)，由于，故有1）先證：（）設(shè)當(dāng)當(dāng)（）設(shè)當(dāng)注意到2）次證： （）已知利用（1）有 （）設(shè)，斷言必有若不然，令Y是上線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)的集合，由已證的等價(jià)式1）再由（1）得，矛盾。故必有再由等價(jià)式1），綜上， （3）求得的交點(diǎn)而是的切點(diǎn)為的切線，且與軸交于，由（）線段Q1Q2，有當(dāng)在（0，2）上，令由于在0，2上取得最大值故,故15. (2011年高考湖北卷理科21)（本小題滿分14分）()已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值；()設(shè)均為正數(shù)，證明：（1）若，則

11、；（2）若，則本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想. 解析：（）的定義域?yàn)?，令，解得，?dāng)時(shí)，在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；故函數(shù)在處取得最大值（）（1）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即，從而有，得，求和得,即.（2）先證.令，則,于是由（1）得，即.再證.記，令，則，于是由（1）得.即，綜合，（2）得證.16.(2011年高考全國(guó)卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)【解析】：（）由得，前項(xiàng)為，(II).17.(2011年高考全國(guó)卷理科22)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）（）設(shè)函數(shù)，證明

12、：當(dāng)時(shí)，；（）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為.證明：【解析】：（） 故（）法一：第次抽取時(shí)概率為，則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率由（），當(dāng)即有故于是即。故法二：所以是上凸函數(shù)，于是因此故綜上：18(2011年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求；（2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求解析：考察計(jì)數(shù)原理、等差數(shù)列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。（1）因?yàn)闈M足的每一組解構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)P,所以。（2）設(shè)，則對(duì)每一個(gè)k對(duì)應(yīng)的解數(shù)為：n-3k,構(gòu)成

13、以3為公差的等差數(shù)列；當(dāng)n-1被3整除時(shí)，解數(shù)一共有：當(dāng)n-1被3除余1時(shí)，解數(shù)一共有：當(dāng)n-1被3除余2時(shí)，解數(shù)一共有：19(2011年高考北京卷理科20)（本小題共13分）若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=（）寫出一個(gè)滿足，且0的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000