第十七章_一元二次方程知識點

1、第十七章 一元二次方程知識點第一節(jié) 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程三個條件：（）是整式方程（）含有一個未知數(shù)（）未知數(shù)的最高次數(shù)是，三個條件缺一不可。一般地，任何一個關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項 把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式時，常要利用去括號、移項、合并同類項等步驟，同時注意項與

2、項的系數(shù)。一元二次方程的解叫做一元二次方程的根第二節(jié) 一元二次方程的解法知識點1 特殊的一元二次方程的解法直接開平方法運用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程 由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的因式分解法知識點2 一般的一元二次方程的解法1 配方法：解方程ax2+bx+c=0 (a0)的一般步驟是：2.一元二次方程的求根公式 問題：已知ax2+bx+c=0（a0）且b2-4ac0，試推導(dǎo)它的兩個根x1=，x2= 由上可知

3、，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定，因此： （1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b-4ac0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根 （2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式 （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法 （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根3 .一元二次方程根的判別式求根公式：x=，當(dāng)b2-4ac>0時，根據(jù)平方根的意義，等于一個具體數(shù)，所以一元一次方程的x1=x1=，即有兩個不相等的實根當(dāng)b2-4ac=0時，根據(jù)平方根的意義=0，所以x1=x2=，即有兩個相等的實根；當(dāng)b2-4

4、ac<0時，根據(jù)平方根的意義，負(fù)數(shù)沒有平方根，所以沒有實數(shù)解 因此，（結(jié)論）（1）當(dāng)b2-4ac>0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個不相等實數(shù)根即x1=，x2= （2）當(dāng)b-4ac=0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個相等實數(shù)根即x1=x2=（3）當(dāng)b2-4ac<0時，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）沒有實數(shù)根第三節(jié) 一元二次方程的應(yīng)用知識點 1二次三項式的因式分解1、二次三項式形如ax2bxc(a0)的多項式叫做x的二次三項式2、二次三項式因式分解的公式如果一元二次方程ax2bxc=0(a0)的兩個實數(shù)根為x1、x2，則從而得到二次

5、三項式因式分解公式：ax2bxc=a(xx1)(xx2)(a0)條件對于二次三項式當(dāng)=b24ac0時，能分解因式；當(dāng)=b24ac0時，不能分解因式3、用公式法分解二次三項式的步驟(1)求二次三項式ax2bxc所對應(yīng)的一元二次方程ax2bxc=0的兩根x1、x2(2)將求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2bxc=a(xx1)(xx2)即可說明：(1)在二次三項式的因式分解時，注意不要丟掉公式中的二次項系數(shù)a(2)要注意公式中x1、x2前面的符號和x1、x2本身的符號不要混淆(3)把x1、x2的值代入公式后，能化簡整理的可以化簡整理1、二次三項式的因式分解例1、；(2)4y28y1分析：這

6、兩個二次三項式都需要用公式法分解因式解：(1)方程的根是(2)方程4y28y1=0的兩根是點撥：(1)解方程時，如果二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，一般可將其化為正數(shù)再解，這樣可提高解方程的準(zhǔn)確性，如解4y28y1=0可化為4x28y1=0再解；(2)寫出二次三項式的分解因式時，不要漏掉第一個因數(shù)“4”(3)把4分解為2×2，兩個2分別乘到每個括號內(nèi)恰好能去掉兩個括號內(nèi)的分母，從而使分解式得到簡化，要注意學(xué)習(xí)這種變形的技巧和變形過程中符號改變2、形如Ax2BxyCy2的因式分解例2、分解因式5x22xyy2分析：形如Ax2BxyCy2的多項式叫做關(guān)于x,y的二元二次多項式，我們可以選擇其中一個變元

7、作為未知數(shù)，另一個就看作已知數(shù)，這樣一來，就可將多項式Ax2BxyCy2看作二次三項式來分解，如本題可看作關(guān)于x的二次三項式，其中a=5，b=2y，c=y2解：關(guān)于x的方程5x22xyy2=0的根是點撥：本題將y視為常數(shù)，是利用公式法分解因式的需要，即把x視為主元，稱為“主元法”，這樣便于用公式解題例3、分解因式3x2y210xy4；分析：將3x2y210xy4轉(zhuǎn)化為關(guān)于xy為元的二次三項式，實際上是利用換元法進行因式分解解：關(guān)于xy的方程3(xy)210xy4=0的根是，3、二次三項式因式分解的靈活運用例4、二次三項式3x24x2k，當(dāng)k取何值時，(1)在實數(shù)范圍內(nèi)能分解；(2)不能分解；(

8、3)能分解成一個完全平方式，這個完全平方式是什么？分析：(1)二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)能因式分解的條件是方程有實數(shù)根，即=b24ac0；(2)不能分解的條件是0；(3)=0時，二次三項式是完全平方式解：=(4)24×3×2k=1624k(1)當(dāng)0時，即1624k0，時，二次三項式3x24x2k在實數(shù)范圍內(nèi)能分解因式；(2)當(dāng)0時，即1624k0，時，3x24x2k不能分解因式；(3)當(dāng)=0時，即1624k=0，時，3x24x2k是一個完全平方式當(dāng)時，例5、已知二次三項式9x2(m6)xm2是一個完全平方式，試求m的值分析：若二次三項式為一個完全平方式，則其判別式=0解：對于二次三項式9x2(m6)xm2，其中a=9，b=(m6)，c=m2，=b24ac=(m6)24×9×(m2)=m224m108原二次三項式是一個完全平方式，=0，即m224m1