定義、命題、定理等概念

1、定義、命題、證明（1）教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：了解命題、定義的含義；對命題的概念有正確的理解。會區(qū)分命題的條件和結(jié)論。2、情感、態(tài)度與價值觀：  初步感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值。重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、重點(diǎn)： 找出命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論。 2、難點(diǎn)： 命題概念的理解。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入     教師：我們已經(jīng)學(xué)過一些圖形的特性，如“三角形的內(nèi)角和等于180度”，“等腰三角形兩底角相等”等。根據(jù)我們已學(xué)過的圖形特性，試判斷下列句子是否正確。1、如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等；2、兩直線平行，同位角相等；3、同旁內(nèi)角相等，兩直線平行

2、；4、平行四邊形的對角線相等；5、直角都相等。二、探究新知（一）命題、真命題與假命題      學(xué)生回答后，教師給出答案：根據(jù)已有的知識可以判斷出句子1、2、5是正確的，句子3、4水錯誤的。像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題。      教師：在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，這樣的命題?？蓪懗伞叭绻?，那么.”的形式。用“如果”開始的部分就是題設(shè)，而用“那么”開始的部分就是結(jié)論。例如，在命題1中，“兩個角是對頂

3、角”是題設(shè)，“這兩個角相等”就是結(jié)論。      有的命題的題設(shè)與結(jié)論不十分明顯，可以將它寫成“如果.，那么.”的形式，就可以分清它的題設(shè)和結(jié)論了。例如，命題5可寫成“如果兩個角是直角，那么這兩個角相等?！保ǘ?shí)例講解    1、教師提出問題1（例1）：把命題“三個角都相等的三角形是等邊三角形”改寫成“如果.，那么.”的形式，并分別指出命題的題設(shè)和結(jié)論。學(xué)生回答后，教師總結(jié)：這個命題可以寫成“如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形”。這個命題的題設(shè)是“一個三角形的三個角都相等”，結(jié)論是“這個三角

4、形是等邊三角形”。    2、教師提出問題2：把下列命題寫成“如果.，那么.”的形式，并說出它們的條件和結(jié)論。（1）對頂角相等；（2）如果a b,b c, 那么a=c；（3）菱形的四條邊都相等；（4）全等三角形的面積相等。  學(xué)生小組交流后回答，學(xué)生回答后，教師給出答案。（1）條件：如果兩個角是對頂角；結(jié)論：那么這兩個角相等（2）條件：如果a b,b c；結(jié)論：那么a=c。（3）條件：如果一個四邊形是菱形；結(jié)論：那么這個四邊形的四條邊相等。（4）條件：如果兩個三角形全等；結(jié)論：那么它們的面積相等。對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)

5、論和條件，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫原命題，另一個命題叫逆命題。 說出上題的逆命題，并討論。三、隨堂練習(xí)    四、總結(jié)1、什么叫命題？什么叫互逆命題？2、命題都可以寫成“如果.，那么.”的形式。五、布置作業(yè)     定義、命題、證明（2）教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：了解真命題和假命題；知道判斷一個命題是假命題的方法。2、過程與方法： 結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生說理有據(jù)，有條理地表達(dá)自己想法的良好意識。教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入：什么叫命題？命題由哪兩部分構(gòu)成？什么叫互逆命題？二、探究新知（

6、一）命題、真命題與假命題      學(xué)生回答后，教師給出答案：根據(jù)已有的知識可以判斷出句子正確的，還是錯誤的。像這樣可以判斷出它是正確的還是錯誤的句子叫做命題。正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題（二）假命題的證明      教師講解：要判斷一個命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出一個符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了，在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”。    

7、;  例如，要證明命題“一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角”是假命題，只要舉出一個反例：60度角是銳角，100度角是鈍角，但它們的和不是180度即可。三、練習(xí) 四、總結(jié)1、什么叫命題？什么叫真命題？什么叫假命題？2、命題都可以寫成“如果.，那么.”的形式。3、要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了。五、布置作業(yè)    公理、定理教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能：了解命題、公理 、定理的含義；理解證明的必要性。2、過程與方法：   結(jié)合實(shí)例讓學(xué)生意識到證明的必要性，培養(yǎng)學(xué)生說理有據(jù)，有條理地表達(dá)自己想法的良好意識。3、情感、態(tài)度與價值觀：

8、 初步感受公理化方法對數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價值。   重點(diǎn)與難點(diǎn) 1、重點(diǎn)：   知道什么是公理，什么是定理。 2、難點(diǎn)：   理解證明的必要性。   教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入    教師講解：前一節(jié)課我們講過，要證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例就行了。這節(jié)課，我們將探究怎   樣證明一個命題是真命題。二、探究新知   （一）公理   教師講解：數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真

9、命題叫做公理。我們已經(jīng)知道下列命題是真命題： 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等； 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 在本書中我們將這些真命題均作為公理。（二）定理 教師引導(dǎo)學(xué)生通過舉反例來說明下面兩題中歸納出的結(jié)論是錯誤的。從而說明證明的重要性。 1、教師講解：請大家看下面的例子： 當(dāng)n=1時，（n2-5n+5)2=1; 當(dāng)n=2時，（n2-5n+5)2=1； 當(dāng)n=3時，（n2-5n+5)2=1。 我們能不能就此下這樣的結(jié)論：對于任意的正整數(shù)（n2-5n+5)2的值都是1呢？實(shí)際上我們的猜測是錯誤的，因?yàn)楫?dāng)n=5時，（n2-5n+5)2=25。 2、教師再

10、提出一個問題讓學(xué)生回答：如果a=b,那么a2=b2.由此我們猜想：當(dāng)a b時，a2 b2。這個命題是真命題嗎？答案：不正確，因?yàn)? -5，但3 2 （-5）2 教師總結(jié)：在前面的學(xué)習(xí)過程中，我們用觀察、驗(yàn)證、歸納、類比等方法，發(fā)現(xiàn)了很多幾何圖形的性質(zhì)。但由前面兩題我們又知道，這些方法得到的結(jié)論有時不具有一般性。也就是說，由這些方法得到的命題可能是真命題，也可能是假命題。教師講解：數(shù)學(xué)中有些命題可以從公理出發(fā)用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。我們把經(jīng)過證明為真的命題叫做定理。如“三角形的內(nèi)角和等于180度”稱為“三角形內(nèi)角和定理”定

11、理也可以作為判斷其他命題(三）例題與證明例如，有了“三角形的內(nèi)角和等于180°”這條定理后，我們還可以證明刻畫直角三角形的兩個銳角之間的數(shù)量關(guān)系的命題：直角三角形的兩個銳角互余。教師板書證明過程。教師講解：此命題可以用來作為判斷其他命題真假的依據(jù)，因此我們把它也作為定理。定理的作用不僅在于它揭示了客觀事物的本質(zhì)屬性，而且可以作為進(jìn)一步確認(rèn)其他命題真假的依據(jù)。三、隨堂練習(xí)   四、課時總結(jié)1、在長期實(shí)踐中總結(jié)出來為真命題的命題叫做公理。2、用邏輯推理的方法證明它們是正確的命題叫做定理。五、布置作業(yè)  證明與反證法（1）教學(xué)目標(biāo)1了解證明的含義。2

12、體驗(yàn)、理解證明的必要性。3了解證明的表達(dá)格式，會按規(guī)定格式證明簡單命題。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是證明的含義和表述格式。難點(diǎn)：本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)是按規(guī)定格式表述證明的過程。教學(xué)過程一、 新課引入教師借助多媒體設(shè)備向?qū)W生演示課內(nèi)節(jié)前圖：比較線段AB和線段CD的長度。通過簡單的觀察，并嘗試用數(shù)學(xué)的方法加以驗(yàn)證，體會驗(yàn)證的必要性和重要性二、 新課教學(xué)1、 合作學(xué)習(xí)參考教科書P74： 一組直線a、b、c、d、是否不平行（互相相交），請通過觀察、先猜想結(jié)論，并動手驗(yàn)證2、 證明的引入（1）命題“等腰直角三角形的斜邊是直角邊的 倍”是真命題嗎？請說明理由分析：根據(jù)需要畫出圖形，用幾何語言描述題中的已

13、知條件和要說明的結(jié)論。 教師對具體的說理過程予以詳細(xì)的板書。小結(jié)歸納得出證明的含義，讓學(xué)生體會證明的初步格式。（2）通過例2的教學(xué)理解證明的含義，體會證明的格式和要求 例2、 證明命題“如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且方向相同，那么這兩個角相等”是真命題。 分析：根據(jù)需要畫出圖形，用幾何語言描述題中的已知條件、以及要證明的結(jié)論（求證）。 證明過程的具體表述 （略） 小結(jié)：證明幾何命題的表述格式 按題意畫出圖形； 分清命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，在“已知”中寫出條件，在“求證”中寫出結(jié)論； 在“證明”中寫出推理過程。（3）練習(xí)：例題教學(xué)例3、 已知：如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，AO=

14、CO，BO=DO。求證： ABCD （證明略）三、 練習(xí)鞏固小結(jié)（1） 證明的含義（2） 真命題證明的步驟和格式（3） 思考、探索：假命題的判斷如何說理、證明？六、作業(yè)布置 證明與反證法（2）教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本方法.2.培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力.重點(diǎn)：反證法證題的步驟.難點(diǎn)：理解反證法的推理依據(jù)及方法.教學(xué)方法講練結(jié)合教學(xué).教學(xué)過程提問：1、通過預(yù)習(xí)我們知道反證法，什么叫做反證法？從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.2、本節(jié)將進(jìn)一步研究反證法證題的方法，反證法證題的步驟是什么？共分三步

15、：（1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.反證法是一種間接證明命題的基本方法。在證明一個數(shù)學(xué)命題時，如果運(yùn)用直接證明法比較困難或難以證明時，可運(yùn)用反證法進(jìn)行證明。二、探究例題2 已知：A，B，C是ABC的內(nèi)角。求證：A，B，C中至少有一個角大于或等于600課本上這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。三、應(yīng)用新知例1 在ABC中，ABAC,求證：B C證明：假設(shè)，B

16、C，則ABAC這與已知ABAC矛盾假設(shè)不成立B C小結(jié)： 反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立邏輯推理得出矛盾肯定原結(jié)論正確例2 已知：如圖有a、b、c三條直線，且a/c,b/c. 求證：a/b證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A 就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設(shè)不成立。 a/b.小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾三、練習(xí)1、 求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。已知：ABC , 求證：ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°證明： 假

17、設(shè)ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°則A>60°,B>60°,C>60°A+B+C>60°+60°+60°=180°即A+B+C>180°，這與三角形的內(nèi)角和為180度矛盾假設(shè)不成立ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°2、試證明：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也平行.（學(xué)生完成，教師引導(dǎo)）已知： ；求證： ；證明：假設(shè) ，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A 就有 條直線與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn) ”。矛盾,則假設(shè)不成立。 。四、課時小結(jié)本節(jié)重

18、點(diǎn)研究了反證法證題的一般步驟及反證法證明命題的應(yīng)用。對于反證法的熟練掌握還需在今后隨著學(xué)習(xí)的深入，逐步加強(qiáng)和提高。五、課后作業(yè)：P60 B組 9六、板書設(shè)計 證明與反證法（2）1.反證法證明命題的步驟。2.反證法應(yīng)用：例題。教學(xué)反思：“反證法”是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種特殊的證明方法，對于一些證明體它有著獨(dú)特，簡便，實(shí)用的方法。故反證法的學(xué)習(xí)非常重要，在反思本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)中得出以下幾點(diǎn)體會：1. 分清所證命題的條件和結(jié)論如證明命題“一個三角形中不可能有兩個角是指教”其中條件是“一個三角形”結(jié)論是“不能有兩個角是直角”熟記步驟第一步:假設(shè)即假設(shè)命題的結(jié)論的反面為正確的.如引用上述命題即“假設(shè)能有兩個叫是直角不妨設(shè) ”第二步：推理后發(fā)現(xiàn)矛盾。一般利用假設(shè)進(jìn)行推理如繼上可知 發(fā)現(xiàn)這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，所以假設(shè)不成立，故一個三角形中不能有兩個角是直角，即為第三步：推翻假設(shè)，證明原命題成立。2、抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)反證法的重點(diǎn)是能寫出結(jié)論的反面，同時也是難點(diǎn)。如： 的反面是 ，易錯寫成 ；又如“寫出線段AB,CD互相平分的反面”，線段AB,CD互相平分具體指：“AB平分CD且CD平分AB”.他的反面應(yīng)包括以下三種情況：