[高等教育]81第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、.第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目標(biāo)：掌握多元函數(shù)的概念，掌握二元函數(shù)的幾何表示、極限、連續(xù)的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).課時安排：2課時重點(diǎn)：多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的連續(xù)性難點(diǎn)：多元函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)法：講授法一 平面點(diǎn)集 n維空間 平面點(diǎn)集 ，坐標(biāo)系平面； Def：坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合。記為 如 ：圓內(nèi)： 鄰域：設(shè)為xoy平面上一點(diǎn)，。與的距離小于的點(diǎn)的全體稱為點(diǎn)的鄰域， 記為： 注：幾何上：圓內(nèi)部的點(diǎn)全體； 。 內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)：若點(diǎn)P的某個鄰域，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)：若點(diǎn)P的某個鄰域，則稱P為E的外點(diǎn)；邊界點(diǎn)：若點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)

2、既含有屬于E的點(diǎn)，又含有不屬于E的點(diǎn)，則稱P為E的邊界點(diǎn) 注：E的邊界點(diǎn)的全體，稱為E的邊界，記作； 內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，不邊界點(diǎn)不一定； ，三種關(guān)系必具之一。 聚點(diǎn)：如果內(nèi)總有E中的點(diǎn)，稱P為E的聚點(diǎn)； 注：聚點(diǎn)可以，也可以，如E=； 例中邊界點(diǎn)都是聚點(diǎn)，但邊界點(diǎn)不總是聚點(diǎn)； 聚點(diǎn)P的中有無窮多個E中的點(diǎn)。 開集 閉集 連通集 開集：E的點(diǎn)全是的內(nèi)點(diǎn)，稱E為開集； 閉集：E的余集為開集，E為閉集； 開集：； 閉集 ：；非開非閉集：。 連通集：若E中任何兩點(diǎn)，可用折線連起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于E，稱E為連通集。 區(qū)域 、閉區(qū)域 區(qū)域（開區(qū)域）：連通的開集； 閉區(qū)域：開區(qū)域加上它的邊界； 注：整個平面

3、R是最大的開域或閉域； 是開集，非區(qū)域， 是開集，非區(qū)域； n維空間 Def：取空n ，稱規(guī)定了線性運(yùn)算的n元數(shù)組的全體為n維空間，注：；為一個點(diǎn)；為第i個坐標(biāo). 線性運(yùn)算：,有： ；。 距離：； 鄰域，區(qū)域，內(nèi)點(diǎn)，開集等類似可定義。二 二元函數(shù) 二元函數(shù)的概念定義：設(shè)，若存在映射f：稱f是由D確定的二元函數(shù)，記作：注意問題： D為定義域，f：法則（或映射）； 的圖形為空間的一個曲面，如：。定義域的求法:(自然定義域:使得對應(yīng)法則有意義的數(shù)對集合)例1 求的定義域； 例2 求的定義域； 例3 設(shè)例4 已知 三、二元函數(shù)的極限聚點(diǎn)概念：設(shè)E是一個平面的點(diǎn)集.是E的聚點(diǎn)，使得在在該領(lǐng)域里有E的點(diǎn)，

4、或者說；二元函數(shù)極限定義: 設(shè)定義域?yàn)镈，為D的聚點(diǎn)，若常數(shù)A,對,使得 有注意問題: 一元：方式，左右且沿直線； 二元：方式：p以曲面入手且可以不沿直線（方向任意，線路任意）； 證明極限不存在的方法：取兩條不同的特殊路徑極限值不等。例:證:。 方法二:思考題： 設(shè)四、多元函數(shù)的連續(xù)性 、定義：（函數(shù)在有定義），稱在點(diǎn)連續(xù)。（滿足三條）若在區(qū)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，若在區(qū)域內(nèi)連續(xù)且邊界上每一點(diǎn)均連續(xù)，則稱在區(qū)域上連續(xù)； 、連續(xù)與極限存在的關(guān)系：連續(xù)極限存在（反之不成立）；、在連續(xù) 說明二次函數(shù)在處連續(xù)一定能推出此結(jié)論，反之不能。反例：而、間斷點(diǎn)： 、定義：不連續(xù)的點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)；、注意：多元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以為點(diǎn)，也可以是線。 如：、（形成一條線）、多元初等函數(shù)的連續(xù)性 、多元初等函數(shù)的定義(三要素)： 、用一個式子表達(dá)；、用常數(shù)和具有不同自變量的一元初等函數(shù)； 、有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算形成的。 如：、多元函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù)。、閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：、最值定理：閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在此區(qū)域上一定取得最大值、最小值；、介值定理：閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)在此區(qū)域上一定取得介于最大值、最小值之間的任何值；五、例題分析：求極限 求極限的方法： 、利用連續(xù)性；、轉(zhuǎn)化成一元函數(shù)方法求出（多元函數(shù)無洛