導(dǎo)數(shù)問題的六大應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)問題的六大熱點導(dǎo)數(shù)部分內(nèi)容，由于其應(yīng)用的廣泛性，為解決函數(shù)問題提供了一般性的方法及簡捷地解決一些實際問題因此在高考新課程卷中占有較為重要的地位，其考查重點是導(dǎo)數(shù)判斷或論證單調(diào)性、函數(shù)的極值和最值，利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題等方面，常以一小一大或二小一大的試題出現(xiàn)，分值1217分下面例析導(dǎo)數(shù)的六大熱點問題，供參考一、運算問題是指運用導(dǎo)數(shù)的定義、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)和差積商的導(dǎo)數(shù)，及復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則，直接求出其導(dǎo)數(shù)的運算問題例1已知為正整數(shù).設(shè)證明：因為，所以例2 已知y(x1)2，用定義法求y' 求y2x23x4的導(dǎo)數(shù) 已知函數(shù)f(x)，且(1)2，求a的值分析：對于運用導(dǎo)數(shù)的定

2、義，即y'，即可解決；對于可應(yīng)用(u±v)'vu以及解之；對于是逆向型的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運算問題，用及方程思想即可解決解析： y'2x2 由法則，即得y'4x3 (ax21)2ax，即(1)a(a1)2，解得a2二、切線問題 是指運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義或物理意義，解決瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等三類問題特別是求切線的斜率、傾斜角及切線方程問題，其中： 曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的斜率k，傾斜角為，則tank 其切線l的方程為：yy0(xx0)若曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時，由切線定義知，切線方

3、程為xx0例3 已知，函數(shù)設(shè)，記曲線在點處的切線為 求的方程； 設(shè)與軸交點為證明：；若，則 解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程： 證明：依題意，切線方程中令y0，. 由.例4設(shè)，曲線在處切線的傾斜角的取值范圍是，則到曲線對稱軸距離的取值范圍是（A）（B）（C）（D） 解：2axb，故點處切線斜率k2ax0btan0，1，于是點P到對稱軸x的距離d|x0()|，故選(B)三、單調(diào)性問題一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)如果f '(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f '(x)0，則f(x)為減函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的重點內(nèi)容，主要有四類問題：運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)區(qū)間；證明單調(diào)性；已知

4、單調(diào)性求參數(shù)；先證明其單調(diào)性，再運用單調(diào)證明不等式等問題例5 設(shè)a0，是R上的偶函數(shù)（I）求a的值；（II）證明在（0，+）上是增函數(shù)。 () 解：依題意,對一切xÎR有f(x)=f(-x)，即，所以對一切xÎR成立由此得到，即又因為，所以()證明：由得 當(dāng)xÎ(0，+)時，有，此時，所以在(0，+)是增函數(shù). 評注：對于第()問是證明函數(shù)的單調(diào)性，雖然可利用函數(shù)單調(diào)性定義直接證明，但對f(x1)f(x2)的變形要求較高，技巧性強，且運算量大，是一種“巧法”；而利用導(dǎo)數(shù)法，簡捷明快，也成了“通法”四、極值問題即運用導(dǎo)數(shù)解決極值問題一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)

5、，判別f(x0)為極大(小)值的方法是： 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極大值 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么f(x0)是極小值例6 函數(shù)y13xx3有( )(A) 極小值1，極大值1(B) 極小值2，極大值3(C) 極小值2，極大值2(D) 極小值1，極大值3分析：本題是求已知三次函數(shù)的極值問題，考慮運用導(dǎo)數(shù)先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求其極值解：由y'33x20，得x1或x1當(dāng)x(，1)(1，)時，y'0當(dāng)x(1，1)時，y'0因此函數(shù)y13xx3在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，即x1是極小值點，x1是極大值點所

6、以極小值為1，極大值為3，故選(D)五、最值問題運用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值的一般步驟如下：若f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則 求，令0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點及導(dǎo)數(shù)不存在的點 比較三類點：導(dǎo)數(shù)不存在的點，導(dǎo)數(shù)為0的點及區(qū)間端點的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的是小值例7 求函數(shù)f(x)x42x25在2，2上的最大值與最小值解： 4x34x，令0，解得x11，x20，x31，均在(2，2)內(nèi)計算f(1)4，f(0)5，f(1)4，f(2)13，f(2)13通過比較，可見f(x) 在2，2上的最大值為13，最小值為4六、應(yīng)用問題例8 用總長14.8m的鋼條制成一個長方體容器的框架，如果所制做容器的底面的一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積.分析：本小題主要考查應(yīng)用所學(xué)導(dǎo)數(shù)的知識、思想和方法解決實際問題的能力，建立函數(shù)式、解方程、不等式、最大值等基礎(chǔ)知識解：設(shè)