瑕積分的性質(zhì)與收斂判別

1、3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別教學(xué)目的：掌握瑕點，瑕積分的概念，會運用瑕積分的收斂判別法。重點難點：重點與難點為瑕積分的收斂判別方法及其與無窮積分收斂判別法的區(qū)別。教學(xué)方法：講練結(jié)合。教學(xué)內(nèi)容：例1圓柱形桶的內(nèi)壁高為h,內(nèi)半徑為R,桶底有一半徑為r的小孔.試問從盛滿水開始打開小孔直至流完桶中的水，共需多少時間 ？從物理學(xué)知道，在不計摩擦力的情形下，當(dāng)桶內(nèi)水位高度為（h-x）時，水從孔中流出的流速（單位時間內(nèi)流過單位截面積的流量）為v = J2g（h - x）,其中g(shù)為重力加速度.設(shè)在很小一段時間dc內(nèi)，桶中液面降低的微小量為dx,它們之間應(yīng)滿足nR2dx = vnr2dt ,由此則有dt 二R2r2

2、 ,2g(h-x)dx, x 0, h.所以流完一桶水所需時間在形式上亦可寫成“積分”h R2tf = 0-2一r 2g(h-x)但是在這里因為被積函數(shù)是0,h）上的無界函數(shù)，所以它的確切含義應(yīng)該是2-Rdx r , 2g(h-x)_ u)、瑕積分的定義定義2 f定義在區(qū)間（a,b上，在點a的任一右鄰域內(nèi)無界，但在任何內(nèi)閉區(qū)間u,bu（a,b）上有界且可積.如果存在極限lim,f f （x）dx = J ,則稱此極限為無界函數(shù)f在（a, b上的 ua u反常積分，記作J = : f(x)dx, a并稱反常積分ff(x)dx收斂.如果極限lim+jf (x)dx = J不存在，這時也說反常 積分

3、j f (x)dx發(fā)散.在定義2中，被積函數(shù)f在點a近旁是無界的，這時點a稱為f的瑕點，而b無界函數(shù)反常積分f f(x)dx又稱為瑕積分.類似地，可定義瑕點為b時的瑕積分： abua f (x)dx = lim_a f(x)dx.其中f在a,b)有定義，在點b的任一左鄰域內(nèi)無界，但在任何a,u ua,b)上可積.若f的瑕點cw (a,b),則定義瑕積分bcba f(x)dx = a f (x)dx auf (x)dx = limu )c - abf (x)dx lim f (x)dx.v )c - v其中f在a,c) = (c,b上有定義，在點 c的任一鄰域內(nèi)無界，但在任何 a,uua,c)和

4、v,buc,b)上都可積.當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個瑕積分都收斂時,左邊的瑕積分才是收斂的.又若a、b兩點都是f的瑕點，而f在任何u,vu(a,b)上可積，這時定義 瑕積分bcbcvf (x)dx = f(x)dx，I f (x)dx = lim f (x)dx lim f (x)dx, aacua uv b-c其中。為(a,b)內(nèi)任一實數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)(7)式右邊兩個瑕積分都收斂時，左邊的瑕 積分才是收斂的.例1瑕積分01s的值 . 1 - x1解： 被積函數(shù)f(x)= J在0,1)上連續(xù)，從而在任何0,u二0,1)上可1 -x21dxu dx二積，x=1 為其瑕點. 依je義 2 求得,=lim j =

5、 lim arcsinu =-.,0J_x2uL.I-X2-21例2討論瑕積分(卓(q a 0)的收斂性.x解： 被積函數(shù)在(0,1)上連續(xù)，x = 0為其瑕點.由于1 dx ux44nu,q T(0 二 u ； 1),故當(dāng)0Vq1時，瑕積分(8)收斂，且f萼=lim (萼=;而當(dāng)q1時，瑯積 0 xq u 0 u xq 1 -q分(8)發(fā)散于十比.注：當(dāng)0Vq1時，瑕a (x -a)q 1 -q一 ”，b積分發(fā)目攵于十a(chǎn) .a (x -a)q例3討論瑕積分f 旦的收斂性.1 xln x解：x=1是瑕點，有2 dx1 xln xdx叫 1Klm1n1n(x)則發(fā)散.一 一 8 dx 例4討論瑕

6、積分般的收斂性 3xx = 0是瑕點，有8 dx3x0 dx-3.x0 dx3 x8 dx0 3 x0 dx3 23小:叫標(biāo)3-1328 dx 8 dx 3-0 3;叫3：1喝(4- KG則收斂二、瑕積分的性質(zhì)類似于無窮積分的柯西收斂準(zhǔn)則以及其后的三個性質(zhì)，瑕積分同樣可由函數(shù)bb極限lim+J f(x)dx = J f (x)dx的原意寫出相應(yīng)的命題.ua - uab定理11. 5瑕積分f f(x)dx (瑕點為a)收斂的充要條件是：任給0, a存在 60,只要 u1、u2 乏(a, a+S),總有f (x)dx - f (x)dx| = f 2 f (x)dx 8.1也小性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 力與

7、f2的瑕點同為x = a,k1、k2為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分j f1(x)dx與j f2(x)dx都收斂時，瑯積分 jk1fl (x)+ k2 f2(x)dx必定收斂，并有bbba k1 f1(x) k2 f2(x)dx = k1 f1(x)dx k2 a f2 (x)dx性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)f的瑕點為x = a, f在(a,b的任一內(nèi)閉區(qū)間u,b上可 b 一一. b , 、. 、 一 一 、， b b積.則當(dāng)f f(x)dx收斂時(f(x)dx也必止收斂，并有 J f (x)dx 0, a存在60,只要ui、U2乏(a,a+6),總有bbu2f f (x)dx - f f (x)dx = J f(x)d

8、xa. u1”2“1性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 力與f2的瑕點同為x = a,k1、k2為常數(shù)，則當(dāng)瑕積分bbbf f1(x)dx與f f2(x)dx都收斂時,瑕積分1 k1fl(x) + k2 f2(x)dx必定收斂，并有 aaabbbk1fl (x) + k2 f2(x)dx = k1 J f1(x)dx+k2J f2(x)dx。(1)aaab性質(zhì)2設(shè)函數(shù)f的瑕點為x =a,cw (a,b)為任一常數(shù).則瑕積分f f(x)dx與cf f (x)dx同斂態(tài)，并有 abcbf(x)dx = f(x)dx，i f (x)dx,(2)aacb其中f f(x)dx為定積分.c性質(zhì)3 設(shè)函數(shù)f的瑕點為* = 2,

9、 f在(a,b的任一內(nèi)閉區(qū)間u,b上可積.則 bb當(dāng)f f(x)dx收斂時f f(x)dx也必定收斂，并有 1aLabb f (x)dx 氣 f (x)dx.(3)bb同樣地，當(dāng)f f(x)dx收斂時，稱f f(x)dx為絕對收斂.又稱收斂而不絕對收斂的瑕積分是條件收斂的.三、瑕積分的收斂判別法判別瑕積分絕對收斂的比較法則及其推論如下：定理11.6(比較法則)設(shè)定義在(a,b上的兩個函數(shù)f與g,瑕點同為* = 2,在任何u,bu (a,b上都可積，且滿足f(x) 0,且limJ刈=c ,則有：x)a g(x)bb(1) 當(dāng) 0c+8時，L f (x)dx與g(x)dx 同斂態(tài)；一 一. 一一，

10、 , b b(ii)當(dāng)c=0時，由g(x)dx收斂可推知 f(x)dx也收斂；bb(iii)當(dāng)c = +兀時，由g(x)dx發(fā)散可推知f(x)dx也發(fā)散.aa-(X b - I adxb成為如下的推絲不作為比較對象f g(x)dx時，比較法則及其推論1-aya推論2 設(shè)f定義于(a,b, a為其瑕點，且在任何u,b匚(a,b上可積,則有：(i) 當(dāng) f (x) 1-,且 0p1時，b f(x)dx收斂；(x-a)a-1. b.(ii) 當(dāng)f(x)之,且p.時 f(x)dx發(fā)目攵.(x -a)pa推論3 設(shè)f定義于(a,b, a為其瑕點，且在任何u,b匚(a,b上可積.如果limjx -a)p

11、f (x)=九，x 11a則有：(i)當(dāng)0p1, 0 M九+如時廿f (x)dx收斂;b(ii)當(dāng)p 1 , 0 c九4十8時Jf(x)dx發(fā)散.例1判別下列瑕積分的收斂性：Dfax；2)喧dx解本例兩個瑕積分的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上分別保持同號一)在x(0,1上恒為負(fù),Nx在(1,2上恒為正一所以它們的瑕積分收斂與絕對收斂是同一 ln x回事.1)此瑕積分的瑕點為x=0. ，一 3.由上述推論3,當(dāng)取p = 30 x 41l i (4x =0,x )0 -所以瑕積分1)收斂.2)此瑕積分的瑕點為x=1.當(dāng)取p=1時，由x . x -1 d1 = lim (x -1) = lim = 1,

12、x1ln xX，1 ln x推知該瑕積分發(fā)散.最后舉一個既是無窮積分又是瑕積分的例子.例2討論反常積分(a)=/a 1Jdx的收斂性.1 x解把反常積分6(a)寫成10十dx4 aX IO0(Xdx瑕點為x = 0.由于a lim x1 = 1 , x 0 -1 x根據(jù)定理11.6推論3,當(dāng)0p=1a0且?”=1時，瑕積分1(a)收斂;當(dāng)p =1 一口 1,即支E0且九=1時，1(發(fā)散(ii) 再討論J),它是無窮積分.由于2 - x，11lim x 一一= lim =1,J1 x j1 x根據(jù)定理11.2推論3,當(dāng)p=2a 1 ,即a1且九=1時，J(o()發(fā)散.綜上所述，把討論結(jié)果列如下表

13、：a0 00 a 11 11I (a)0(收斂定積分J收斂收斂0(中(口)0(收斂0(由此可見，反常積分 中(口)只有當(dāng)0a萬時，由于 鳴+乂。仙x =0(Va 0),則K =0,而極限為0只能判收斂，而13要判斷，取0p1,因此取1cp0時，由于lim4xalnx = 0(V 0),則1=0,而極限為0只能判收斂，而要x.01判斷，取0p1,因此取0 M p父1的一個數(shù)，取p=a0時，由于lim,xalnx = 0(Va 0),則入=0,而極限為0只能判收斂，而要 x01判斷，取0p1,因此取0 M p父1的一個數(shù)，取p=30,瑕點為x = 0,止匕時Jimp5lnx(2) p 0,瑕點為x

14、=1 ,止匕時媽(1 x)“l(fā)nxp = lim(_1 -x)”(x-1)p =1 ,故原積分在-1 p 0時收斂，在p1 ,瑕點為 x=0 lim x ln(1 x) = 1,x 0-xp故1p1 ,只要pq ,極限便為0,從而收斂），p 1xlax學(xué)嗎M=0,此時第二個積分收斂,pM1 ln（1 x） 1此時第二個積分發(fā)散, x x綜上所述 當(dāng)1p 1所以積分收斂(2)因為llm當(dāng)上，且對任意0父6 0充分小 x w x2 -1時，有l(wèi)n xx2 -1所以積分收斂,2. 2一cos xsin x2(萬一 x),一、 1(7) xp-(1 -x)q- ln x(xtL),(1-xLJimx w(xp，(1 x)q,Inx )=當(dāng)x A 0充分小有,一“ 一”1xp (1 -x)q lnx 0 , _p書q -1時積分收斂,在其余情況下積分發(fā)散。*|2dx x二arctanx ,1 arctanx ,二arctanx ,dx