第2章極限與連續(xù)

1、 第2章極限與連續(xù)一 典型例題解析例1 用數(shù)列極限的定義證明。證一 任給，要使，只要，即只要，于是，取為大于的正整數(shù)，當時，恒有，即。證二 任給，要使，為較方便地找到符合要求的正整數(shù)，可將適當放大為，當時，就更有了。于是，由解得。所以，取為大于的整數(shù)，當時，就恒有，即。注 當用定義來證明某數(shù)列以某常數(shù)為極限時，關鍵是對于任意給定的正數(shù)，來證明符合條件“時恒有”的正整數(shù)的存在性。因此，實際上是找出使成立的充分條件。這就能使得我們能夠適當放大,來尋找滿足條件的。因此對于給定的正數(shù)，滿足條件“時恒有”的的數(shù)值并不唯一。例 2 判斷下列論斷是否正確，并說明理由。（1） 如果越大，越小，則有。 （2）

2、如果對于任意給定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當時，數(shù)列中有無窮多項滿足不等式，則該數(shù)列以為極限。解 （1）不正確。理由有二：一是當時，未必是關于的單調減函數(shù)，例如，不隨的增大單調減少，即不是“越大，越小”二是的定義里，要求的是“對于任意給定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當時恒成立”。定義中“任意”二字，體現(xiàn)了可以與“無限接近”的要求，或者說可以“任意小”?！盁o限接近” 與“如果越大，越小”是有區(qū)別的，例如，越大，越小，但不以1為極限，而是以2為極限。（2）不正確。因為“如果對于任意給定的正數(shù)，存在自然數(shù)使當時，數(shù)列中有無窮多項滿足不等式”不能保證“對于所有滿足的項，不等式成立”，“滿足時有無窮多項”與“滿足的所

3、有的項”是有區(qū)別的。例如數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當時，有無窮多項滿足，也有有無窮多項滿足。實際上，數(shù)列的奇數(shù)項組成的子數(shù)列以0為極限，偶數(shù)項組成的子數(shù)列以2為極限，所以，此數(shù)列發(fā)散，即，既不以0為極限，也不以1為極限。 例 3 試證：數(shù)列以為極限的充分必要條件是由數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項構成的數(shù)列都收斂于。證 必要性顯然。下證充分性。由數(shù)列的奇數(shù)項組成的數(shù)列和偶數(shù)項組成的數(shù)列都以為極限知：存在自然數(shù),使得當時，有和當時有。取,則當時，與同時成立，即只要下標充分大，恒有成立。故此數(shù)列以為極限。例4 判斷下列數(shù)列的斂散性（1）（2）解 （1）偶數(shù)項組成的數(shù)列以2為極限，奇數(shù)項數(shù)列以2為極

4、限。所以此數(shù)列發(fā)散。（2）此數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項數(shù)列都以0為極限，所以數(shù)列以0為極限。 試說明極限不存在。解5 取數(shù)列，顯然時，但。所以極限不存在。也可從另一個角度來說明。當時，再由三角函數(shù)的周期性可知，在此過程中，的數(shù)值不趨于某確定的常數(shù)，所以極限不存在。例6 判斷以下論斷是否正確（1）若（常數(shù)）,則（2）若極限存在，極限不存在，則極限不存在。（3）若(常數(shù))，則（4）若極限存在，極限不存在，則極限不存在。（5）若極限存在，且極限存在，則極限存在。（6）若極限存在，且等于常數(shù),則極限（7）若極限存在，且等于非零常數(shù)，極限存在,等于，則極限存在，且(8) 若極限存在，且等于非零常數(shù)，則極限存在

5、性與極限存在性一致。解 (1)不正確。例如，但都發(fā)散。（2）正確。事實上 ，若極限存在，因為極限存在，則由極限的運算法則知 =，即極限存在，這與條件“極限不存在”矛盾。（3）不正確。例如（無窮小量與有界變量的乘積仍是無窮小量），但不存在，因此不能寫等式。（4） 不正確。例如，不存在，但。（5）不正確，例如，但不存在。又如，雖然極限，但由于故不能用“乘積的極限等于極限的乘積”法則，所以。（6） 不正確，例如，但推演過程是不對的。這是因為不存在。（7） 正確。事實上，由極限等于非零常數(shù)，知，存在點的某個空心鄰域，在該空心鄰域內，函數(shù)不等于0。又由極限存在,等于,得：存在點的某個空心鄰域，使其中，所

6、以在兩個空心鄰域的交集上，可得，此等式兩端同時取極限，得，即存在。（8） 正確。事實上，由（7）可知，由極限等于非零常數(shù)且極限存在,等于常數(shù),得。反之，若極限存在及存在，則由極限的四則運算法則可推得極限存在且等于。因此，在求幾個函數(shù)的乘積的極限的過程中，若某個因子的極限是非零常數(shù)，則可以先將該因子的極限寫出。例如.一般的，在運用極限四則運算法則時，要注意其條件是：涉及到的極限都存在，并且，變量的商的極限情形中，分母的極限不為零，否則不可隨意運用。由上面的分析可以看到：極限與極限同時存在，是極限及極限存在的充分條件，但不是必要條件。例7 (多項選擇題)當時，是（ ），則必有A 任意函數(shù) B 有極

7、限的函數(shù)C 無窮小量 D 無窮大量解 時，是無窮小量，當是有極限的函數(shù)時，由極限四則運算法則知，所以 B正確；又由無窮小量的性質“無窮小量與無窮小量之積仍是無窮小量”知C也正確。A, D不正確，例如.例 8 當時，函數(shù)的極限是（ ）A 2 B 0 C D 不存在但不為解 因為所以 又因為所以 注 所以在處，函數(shù)的左右極限不相等，故極限不存在，且也不為，所以選擇D 。例9 以下論斷是否正確(1) 任意兩個無窮小量都可比較階的高低;(2 有界變量與無窮大量的乘積仍是無窮大量;解 (1)不正確。例如，時，及都是無窮小量，但極限不存在，因此時，與不能比較階的高低。一般地，只有兩個無窮小量比值的極限存在

8、或為無窮大，它們才可比較階的高低。（2）不正確。例如時，是有界變量，是無窮大量，但是，即與的乘積卻不是無窮大量。又如，數(shù)列是有界變量，而是無窮大量，但不是無窮大量。例10 填空：當時（1）與是同階無窮小量，則 （2）與是同階無窮小量，則 。（3），則 。解 (1) 因為，故有 與是同階無窮小量，所以。一般地，當時，若某個無窮小量是關于的方冪的代數(shù)和，則它與次數(shù)最低的項是同階無窮小量。（2）因為，所以。（3）因為， ， ， ，所以，。例10 試說明無窮大量與無界變量的聯(lián)系與區(qū)別。解 以“時為無窮大量”的情況為例來說明。其定義是“設當充分大時函數(shù)有定義，若對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，當時，恒有

9、則稱當時，為無窮大量，記為”，也將讀作“當時，的極限為無窮大”，而函數(shù)為無界變量是指：“設函數(shù)的定義域為。若對于任意給定的正數(shù)，存在，使，則稱此函數(shù)在上為無界變量?！币虼?，無窮大量與無界變量的聯(lián)系與區(qū)別是：無窮大量一定是無界變量；但是，對于任意給定的正數(shù)，由于無界變量定義中不要求集合中所有的點處的函數(shù)值都滿足不等式，而只要求存在某個，使即可，因此，無界變量未必是無窮大量。例如，函數(shù)，在區(qū)間無界。事實上，對于任意給定的正數(shù),存在整數(shù)使得的絕對值大于，即存在，使。所以函數(shù)在區(qū)間無界。但是，時，并不是無窮大量。這是因為，對于任給的正數(shù)，不存在，使“當自變量時，總有”，事實上，對于任給的正數(shù)，無論是怎

10、樣充分大的正數(shù)，總存在的某個取值=（為整數(shù)），使。例11 設函數(shù)在區(qū)間（其中為常數(shù)）內連續(xù)，且,其中為常數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內有界。證：由知，對于任意給定的正數(shù)，存在，當即時，（不妨取的值使）故時.即函數(shù)在區(qū)間內有界；由知，對于任意給定的正數(shù)，存在，當即時，（不妨取的值使）故時，即函數(shù)在區(qū)間內有界；而函數(shù)在區(qū)間內連續(xù)，所以也在其子區(qū)間上連續(xù)。因閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界的，所以函數(shù)在區(qū)間上有界。綜上所述可得，函數(shù)在區(qū)間內有界。例12 函數(shù)在區(qū)間（ ）內有界。A B C D 【2004年考研數(shù)學3，4】解： 因所以在及，上均無界。又且在內連續(xù)，故在內有界，故選A。（參見例11）例13 關于無窮小量及無

11、窮大量的四則運算，有什么規(guī)律？解 不難由極限的定義及無窮大量、無窮小量、有界量的概念得到以下幾個結論（1） 兩個無窮小量的代數(shù)和、乘積仍為無窮小量（簡記為,）。兩個無窮大量的積仍是無窮大量。（簡記為）（2） 無窮大量與有界量的和或差仍為無窮大量； 但是，無窮大量與有界量的乘積未必是無窮大量。例如 ， 注 由于不存在，也不為，所以，（3）無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。，注 由于及 不存在，所以 ，（4）兩個同號無窮大量的和、兩個異號的無窮大量的差仍是無窮大量。可簡記為 （5）兩個異號無窮大量的和、同號無窮大量的差、兩個未定正負號的無窮大量的和或差（）未必是無窮大量。無窮大量與無窮小量的乘積

12、（）未必是無窮大（記號中的不是常數(shù)，而是代表不為常數(shù)的無窮小量），也未必是無窮小。同樣，兩個無窮小量的商、兩個無窮大量的商都是未定式。舉例如下：兩個異號無窮大量的和：（分母為兩個正無窮大的和，而無窮大的倒數(shù)為無窮小量）；.兩個未定正負號的無窮大量的和或差：=；.無窮大量與無窮小量的乘積（）：； ； 又如 （型）或用變量替換：令，則，從而兩個無窮大量的商（）： . 又如 一般地，當時其中為正整數(shù)。但是，若自變量變化趨勢不是，則不能用上面的結論。例如而不是。兩個無窮小量的商（簡記為， 不是一個確定的數(shù)，而只是“無窮小量之比”這種類型的極限的記號。即，它應理解為：其中與不是常數(shù)0，且而在極限的自變量

13、變化過程中不等于0）：這種情況下，不符合運用“商的極限的四則運算法則”的條件（即：分子、分母極限存在，且分母極限不為零0）,因此極限不能等于，后者無意義（分母等于0）。以下是幾個型極限的例子：不存在要注意“其中滿足”與“”型極限的區(qū)別。前者是常數(shù)0除以一個無窮小量，而無窮小量在自變量的變化過程中不等于0，所以是常數(shù)0除以不為0的數(shù)或式，結果為0，所以。例如，計算極限。因為時，所以此時分式，所以，而為“”型極限，極限值為3。關于未定式，還有（即其中），（即其中），（即其中）等幾種類型。在第三章學習了求極限的羅必塔法則以后，可進一步對它們進行研究。例14 以下推演是否正確？（1）（2）（3）解 （

14、1）不正確。只是一種極限類型（無窮大量之比）的記號，它不代表任何一個確定的常數(shù)。正確的推演過程是：因為，所以由無窮小量與無窮大量的關系得。（2）不正確。因為當分母的極限等于0時，不能用“兩個函數(shù)的商的極限的四則運算法則”。 作為一個分數(shù)值或極限值的記號是無意義的。所以，推演 是不對的。正確的解法見前面（1）中的解析。（3）不正確。這是因為，當時，極限式子里所含的項的個數(shù)不是固定的，而是隨著的增加而無限制地增加。這不符合極限四則運算法則里函數(shù)的項數(shù)固定（即項的個數(shù)不隨自變量變化而變化）的要求。正確的結果顯然是例15 求極限（1）（2）解：（1）因，而所以（2）因而 故由夾逼定理知例16 利用單調

15、有界數(shù)列必由極限，證明數(shù)列，存在極限，并求此極限。解 顯然，現(xiàn)假設，故由數(shù)學歸納法知該數(shù)列單調增加。下用數(shù)學歸納法證該數(shù)列有界。因，設，則，即該數(shù)列單調增加且有界，因而該數(shù)列必有極限。設，對兩端求極限，得，解得或（因,所以數(shù)列的極限不為負值，舍去負值），故有。例17 求極限，求解法一 為型。，令，則，且，所以，.由，得.解法二 故由，得.例18 求數(shù)列的極限解 此極限為型。.解2 由夾逼準則，有，從而原式類似地，讀者可以計算數(shù)列極限，其中為大于零的常數(shù)。例19 證明:若，則。證 ，因，由指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，得,即例20 證明：若且（常數(shù)），則。證一 因為,故由上例可知，即 證二 因為

16、，所以 ，故由指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，得即。例21 計算極限解法一 。解法二 。例22 求極限 解 這是兩個異號無窮大量的和的極限。=（利用公式，將分子有理化）.(在以上推演中，若令，則可將極限的自變量變化趨勢轉化為)例23 求極限【分析】由于極限都不存在，所以不能用極限的四則運算法則。解 利用三角公式，可得因為，是有界變量，無窮小量與有界量的乘積是無窮小量，所以=0. 在上面解題過程可見，將分子或分母有理化，是計算含根式的極限的有效的方法之一。例24 已知，求與【分析】顯然，。由于極限，所以，這是型未定式，不能將此極限寫成。通常，將函數(shù)適當變形，轉化為乘積或商的形式。解法一 將函數(shù)通分，化函數(shù)為兩

17、個多項式的商，得注意到時兩個多項式的商的極限的有關結論，可知，分子中平方項的系數(shù)及一次項的系數(shù)都等于0，所以，所以解法二 因為，且所以 而，所以，所以將代入原式，所以例25 在計算極限時，怎樣恰當使用等價無窮小代換？答 使用等價無窮小代換的依據(jù)是定理2-8 即：“ 設，且存在，則 ”，它是根據(jù)函數(shù)的商的極限運算法則來證明的。即： 因此，在使用等價無窮小代換時，要注意以下幾個注意點：注1 用來代換的無窮小在極限的自變量的變化過程中不能等于零。否則，在計算時，函數(shù)的分母將取到等于零的數(shù)值，使分式沒有意義。例如，下面的計算過程是錯誤的這是因為推演的第一步運用了（當時），這是不對的。因為當時，有可能取

18、到數(shù)值0（例如）。正確的解法是：當時，因此而，故.注2 求分式的極限時，當分子或分母是幾個無窮小的代數(shù)和時，若作為無窮小量的各項用其等價無窮小代換，則有可能得到錯誤的結果。這是因為，如果都是無窮小量，且，當極限或極限不存在時，不能用極限的四則運算法則，即不能得到+，從而不能對此等式右端這兩個極限分別用等價無窮小代換。例如是錯誤的，其中推演的第一步將分子中的用其等價無窮小來代替只有在都存在的前提下才能進行，可是都不存在。顯然.又例如：推演以及都是錯誤的。這是因為都是不存在的，故不能用極限的四則運算法則，即。正確的解法是.由此例還可知：時，。但是，若極限，是無窮小量，且極限及極限都存在，則可以根據(jù)

19、極限的四則運算法則得+， 這時，（）與是同階無窮小量或（）是比高階的無窮小量，可以考慮用它們的等價無窮小代換。例如.及 .和 注3 要善于套用基本的及常用的等價無窮小代換關系?；镜募俺Ｓ玫牡葍r無窮小代換關系有：時， ； ； ； ； ； ； 在學習了求極限的羅必塔法則（第三章）后，還可得到時， ； ； 其中為非零常數(shù)， 特別當，有；上面這些式子中的起著“位置占有者”的作用。即，套用上述等價關系時，在符合前面“注1”中提到的事項的前提下，可將這些式子里的無窮小量換成其等價的無窮小例如，若，則，進而利用相應的窮小代換以達到簡化運算的目的。例如，由，時，所以，； 注4 套用基本的及常用的等價無窮小代

20、換關系時，要確認有關的量在極限自變量變化趨勢下是無窮小量，不能只看函數(shù)的形式。例如 推演是錯誤的（時，及都不是無窮小量，但是無窮小量，無窮小量與有界量的乘積是無窮小量，所以正確的推演是）推演是錯誤的（時，及不是無窮小量。所以及不與及等價。正確的推演是，所以）例 26 計算 ，解 注意時，所以.例27 計算解 因為， 故有 例 28 無窮小量的等價關系符號“”與“約等于”號“”有什么區(qū)別和聯(lián)系？答 無窮小量的等價關系符號“”與“約等于”號“”有區(qū)別，也有聯(lián)系。（1）“”是用于聯(lián)系等價兩個無窮小量的關系符號，即“”兩端是無窮小量，并且它們等價；約等于符號“”兩邊是數(shù)值接近的數(shù)值或函數(shù)，它們可以是相

21、互等價的無窮小量，也可以不是無窮小量。因此，通常不能對等價關系符號“”號兩邊的式子用“移項”來變形，而“約等于”符號“”兩端的式子可以進行“移項”。例如，不能由“時”通過移項推得“”。事實上，當某個量不是無窮小量時，它就不能作為“”的一端的量。時，都不是無窮小量，所以是不對的。(2)另一方面, 若在自變量的某個變化趨勢下，例如時，無窮小量與等價，即，則可以推出，在點的某空心鄰域，有，其中，所以，只要充分趨近，就有，所以，這時，。從這個意義上說，在自變量變化到某個范圍時，等價關系符號“”可以換成“約等于”符號“”。例如，由“時”可推出：當?shù)慕^對值充分小時，從而，當?shù)慕^對值充分小時，。但反之，通常

22、由于約等于符號“”兩邊不一定是相互等價的無窮小量，所以不能隨便將約等于符號“”換成等價關系符號“”，例如，即使的絕對值充分小，也不能將改寫成。（3）等價無窮小量關系符號“”兩端的量及“約等于”符號“”兩端的量都不能在計算極限時無條件地相互替換。例如，計算極限，不能將用代替并進行如下推演，同樣，這里也不能將替換成。這是因為，這樣代替后，實際上把本應是一個關于的高階無窮小量變成了常量0了。 學習了函數(shù)的麥克勞林公式后，就可知道：從而 所以=。因此，是與同階的無窮小量。此外，學習了第三章中的羅必塔法則后，還可以用羅必塔法則計算出此極限。例 29 由函數(shù)在點處連續(xù)，是否可推斷此函數(shù)在的某個鄰域內也連續(xù)

23、？答 未必。例如函數(shù)在處連續(xù)，因為，因此，即函數(shù)在處連續(xù)。但當時，函數(shù)不連續(xù)。事實上，取一個收斂于的有理數(shù)數(shù)列，于是；再取一個收斂于的無理數(shù)數(shù)列，于是，因此不存在，故在處不連續(xù)。例30 是否存在這樣的函數(shù)，在其定義域的每個點處都不連續(xù)？解 有這樣的函數(shù)。例如。此函數(shù)的定義域為實數(shù)集R。函數(shù)在點處連續(xù)的定義是：，即使當滿足不等式時，就有。對于函數(shù)（1）若是有理數(shù)，因為，對于，（為無理數(shù)）滿足不等式，使，所以；（2）若是無理數(shù)，因為，對于，（為有理數(shù)）滿足不等式，使，所以。所以此函數(shù)在任意一點都不連續(xù)。例31 設函數(shù)問函數(shù)在處是否連續(xù)？解 因為,所以，而所以，因而在處不連續(xù)。例 32 研究函數(shù) （

24、）的連續(xù)性?！痉治觥?函數(shù)的自變量為， 用極限形式給出。在極限中，遇到自變量變化趨勢為時，約定是指自然數(shù)。求極限時，是參數(shù)，不是自變量。當在某范圍內取值確定后，求極限時，是常數(shù)，為變量，就是底數(shù)為常數(shù)、指數(shù)為變量的指數(shù)函數(shù)。因此極限存在與否及極限存在時等于什么數(shù)值， 要按底數(shù)大于1、小于1、等于1進行討論。即分三種情況討論，也即分，也就是。解 （1）當時，（2）當時，所以，因此，（3） 當時，=0（4） 當時，所以，因此（5） 當時，=1綜上所述，得 下面研究處函數(shù)的連續(xù)性（1），所以，在處函數(shù)不是右連續(xù)。（2），所以，函數(shù)在處連續(xù)。（3），所以函數(shù)在處不左連續(xù)。在函數(shù)定義域的其它區(qū)間內，函數(shù)

25、連續(xù)。注1 。其中極限=。不是型未定式。記號中的1不是常數(shù)1，而是代表以1為極限的不為常數(shù)的變量。注2 研究函數(shù)的連續(xù)性時，是自變量。例33 判斷函數(shù)是否連續(xù)。若不連續(xù)，指出間斷點的類型。解 注意到求極限時變量是，是自然數(shù)，。所以。函數(shù)在和內連續(xù)。點處左、右極限分別為。所以此函數(shù)在處不連續(xù)，點是函數(shù)的跳躍間斷點。例34 兩個不連續(xù)的函數(shù)的和、差、積、商一定是不連續(xù)函數(shù)嗎？解 未必。例如（1），它們在處不連續(xù)，但連續(xù)，連續(xù)。（2），它們在處不連續(xù)，但連續(xù)。例35 （單項選擇題）設函數(shù)和在內有定義，為連續(xù)函數(shù)，且，有間斷點，則（ ）A 必有間斷點 B 必有間斷點C 必有間斷點 D 必有間斷點解 選

26、B 。理由如下A 不對。例如，則有間斷點，但=1連續(xù)。C 不對。例如，則=1連續(xù)。D 不對。例如，則=1連續(xù)。B 正確。這是因為，設有間斷點，則（1）若在處無定義，則在點也無定義，從而函數(shù)在點不連續(xù)。(2)若在處有定義，但在點處極限不存在，注意為連續(xù)函數(shù)，且，所以，極限，從而極限極限也不存在。（否則，若存在，記極限為，則由極限存在的充分必要條件知，在的某去心鄰域內，函數(shù)可以表示成極限值與一個無窮小量的和，即：,其中，所以.從而，這與假設“函數(shù)在點處極限不存在”矛盾。故此時在點處不連續(xù)。（3）若在處有定義，且在點處極限存在（記為），但，則，所以，此時，函數(shù)在點處不連續(xù)。例 36試說明“函數(shù)在點處

27、有定義”“函數(shù)在點處有極限”“函數(shù)在點處連續(xù)”這三個概念之間的關系。解 “函數(shù)在點處有定義”與“函數(shù)在一點處有極限”沒有聯(lián)系。函數(shù)在點處有極限時，在點處函數(shù)可以有定義，也可以沒有定義，有定義時，極限值也未必等于函數(shù)值。若“函數(shù)在點處連續(xù)”，則“函數(shù)在點處有極限”且極限值就等于函數(shù)在點處的函數(shù)值。例37 求函數(shù)的間斷點，并指出其類型。解 此函數(shù)定義域為三個開區(qū)間的并集：。函數(shù)在上面的三個開區(qū)間內連續(xù)；在點處函數(shù)無定義，但極限，所以，所以點為函數(shù)的無窮間斷點。在點處函數(shù)無定義，且，故有，所以， 又，所以，故， 所以因為在點處左、右極限存在但不相等，所以點是此函數(shù)的跳躍間斷點。注 對于指數(shù)函數(shù)，指數(shù)

28、趨于正無窮與指數(shù)趨于負無窮，其極限是不同的。例38 （選擇題）下列極限中正確的有（ ）（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）（10） (11) (12) （13） （14） （15）（16） （17）解 注意時，；時時，； 以及， , 可知正確的有（2）,（3）,（5）,（6）,（7）,(8), (10) ， (12) ,(13) ,（14） ,（15）,（16）（17）例39 設函數(shù)在上連續(xù)，試證方程在上至少有一個實數(shù)根。證 即證存在，使。將要證明的等式變形為，并將其中的換成，構造輔助函數(shù)，此函數(shù)的零點就是方程的根，也就是方程的根。因為在上連續(xù),連續(xù)，所以復合函數(shù)

29、在上連續(xù)，所以在上連續(xù)。并且，。所以。又因為，所以。若，則及都是方程在上的根。若，則在區(qū)間端點處的函數(shù)值異號。由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質知，在區(qū)間內至少有一個零點，即方程在區(qū)間內至少有一個實數(shù)根。綜上所述，方程在上至少有一個實數(shù)根。例40 證明：如果函數(shù)在內連續(xù)，為此區(qū)間內任意兩點，則在內必有一點，使。證法一 當時，結論顯然成立。不失一般性，下設。由于函數(shù)在連續(xù)，故在該區(qū)間上必有最大值和最小值。所以，所以，故。由介值定理知，在內至少存在一點，使。因，故在內必有一點，使。證法二 將要證明的等式變形為，并將其中的字母換成，引入輔助函數(shù)。若，則結論顯然成立。故不妨設。由條件可知，在區(qū)間上連續(xù)。故有+=

30、0，若=0，則此時點及點都可作為點，使。若，由連續(xù)函數(shù)的零點定理知，在區(qū)間內（從而必在內）至少有一個零點使。二本章學習效果測試練習1 單項選擇題 （1）設（為常數(shù)）則 （ ）A. 在點處連續(xù) B. 在點處有定義C. 在點的某個去心鄰域內有界 D. 點為的可去間斷點(2) “在處有定義”是當時有極限的（ ）A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.無關條件（3）“在處有定義”是在處連續(xù)的（ ）A.充分條件 B.必要條件 C.充分必要條件 D.無關條件（4 ）設點為的第一類間斷點，則（ ）A. 在點處極限存在,但在該點處無定義 B. （為常數(shù)） C.在點處左、右極限至少有一個不存在. D在

31、點處左、右極限都存在但未必相等。 .（5）當時，是 （ ）A. 無窮小量 B.無窮大量 C.無界變量 D.有界變量（6）當時，下列變量中，與等價的無窮小量是（ ） A. B. C. D.(7) 設當時,與是等價無窮小量，其中為常數(shù)，則必有（ ）A B.為任意常數(shù) C.為非零常數(shù) D.（8）“函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)”是函數(shù)在閉區(qū)間上有界的（ ） A.無關條件 B. 充分必要條件 C充分但非必要條件 D. 必要但非充分條件（9）已知函數(shù)在內連續(xù)，且與異號，則（ ） A.在內至少有一個點，使 B.在上有界 C. 無法判斷在內是否有零點 D. 在內有界（10）以下式子中，正確的是（ ） A. B. C.

32、D. 2 填空題（1） 已知數(shù)列的極限為3，則至少為 ，可使；至少為 ，可使。（2）指出當 時，下列變量是無窮小量。（當 時）； （當 時）；（當 時）； （當 時）；（當 時）； （當 時）； （當 時）； （當 時）； （當 時）；（3）指出當？時下列變量是無窮大量。（當 時）； （當 時）；（當 時）； （當 時）； （當 時）； （當 時）。(4).試判斷下列結論是否正確(填寫“正確”或：“錯誤”)（A）無窮小量是零。 （B）零是無窮小量。 （C）任意兩個無窮小量都可以比較階的高低。 （D）有界量與無窮大量之積是無窮大量。 （E）任意兩個無窮大量之和仍是無窮大量。 （F）無界變量一定是

33、無窮大量。 （G）有限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是有界函數(shù)。 （H）無限區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是無界函數(shù)。 （5）設常數(shù)，則 。【2002年考研數(shù)學三】（6）設函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，且，則 。（7） 。（8）已知時，與是同階無窮小，則為 。(9)設函數(shù)，則的不含極限號的表達式為 。（10）函數(shù)的間斷點的個數(shù)為 。3.求下列極限： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9）已知，求常數(shù) （10）（11） （12）（13） （14） （15） （16） 4.求下列極限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）(11) (12)（13） 5.下列極限存在的有（ ）（1）

34、 （2）（3） （4）（5） （6） 【2005年考研數(shù)學三】（7） （8）（9） （10），其中6.已知，試確定的值。7.已知，求的值。8.設，問在處是否連續(xù)？9.討論函數(shù)的連續(xù)性。10.確定的值，使函數(shù)連續(xù)。11.指出下列函數(shù)的間斷點及間斷點的類型。（1） （2）（3） （4）12.證明方程至少有一個不超過3的實根。13.設函數(shù)在區(qū)間連續(xù)（其中為常數(shù)），且。證明：函數(shù)在區(qū)間有界。14.設，求。三 本章學習效果測試練習參考答案：1 （1） 應選C. 由（為常數(shù)）并不能確定函數(shù)在點處是否由定義，所以也不能確定函數(shù)在該點處是否連續(xù)。由函數(shù)極限的的局部有界性定理，則在點的某個去心鄰域內函數(shù)有界。（2）D（3）B（4）D（5）D.因為（6）B.因為而（7）由，得（8）C（9）C.例如在的端點處函數(shù)值異號，在內及在上函數(shù)無界且無零點。（10）B. 注意A中極限不存在。 C.中分子是兩個無窮小量之差，極限及不存在，所以不能將分子的每一項用其等價無窮小代替。1. 填空題（1）（A）由得，所以至少大于100（B）由得，所以至少大于1000(2（A） （B） （C），為整數(shù)（D） (E) (F)為整數(shù)且（G）或為整數(shù)（H）或 (I)(3)（A） （B）或 （C）或（D） （E） （F）為整數(shù)（4） A）錯。無窮小量是以零為極限的量，