《集合的含義與表示》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載1.1.1 集合的含義與表示教案【教學(xué)目標(biāo)】1.了解集合、元素的概念，體會集合中元素的三個特征；2. 理解元素與集合的“屬于”和“不屬于”關(guān)系；3. 掌握常用數(shù)集及其記法；4.了解集合的表示方法；5.能正確選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用.【導(dǎo)入新課】一、實(shí)例引入：軍訓(xùn)前學(xué)校通知： 8 月 20 日 8 點(diǎn)，高一年級在體育館集合進(jìn)行軍訓(xùn)動員；試問這個通知的對象是全體的高一學(xué)生還是個別學(xué)生？在這里， 集合是我們常用的一個詞語， 我們感興趣的是問題中某些特定 （是高一而不是高二、高三）對象的總體，而不是個別的對象，為此

2、，我們將學(xué)習(xí)一個新的概念集合，即是一些研究對象的總體.二、問題情境引入：我們高一（一）班一共52 人，其中班長張三，現(xiàn)有以下問題： 52 人組成的班集體能否組成一個整體？ 張三和 52 人所組成的班集體是什么關(guān)系? 假設(shè)李四是相鄰班的學(xué)生，問他與高一·一班是什么關(guān)系？新授課階段（一）集合的有關(guān)概念1. 集合理論創(chuàng)始人康托爾稱集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體.2.一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素（ element ），一些元素組成的總體叫集合（ set ），也簡稱 集 .3. 思考 1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并

3、說明理由：（ 1） 大于 3 小于 11 的偶數(shù)；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（ 2） 我國的小河流；（ 3） 非負(fù)奇數(shù)；（4）方程 x210 的解；（ 5） 某校 20XX 級新生；（ 6） 血壓很高的人；（ 7） 著名的數(shù)學(xué)家；（ 8） 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點(diǎn)；（ 9） 全班成績好的學(xué)生 .對學(xué)生的解答予以討論、點(diǎn)評，進(jìn)而講解下面的問題.4. 關(guān)于集合的元素的特征（ 1）確定性： 設(shè) A 是一個給定的集合， x 是某一個具體對象， 則或者是 A 的元素，或者不是A 的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立.（ 2）互異性：一個給定集合中的元素， 指屬于這個集合的互不相同的個體 （對象），因此

4、，同一集合中不應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.（ 3）無序性：給定一個集合與集合里面元素的順序無關(guān).（ 4）集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣.(二 )元素與集合的關(guān)系1. （ 1）如果 a 是集合 A 的元素，就說 a 屬于（ belong to） A ，記作： a A ；（ 2）如果 a 不是集合A 的元素，就說a 不屬于（ not belong to ） A，記作： aA ，例如，我們A 表示“ 120 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則有3 A ， 4A ，等等 .2集合與元素的字母表示：集合通常用大寫的拉丁字母A，B， C 表示，集合的元素用小寫的拉丁字母a,b,c, 表示 .3常用的數(shù)集及記法：

5、非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作 N ；正整數(shù)集，記作N *或 N+；整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實(shí)數(shù)集，記作R.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載例 1 若集合 A 為所以大于1 二小于 3 的實(shí)數(shù)組成的集合，則下面說法正確的為（）A 0A.1 AC.0.2AD.1A解析： 根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得，答案C.答案： C例 2用“”或“”符號填空：（1）8N；（ 2）0N；（ 3）-3Z；（4） 2 Q；（5）設(shè) A 為所有亞洲國家組成的集合，則中國A，美國 A ，印度 A，英國 A.答案：; ;, ,例 3判斷下列各句的說法是否正確：(1)所有在 N 中的元素都在N* 中()(2)所有在 N 中的元素都

6、在Z 中()(3)所有不在 N* 中的數(shù)都不在Z 中()(4)所有不在 Q 中的實(shí)數(shù)都在R 中()(5)由既在 R 中又在 N 中的數(shù)組成的集合中一定包含數(shù)0()(6)不在 N 中的數(shù)不能使方程4x 8成立()答案： ×，×，×，例 4已知集合 P 的元素為 1,m, m23m3,若3 P且-1P，求實(shí)數(shù) m 的值解：根據(jù) 3P ，得若 m3,則 m23m33 此時(shí)不滿足題意；若m 3m 33, 解得此時(shí) m0 或 m3 （舍），綜上 符合條件的 m0 .點(diǎn)評： 本題綜合運(yùn)用集合的定義和元素與集合的關(guān)系解題，注意集合的性質(zhì)的運(yùn)用.（三） 集合的表示方法我們可以用自

7、然語言和圖形語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來表示集合(1)列舉法： 把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫列舉法.如： 1 ， 2，3， 4， 5 ， x 2， 3x+2 ， 5y3-x，x2+y 2 ， 說明： 1集合中的元素具有無序性，所以用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的順序.學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2各個元素之間要用逗號隔開；3元素不能重復(fù)；4集合中的元素可以數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式等；5對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號，象自然數(shù)集用列舉法表示為1,2,3,4,5,. .例 5用列舉法表

8、示下列集合：(1)x2 4 的一次因式組成的集合 .(2) y y x2 2x 3，x R,y N .(3)方程 x2 6x 9 0 的解集 .(4)20以內(nèi)的質(zhì)數(shù) .(5) （ x， y） x2 y2 1， x Z,y Z .(6) 大于 0 小于 3 的整數(shù) (7) x R x2 5x 14 0.(8) （ x， y） xN ，且 1 x 4， y 2x 0.(9) （ x， y） x y 6， x N， y N.分析：用列舉法表示集合的關(guān)鍵是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不計(jì)次序地用“，”隔開放在大括號內(nèi).解： (1)因 x2 4（ x 2）（x 2），故符合題意的集合為 x 2

9、，x 2.(2)y x2 2x 3（ x 1） 2 4，即 y 4，又 y N， y 0， 1，2， 3， 4.故 y y x2 2x3， x R, y N 0 ， 1， 2， 3，4.(3)由 x2 6x 90 得 x1 x2 3，方程x2 6x 9 0 的解集為 3.(4)20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù) 2 ， 3， 5，7， 11， 13，17， 19.(5)因 x Z, y Z ，則 x 1， 0， 1 時(shí)， y 0，1， 1.那么 ( x，y) x2 y2 1， x Z ,y Z （ 1， 0），（ 0， 1），（0， 1），（ 1， 0） .(6) 大于 0 小于 3 的整數(shù) 1 ，2.(7)因

10、 x2 5x 140 的解為 x1 7， x2 2，則 x R x2 5x14 0 7， 2.(8)當(dāng) x N 且 1 x4 時(shí)， x 1， 2， 3，此時(shí) y 2x，即 y 2， 4， 6.那么 （ x， y） x N 且 1 x4， y 2x0 （ 1，2），（ 2，4），（ 3，6） .(9) （ x，y） x y 6， x N ，y N （ 0，6）（ 1， 5），（ 2， 4），（ 3，3），（ 4，2），（ 5， 1），（6， 0） .（ 2）描述法： 把集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在花括號 內(nèi) .學(xué)習(xí)好資料歡迎下載具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（

11、或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.一般格式：xA p( x)如： x|x-3>2， (x,y)|y=x2+1 ， x直角三角形 ， ；說明 ：1課本 P5 最后一段話；2描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素 ，如 (x,y)|y= x2 +3x+2與y|y= x2+3x+2是不同的兩個集合，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如： x整數(shù) ，即代表整數(shù)集Z.辨析：這里的 已包含 “所有” 的意思， 所以不必寫 全體整數(shù) . 下列寫法 實(shí)數(shù)集 ，R 也是錯誤的 .說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點(diǎn)，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，一般集合中元

12、素較多或有無限個元素時(shí)，不宜采用列舉法.例 6用描述法表示下列集合：(1)方程 2x y 5的解集 .(2) 小于 10 的所有非負(fù)整數(shù)的集合 .(3)方程 ax by0（ ab0）的解 .(4)數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離大于3 的點(diǎn)的集合 .(5)平面直角坐標(biāo)系中第、象限點(diǎn)的集合.x+ y1(6)方程組 x y 1 的解的集合 .(7)1 ， 3， 5，7， .(8)x 軸上所有點(diǎn)的集合 .(9)非負(fù)偶數(shù) .(10)能被 3 整除的整數(shù) .分析：用描述法表示集合的關(guān)鍵是找出集合中元素的公共屬性，確定代表元素， 公共屬性可以用文字直接表述，也可用數(shù)學(xué)關(guān)系表示，但要抓住其實(shí)質(zhì).解： (1) （x， y

13、） 2x y 5.(2)小于 10 的所有非負(fù)整數(shù)的集合用描述法表示為 x 0 x 10， x Z.(3)方程 ax by0（ ab0）的解用描述法表示為 （ x， y） ax by 0（ab 0）.(4)數(shù)軸上離開原點(diǎn)的距離大于3 的點(diǎn)的集合用描述法表示為 x x3.(5)平面直角坐標(biāo)系中第、象限點(diǎn)的集合用描述法表示為 （ x， y） xy 0.x+ y1x+ y1(6)方程組 x y 1 的解的集合用描述法表示為 （ x， y） xy 1 .(7)1 ， 3，5， 7， 用描述法表示為 x x 2k 1， k N* .學(xué)習(xí)好資料歡迎下載(8)x 軸上所有點(diǎn)的集合用描述法表示為 （ x， y

14、） x R， y 0.(9)非負(fù)偶數(shù)用描述法表示為 x x 2k，k N .(10)能被 3 整除的整數(shù)用描述法表示為 x x 3k，k Z.（3）文恩圖法：集合的表示除了列舉法和描述法外，還有恩韋圖(文氏圖)敘述如下：畫一條封閉的曲線，用它的內(nèi)部來表示一個集合.如圖：表示任意一個集合A表示 3 ， 9， 27表示 4 ，6，10邊界用直線還是曲線， 用實(shí)線還是虛線都無關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素和子集統(tǒng)統(tǒng)包含在里邊就行，但不能理解成圈內(nèi)每個點(diǎn)都是集合的元素.例 7 設(shè)集合 A x x2k，k Z ， B xx 2k 1， k Z ， C xx 4k 1，k解：因 A x x 2k，kZ ，B

15、 x x 2k1，k Z ，則集合 A 由偶數(shù)構(gòu)成，集合B 由奇數(shù)構(gòu)成 .即 a 是偶數(shù)， b 是奇數(shù)設(shè) a 2m， b 2n1（ m Z , n Z ）則 ab 2（ m n） 1 是奇數(shù)，那么a b A， a bB.又 C xx 4k 1，k Z 是由部分奇數(shù)構(gòu)成且x 4k1 2· 2k1.故 m n 是偶數(shù)時(shí)， ab C； m n 不是偶數(shù)時(shí)，a b C綜上 a b A，a b B， a b C.課堂小結(jié)1.集合的概念中， “某些指定的對象” ，可以是任意的具體確定的事物，例如數(shù)、 式、點(diǎn)、形、物等.2.3. 集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法.作業(yè)1習(xí)題 1.1，第 1-

16、 2 題；學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2預(yù)習(xí)集合的表示方法.拓展提升1.用集合符號表示下列集合，并寫出集合中的元素：(1) 所有絕對值等于8 的數(shù)的集合A；(2) 所有絕對值小于8 的整數(shù)的集合B.2.下列各組對象不能形成 集合的是（）A. 大于 6 的所有整數(shù)B. 高中數(shù)學(xué)的所有難題1C.被 3 除余 2 的所有整數(shù)D. 函數(shù) y x 圖象上所有的點(diǎn)3.下列條件能形成集合的是（）A. 充分小的負(fù)數(shù)全體B.愛好飛機(jī)的一些人C.某班本學(xué)期視力較差的同學(xué)D.某校某班某一天所有課程4.集合 A 的元素由 kx2 3x 20的解構(gòu)成，其中k R ，若 A 中的元素至多有一個，求k值的范圍 .5.若 x R，則

17、3 ， x， x2 2x 中的元素x 應(yīng)滿足什么條件?116.方程ax2 5xc 0 的解集是 2 ， 3 ，則 a _，c_.7.集合 A 的元素是由 x ab2 （ aZ, b Z ）組成，判斷下列元素x 與集合 A 之間的關(guān)系：0，11.，32 12參考答案1. 分析：由集合定義：一組確定對象的全體形成集合，所以能否形成集合，就看所提學(xué)習(xí)好資料歡迎下載對象是否確定；其次集合元素的特征也是解決問題依據(jù)所在.解： (1)A 絕對值等于8 的數(shù) 其元素為： 8， 8(2)B 絕對值小于8 的整數(shù) 其元素為：7， 6， 5， 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7.2

18、. 解：綜觀四個選擇支，A 、 C、D 的對象是確定的，惟有B 中的對象不確定，故不能形成集合的是B.3 解：綜觀該題的四個選擇支，A、 B、 C 的對象不確定，惟有D 某校某班某一天所有課程的對象確定，故能形成集合的是D.4. 解：由題A 中元素即方程kx2 3x2 0(k R)的根2若 k 0，則 x 3 ，知 A 中有一個元素，符合題設(shè)若 k 0，則方程為一元二次方程.當(dāng)9 8k 0 即 k 9時(shí)， kx2 3x 2 0 有兩相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)A 中有一個元素 .89又當(dāng) 9 8k0 即 k 8 時(shí) ,kx2 3x 20 無解 .此時(shí) A 中無任何元素，即A也符合條件綜上所述k 0 或 k 98評述：解決涉及一元二次方程問題，先看二次項(xiàng)系數(shù)是否確定，若不確定，如該題，則須分類討論 .其次至多有一個元素，決定了這樣的集合或者含一個元素，或者不含元素，分兩種情況 .5. 解：集合元素的特征說明 3 ，x， x2 2x 中元素應(yīng)滿足關(guān)系式x 3x3x 3x x2 2x即 x2 3x也就是 x 03 x2 2xx2 2x3 0x 1即 x 1， 0， 3 滿足條件 .6. 解：方程 ax2 5xc 0 的解集是 1 ， 1 ，那么 1 、