2022版高中數(shù)學(xué)第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課件新人教A版選修4_5

1、-1-二二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例目標(biāo)導(dǎo)航知識(shí)梳理重難聚焦典例透析1.通過教材掌握幾個(gè)有關(guān)正整數(shù)n的結(jié)論.2.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.目標(biāo)導(dǎo)航知識(shí)梳理重難聚焦典例透析121.本節(jié)的有關(guān)結(jié)論(1)n2-1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1+x)n1+nx.貝努利不等式更一般的形式:當(dāng)是實(shí)數(shù),并且滿足1或者-1),當(dāng)是實(shí)數(shù),并且滿足0-1).(4)如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,an的乘積a1a2an=1,那么它們的和a1+a2+ann.目標(biāo)導(dǎo)航知識(shí)梳理重難聚焦典例透析122.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,難點(diǎn)往往出現(xiàn)在由當(dāng)n=k時(shí)命題成立

2、推出當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立這一步.為完成這步證明,不僅要正確使用歸納假設(shè),還要靈活利用問題的其他條件及相關(guān)知識(shí).目標(biāo)導(dǎo)航知識(shí)梳理重難聚焦典例透析12知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航12 1.觀察、歸納、猜測(cè)、證明的方法觀察、歸納、猜測(cè)、證明的方法剖析：這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索型問題剖析：這種方法解決的問題主要是歸納型問題或探索型問題,命題命題的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索的成立不成立都預(yù)先需要?dú)w納與探索,而歸納與探索多數(shù)情況下是而歸納與探索多數(shù)情況下是從特例、特殊情況入手從特例、特殊情況入手,得到一個(gè)結(jié)論得到一個(gè)結(jié)論,但這個(gè)結(jié)論不一定正確但這個(gè)結(jié)論不一定正確,因因?yàn)檫@是靠不完

3、全歸納法得出的為這是靠不完全歸納法得出的,因此因此,需要給出一定的邏輯證明需要給出一定的邏輯證明,所所以以,通過觀察、分析、歸納、猜測(cè)通過觀察、分析、歸納、猜測(cè),探索一般規(guī)律探索一般規(guī)律,其關(guān)鍵在于正確其關(guān)鍵在于正確的歸納猜測(cè)的歸納猜測(cè),如果歸納不出正確的結(jié)論如果歸納不出正確的結(jié)論,那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也那么數(shù)學(xué)歸納法的證明也就無法進(jìn)展了就無法進(jìn)展了.在觀察與歸納時(shí)在觀察與歸納時(shí),n的取值不能太少的取值不能太少,否那么將得出錯(cuò)誤的結(jié)論否那么將得出錯(cuò)誤的結(jié)論.前幾前幾項(xiàng)的關(guān)系可能只是特殊情況項(xiàng)的關(guān)系可能只是特殊情況,不具有一般性不具有一般性,因而因而,要從多個(gè)特殊事要從多個(gè)特殊事例上探索一般結(jié)論

4、例上探索一般結(jié)論.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航122.從從“n=k到到“n=k+1的方法與技巧的方法與技巧剖析：在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中剖析：在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中,從從“n=k到到“n=k+1的過渡的過渡,利用歸納假設(shè)是比較困難的一步利用歸納假設(shè)是比較困難的一步,它不像用數(shù)學(xué)歸納法它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題一樣證明恒等式問題一樣,只需拼湊出所需要的構(gòu)造來只需拼湊出所需要的構(gòu)造來,而證明不等式而證明不等式的第二步中的第二步中,從從“n=k到到“n=k+1,只用拼湊的方法只用拼湊的方法,有時(shí)也行不通有時(shí)也行不通,因?yàn)閷?duì)不等式來說因?yàn)閷?duì)不等式來說,它還涉及它還涉及“放縮的問

5、題放縮的問題,它可能需要通過它可能需要通過“放放大或大或“縮小的過程縮小的過程,才能利用上歸納假設(shè)才能利用上歸納假設(shè),因此因此,我們可以利用我們可以利用“比較法比較法“綜合法綜合法“分析法等來分析從分析法等來分析從“n=k到到“n=k+1的的變化變化,從中找到從中找到“放縮尺度放縮尺度,準(zhǔn)確地拼湊出所需要的構(gòu)造準(zhǔn)確地拼湊出所需要的構(gòu)造.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四分析：先通過n取比較小的值進(jìn)展歸納猜測(cè),確定證明方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四當(dāng)n=1時(shí),21=212=1,當(dāng)n=2時(shí),22=4=22,當(dāng)n=3時(shí),23=

6、852=25,當(dāng)n=6時(shí),26=6462=36.故猜測(cè)當(dāng)n5(nN+)時(shí),2nn2,下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.(1)當(dāng)n=5時(shí),2nn2顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k5,且kN+)時(shí),不等式2nn2成立,即2kk2(k5),那么當(dāng)n=k+1時(shí),知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2-2(k+1)2(因?yàn)?k-1)22).由(1)(2)可知,對(duì)一切n5,nN+,2nn2成立.綜上所述,知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四 反思 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸

7、納出兩個(gè)量的大小關(guān)系,猜測(cè)出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;(2)設(shè)數(shù)列an(nN+)滿足a1=a(a0),f(an+1)=g(an),證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的nN+,都有anM.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四當(dāng)x(0,+)時(shí),(x)0,從而(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,那么(x)在(0,+)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn),因此,h(x)在(0,+)內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,h(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).由此猜測(cè):anx0.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

8、.當(dāng)n=1時(shí),a1x0顯然成立.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí),a1a顯然成立.因此,當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1a成立.故對(duì)任意的nN+,ana成立.綜上所述,存在常數(shù)M=maxx0,a,使得對(duì)于任意的nN+,都有anM.知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,不等式a1a2anQn.假設(shè)x=0,那么Pn=Qn.假設(shè)x(-1,0),那么P3-Q3=x30,所以P3Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)0,所以P4Q4.假設(shè)當(dāng)n=k(k3,kN+)時(shí),有PkQk(k3),那么當(dāng)n=k+1時(shí),Pk+1=(1+x)Pk(1+x)Qk=Qk+xQk知識(shí)梳理重難聚焦典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四即當(dāng)n=k+1時(shí),不等