求二次函數(shù)解析式的三種基本方法和十種策略

1、二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要基礎(chǔ)。熟練 地求出二次函數(shù)的解析式是解決二次函數(shù)問題的重要保證。二次函數(shù)的解析式有三種基本形式：1、一般式：y=ax，+bx+c （a工0）。2、頂點式：y=a（xh） +k （a工0）,其中點（h,k）為頂點，對稱軸為x=h3、 交點式:y=a（xxT（xx巧（a豐0）其中x*,x:是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，但要根據(jù)不同條件，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕?析式：1、若給出拋物線上任意三點，通?？稍O(shè)一般式。2、若給出拋物線的頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，通?？稍O(shè)頂點式。3、若給出拋物線與x軸的交點或?qū)ΨQ軸或與x軸的交點距離

2、，通?？稍O(shè)交 點式。探究問題，典例指津：例1、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點引和仇 .求這個二次函數(shù)的 解析式.分析：由于題目給出的是拋物線上任意三點，可設(shè)一般式y(tǒng)=ax，+bx+c （a工0）。解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y=ax，+bx+c （a工0）a A -l-c = 5f口 =2* c 4| = 3依題意得：b*1解這個方程組得：這個二次函數(shù)的解析式為y=2x +3x4。例2、已知拋物線八沁“ &的頂點坐標(biāo)為，與尸軸交于點陽）， 求這條拋物線的解析式。分析：此題給出拋物線$山川山的頂點坐標(biāo)為（巾廠，最好拋開題目 給出的$皿，重新設(shè)頂點式y(tǒng)=a（xh）+k （a工0），其中點（h,k）為頂點

3、。解：依題意，設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y=a(x4)，1 (a工0)又拋物線與軸交于點麗。丄a(04)仁3二a= 1 1這個二次函數(shù)的解析式為y=4 (x4)，1,即y=4X2x+3。例3、如圖，已知兩點A(8,0),(2,0),以AB為直徑的半圓與y軸 正半軸交于點G求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式。分析：AB兩點實際上是拋物線與x軸的交點，所以可設(shè)交點式y(tǒng)=a(xx)(xX：) (a工0),其中Xi ,x:是拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)。解：依題意，設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y=a(x+8)(x2)又連結(jié)AC BC利用射影定理或相交弦定理的推論易得：OC =AC- BC=8X 2二OC=4

4、即C(0,4)。丄a(0+8)(02)=4 / a=dii 3這個二次函數(shù)的解析式為y= * (x+8)(x2)，即y= xx+4。變式練習(xí)，創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)1、 在圖的方格紙上有A、B、C三點(每個小方格的邊長為1個單位長度). (I)在給出的直角坐標(biāo)系中分別寫出點A、B、C的坐標(biāo)；(2)根據(jù)你得出的A、B、C三點的坐標(biāo)，求圖象經(jīng)過這三點的二次函數(shù)的 解析式.2、 已知拋物線的頂點坐標(biāo)為，與戶軸交于點，求這條拋物線的解 析式。3、已知拋物線過A( 2,0)、B(1,0)、C(0,2)三點。求這條拋物線 的解析式。參考答案：1、 (1)A(2,3);B(4,1);C(8,9)。(2)嚴(yán) 4x+9。2、

5、y=(x2)+1，即y=x，4x+5。3、y=(x+2)(x1)，即y=X x+2。十種二次函數(shù)解析式求解一三點式。1,已知拋物線y=ax1 2 3+bx+c經(jīng)過A( ,0),B(門,0),C(0,-3)三 點，求拋物線的解析式。2,已知拋物線y=a(x-1)$+4,經(jīng)過點A(2,3),求拋物線的解析式。二頂點式。1,已知拋物線y=x2-2ax+a2+b頂點為A(2,1)，求拋物線的解析式。2,已知拋物線y=4(x+a)2-2a的頂點為(3,1)，求拋物線的解析式。 三交點式。1,已知拋物線與x軸兩個交點分別為(3,0),(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2,已知拋物線線與

6、x軸兩個交點(4, 0) , (1,0)求拋物線y=? a(x-2a)(x-b)的解析式。四定點式。1、 拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線 頂點到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x2+ax+4,交x軸于A,B(點A在點B左邊)兩點，交y軸于3點C,且OB-OA= OC求此拋物線的解析式。八對稱式。1，平行四邊形ABCD寸角線AC在x軸上，且A(-10,0)，AC=16 D (2,6)。AD交y軸于E,將三角形ABC沿x軸折疊，點B到Bi的位置，求經(jīng)過A,B,E三點的拋物線的解析式。2，求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸

7、(或x軸)對稱的拋物線的解析式。九切點式。1，已知直線y=ax-a2(a工0)與拋物線y=m(有唯一公共點，求拋物線的解析式。2，直線y=x+a與拋物線y=ax2+k的唯一公共點A(2，1),求拋物線的解析式。3，1在直角坐標(biāo)系中，不論a取何值，拋物線經(jīng)過x軸上一定點Q,直線y經(jīng)過點 Q,求拋物線的解析式。2拋物線y= x2+(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經(jīng)過直線y=mx+m+4求拋物線 的解析式。3拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2的定點A,求拋物線的解析式。五平移式。1,把拋物線y二-2x2向左平移2個單位長度， 再向下平移1個單位長度， 得到 拋物線y=a( x-h)2+k,求此拋物線解析式。2,拋物線宀向上平移，使拋物線經(jīng)過點C(0,2),求拋物線的解析式。 六距離式。1,拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個交點間的距離為2,求拋物線的解 析式。2,已知拋物線y=m x2+3mx-4m(n0)與x軸交于A、B兩點，與 軸交于C點，且AB=BC求此拋物線的解析式。七對稱軸式。十判別式式。1、 已知關(guān)于X的一元二次方程(m+1 x2+2(m+1)x+2=0